流れ場のラグランジュ的およびオイラー的指定

古典的な場の理論では、流れ場のラグランジュ指定は、観測者が個々の流体の塊が空間と時間を移動する様子を追跡する流体運動の見方です。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}個々の塊の位置を時間とともにプロットすると、塊の軌跡が得られます。これは、ボートに座って川を下っていく様子として視覚化できます。

流れ場のオイラー的仕様は、時間の経過とともに流体が流れる空間内の特定の場所に焦点を当てた流体運動の見方です。^{[ 1 ] [ 2 ]}これは、川岸に座って水が固定された場所を通過するのを見ることで視覚化できます。

流れ場のラグランジュ的およびオイラー的仕様は、しばしばラグランジュ座標系およびオイラー座標系と大まかに呼ばれる。しかし、一般に、流れ場のラグランジュ的およびオイラー的仕様は、任意の観測者の座標系、および選択された座標系内で使用される任意の座標系に適用できる。ラグランジュ的およびオイラー的仕様は、それぞれジョゼフ＝ルイ・ラグランジュとレオンハルト・オイラーにちなんで名付けられている。

これらの仕様は計算流体力学に反映されており、「オイラー」シミュレーションでは固定メッシュが使用されるのに対し、「ラグランジュ」シミュレーション（メッシュフリーシミュレーションなど）では、速度場に従って移動するシミュレーションノードが特徴となっている。

レオンハルト・オイラーは、1755年^{[ 3 ]}と1759年^{[ 4 ] [ 5 ]} に書かれた2つの出版物で両方の仕様を導入したとされている。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、1760年に最小作用の原理に関連して運動方程式を研究し、その後1781年の流体力学の論文^{[ 6 ]} 、そして3番目に著書『解析力学』^{[ 5 ]}で研究した。この本の中で、ラグランジュはラグランジュ仕様から始めたが、後にそれをオイラー仕様に変換した^{[ 5 ] 。}

場のオイラー的表現では、場は位置xと時間tの関数として表されます。例えば、流速は関数で表されます。$${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right).}$$

この形式は、大気科学、海洋モデリング、地球物理流体力学などの分野で広く用いられており、これらの分野では、大規模な流れは空間内の固定点上で変化する場として最もよく記述される。

一方、ラグランジュ記述では、個々の流体粒子が時間とともに追跡されます。流体粒子は、ある（時間に依存しない）ベクトル場x ₀によってラベル付けされます。（多くの場合、x _{0はある初期時刻}t ₀における粒子の重心の位置として選択されます。これは、時間経過に伴う形状の変化を考慮するために、このように選択されます。したがって、重心は粒子の流速uの良いパラメータ化となります。）^{[ 1 ]}ラグランジュ記述では、流れは関数によって記述されます。 $${\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0},t\right),}$$時刻tにおけるx ₀ とラベル付けされた粒子の位置を示します。

2 つの仕様は次のように関連しています。^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {X} (\mathbf {x} _{0},t),t\right)={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} _{0},t\right),}$$なぜなら、両辺とも時刻tにおけるx ₀ とラベル付けされた粒子の速度を表しているからである。

選択された座標系において、x₀_とxはそれぞれ流れのラグランジュ座標とオイラー座標と呼ばれます。

流れ場の運動学と動力学のラグランジュ的およびオイラー的仕様は、物質微分（ラグランジュ微分、対流微分、実質微分、または粒子微分とも呼ばれる）によって関連付けられる。^{[ 1 ]}

流れ場uがあり、オイラー指定の一般的な場F ( x , t ) も与えられているとします。ここで、特定の流れの塊が経験するFの総変化率について疑問が生じるかもしれません。これは次のように計算できます。  $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {F} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} ,}$$ ここで、∇ はxに関するナブラ演算子を表し、演算子u ⋅∇ はFの各成分に適用されます。これは、流体の塊がオイラー指定uで記述される流れ場を通過する際の関数Fの総変化率が、 Fの局所変化率と対流変化率の合計に等しいことを示しています。これは、関数F ( X ( x ₀ , t ), t ) をtに関して微分しているため、連鎖律の結果です。  

単位質量に対する保存則はラグランジュ形式であり、質量保存則と合わせてオイラー保存則が成り立つ。一方、流体粒子が（エネルギーや運動量などの）量を交換できる場合、オイラー保存則のみが存在する。^{[ 7 ]}

• ブリュワー・ドブソン循環
• 保存フォーム
• 等高線移流
• 変位場（力学）
• 等価緯度
• 一般化ラグランジュ平均
• 軌道（流体力学）
• リウヴィルの定理（ハミルトニアン）
• ラグランジュ粒子追跡
• ローリング
• 流線、筋線、軌跡
• 没入境界法
• セミラグランジュスキーム
• 確率的オイラー・ラグランジュ法

• ベネット、A. (2006).ラグランジュ流体力学. ケンブリッジ、英国: ケンブリッジ大学出版局.
• Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws . Springer. p.  218. Bibcode : 2018vffg.book.....B . doi : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID 125902566 . 
• ランダウ、レフ；リフシッツ、EM（1987）。流体力学。理論物理学講義、第6巻（第2 版）。バターワース＝ハイネマン。ISBN 978-0750627672。

古典連続体力学における客観性：運動、オイラー関数とラグランジュ関数；変形勾配；リー微分；速度加算公式、コリオリ；客観性。