ハミルトン場理論

理論物理学において、ハミルトン場の理論は、古典的なハミルトン力学の場の理論的類似物です。これは、ラグランジアン場の理論と並ぶ古典的な場の理論の形式主義です。また、量子場の理論にも応用されています。

離散粒子のシステムのハミルトニアンは、それらの一般化座標と共役運動量、および場合によっては時間の関数です。連続体と場の場合、ハミルトニアン力学は適していませんが、多数の質点を考慮し、連続極限、つまり連続体または場を形成する無限の粒子を取ることによって拡張できます。各質点には 1 つ以上の自由度があるため、場の定式化には無限の自由度があります。

ハミルトン密度は場の連続的な類似物であり、場、共役な「運動量」場、そしておそらく空間と時間の座標自体の関数である。1つのスカラー場 φ ( x , t )に対して、ハミルトン密度はラグランジアン密度から次のように定義される^{[nb 1]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t)={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,.}$

ここで、∇は「デル」または「ナブラ」演算子、xは空間内のある点の位置ベクトル、 tは時間です。ラグランジアン密度は、システム内のフィールド、その空間および時間の導関数、および場合によっては空間および時間の座標自体の関数です。これは、一般化座標によって記述される離散粒子のシステムのラグランジアン関数のフィールド類似体です。

ハミルトン力学では、すべての一般化座標が対応する一般化運動量を持つため、場φ ( x , t )は共役運動量場 π ( x , t )を持ち、これは場の時間微分に関するラグランジアン密度の偏微分として定義される。

${\displaystyle \pi ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,\quad {\dot {\phi }}\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\,,}$

ここで、オーバードット^{[nb 2]は}全時間微分d / dtではなく、部分時間微分∂/∂ tを表します。

多くの場φ _i ( x , t )とその共役場π _i ( x , t )に対して、ハミルトン密度はそれらすべての関数である。

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.}$

ここで、各共役場はその場に関して定義され、

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.}$

一般に、任意の数のフィールドに対して、ハミルトニアン密度の 体積積分は、3 つの空間次元におけるハミルトニアンを与えます。

${\displaystyle H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.}$

ハミルトニアン密度は、単位空間体積あたりのハミルトニアンのことです。対応する次元は[エネルギー][長さ] ⁻³で、SI単位ではジュール毎立方メートル、J m ⁻³です。

上記の方程式と定義はベクトル場、さらに一般的にはテンソル場とスピノル場に拡張できます。物理学では、テンソル場はボソンを記述し、スピノル場はフェルミオンを記述します。

場の運動方程式は離散粒子のハミルトン方程式に似ています。任意の数の場について:

ここでも、上線は部分時間微分であり、場に関する 変分微分は

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial (\nabla \phi _{i})}}\,,}$

·単純な偏微分ではなく、ドット積を使用する必要があります。

場φ _iと共役π _{i は}、場が無限の自由度を持つため、 無限次元の位相空間を形成します。

φ _iとπ _iの場、それらの空間微分、および空間と時間の座標に依存する2つの関数について、

${\displaystyle A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

${\displaystyle B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

そして積分が行われる体積の境界上で場がゼロである場合、場の理論的なポアソン括弧は次のように定義される（量子力学の交換子と混同しないように）。 ^[1]

${\displaystyle [A,B]_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,}$

変分微分はどこにあるか${\displaystyle \delta {\mathcal {F}}/\delta f}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.}$

表面上のフィールドが消失するという同じ条件下では、Aの時間発展について次の結果が成り立ちます（Bについても同様）。

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

これは、 Aの全時間微分、部分積分、および上記のポアソン括弧を使用することで見つけることができます。

ラグランジアン密度とハミルトン密度が明示的に時間に依存しない場合（場とその導関数を介して暗黙的に時間に依存する可能性がある）、次の結果は真である。

ハミルトン密度は全エネルギー密度であり、運動エネルギー密度（）と位置エネルギー密度（）の合計である。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.}$

上記のハミルトン密度の定義の部分時間微分を取り、暗黙の微分に対する連鎖律と共役運動量場の定義を使用すると、連続方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0}$

ここでハミルトン密度はエネルギー密度として解釈でき、

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

エネルギー流束、つまり単位時間当たり、単位表面積当たりのエネルギーの流れ。

共変ハミルトン場理論は、ハミルトン場理論の 相対論的定式化です。

ハミルトン場の理論は、古典場の理論に適用された場合、通常、無限次元位相空間上の瞬間ハミルトン形式の形をとり、正準座標はある瞬間における場の関数である、シンプレクティックハミルトン形式を意味します。 ^[2]このハミルトン形式は、例えば量子ゲージ理論において、場の量子化に適用されます。共変ハミルトン場の理論では、 正準運動量p ^μ _{i は、}すべての世界座標x ^μに関する場の微分に対応します。^{[3]共変ハミルトン方程式は、超正則}ラグランジアンの場合のオイラー–ラグランジュ方程式と同等です。共変ハミルトン場の理論は、ハミルトン–ドドンダー、^[4]ポリシンプレクティック、^[5]マルチシンプレクティック^[6]およびkシンプレクティック^[7]の各変種で展開されています。共変ハミルトン場理論の位相空間は、有限次元の多シンプレクティック多様体または多重シンプレクティック多様体です。

ハミルトン非自律力学は、時間軸、すなわち実数直線上のファイバー束上の共変ハミルトン場理論として定式化されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

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• 非自律的なメカニクス

• Badin, G.; Crisciani, F. (2018).流体および地球物理学的流体力学の変分定式化 - 力学、対称性、保存則 - 。Springer。p . 218。Bibcode :2018vffg.book.....B。doi : 10.1007 /978-3-319-59695-2。ISBN 978-3-319-59694-5.S2CID 125902566  。
• ゴールドスタイン、ハーバート(1980)。「第 12 章: 連続システムとフィールド」。古典力学(第 2 版)。サンフランシスコ、カリフォルニア州: アディソン ウェスレー。pp. 562–565。ISBN 0201029189。
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