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数理物理学において、共変古典場理論は古典場をファイバー束の断面で表現し、その力学は有限次元場空間の文脈で表現される。今日では、ジェット束と変分双複体がこのような記述に適した領域であることがよく知られている。共変古典場理論のハミルトニアン版は、運動量がすべての世界座標に関する場変数の微分に対応する共変ハミルトニアン場理論である。非自律力学は、時間軸上のファイバー束上の共変古典場理論として定式化される。。
量子場理論において重要な古典場理論の多くの例を以下に示す。特に、これらは素粒子物理学の標準模型を構成する理論である。これらの例は、古典場理論の一般的な数学的定式化の議論において用いられる。
古典的な場の理論を定式化するために、以下の構造が必要となる。
滑らかな多様体。
これは、世界多様体（計量などの追加構造を持たない多様体を強調する場合）、時空（ローレンツ計量を備えた場合）、またはより幾何学的な観点からの基本多様体など、さまざまな名称で呼ばれています。
時空にはしばしば追加の構造が伴う。例としては、
また、多様体全体にわたる積分の概念に必要な、方向付けの必要な構造も含まれる。。
時空対称性を許容する可能性がある。たとえば、メトリックを備えている場合これらは等長変換ですキリングベクトル場によって生成される。対称性は群を形成する。、時空の自己同型写像。この場合、理論の場は、の表現に変換されるはずである。。
例えば、ミンコフスキー空間の場合、対称性はポアンカレ群である。。
嘘つきグループ内部自由度の（連続的な）対称性を記述する。これはゲージ群と呼ばれる。リー群とリー代数の対応関係による対応するリー代数は、次のように表される。。
校長-バンドル別名-torsor。これは時々次のように書かれます。
どこは、そしてこれはベースマニホールドです。
ここでは、この接続を主接続として捉える。場の理論では、この接続は共変微分としても捉えられる。その様々な分野における作用については、後述する。
主要な接続ははP 上の -値 1 形式が「射影」と「右同変性」の技術的条件を満たす場合：詳細は主要な関連論文に記載されています。
自明化の下では、これは局所ゲージ場として記述できる。、自明化パッチ上の値1形式物理学においてゲージ場と同一視されるのは、この局所的な接続形式である。基底多様体が平面的な表現では、こうした微妙なニュアンスが失われてしまう。
関連付けられたベクターバンドル主束に関連付けられている表現を通して
完全を期すために、表現が与えられた場合繊維は。
場または物質場とは、関連するベクトル束の一部である。これらの集合とゲージ場を合わせたものが、理論の物質内容を構成する。
ラグランジアン: ファイバー束が与えられた場合ラグランジアンは関数である。
物質の内容がセクションによって与えられると仮定します。光ファイバー付き上から。次に、例えば、より具体的に考えると、繊維が束になっているはこれにより、ある分野の関数として見なされるべきである。
これにより、上記の例のセクションで挙げたものを含め、数多くの興味深い理論に必要な数学的な前提条件が満たされる。
ベースマニホールド平面、つまり（擬似）ユークリッド空間では、理論を概念的に扱いやすくする多くの有用な簡略化が存在します。
単純化は平坦な時空が縮約可能であるという観察から得られる。したがって、代数トポロジーでは、平坦な時空上の任意のファイバー束は縮約可能であるという定理がある。些細なことだ。
特に、これにより、グローバルな自明化を選択することができます。したがって、その接続をゲージ場としてグローバルに識別する。
さらに、些細なつながりがあるこれにより、関連するベクトルバンドルを識別できます。そして、フィールドをセクションとしてではなく、単に関数として捉える必要がある。言い換えれば、異なる点におけるベクトル束は比較可能である。さらに、平坦な時空の場合、レヴィ・チヴィタ接続はフレーム束上の自明な接続である。
すると、テンソル場またはスピンテンソル場に対する時空共変微分は、単純に平面座標における偏微分となる。しかし、ゲージ共変微分は非自明な関係を必要とする可能性がある。これは、その理論におけるゲージ場と考えられている。
重力による曲率が弱い場合、平坦な時空は、曲率が弱い時空の良い近似としてしばしば用いられる。実験においては、この近似は妥当である。標準模型は平坦な時空に基づいて定義されており、今日までで最も精度の高い物理学の精密検証結果を生み出してきた。
