段階的多様体

代数幾何学において、次数多様体は、超対称性および超可換代数の考え方に基づく多様体の概念の拡張です。次数多様体と超多様体はどちらも、次数可換代数の層という観点から表現されます。ただし、次数多様体は滑らかな多様体上の層によって特徴付けられるのに対し、超多様体は超ベクトル空間の層の接着によって構築されます。

次元の次数付き多様体は、が-次元の滑らかな多様体であり、が上の滑らかな実関数の層であるランクのグラスマン代数の -層である局所環付き空間として定義されます。層は次数付き多様体 の構造層と呼ばれ、多様体はの本体 であると言われています。層のセクションは、次数付き多様体 上の次数付き関数と呼ばれます。それらはの構造環と呼ばれる次数付き可換- 環を構成します。よく知られているバチェラーの定理とセール・スワンの定理は、次数付き多様体を次のように特徴付けます。 ${\displaystyle (n,m)}$ ${\displaystyle (Z,A)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{Z}^{\infty }}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C_{Z}^{\infty }}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (Z,A)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (Z,A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (Z,A)}$${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$${\displaystyle A(Z)}$${\displaystyle (Z,A)}$

を次数付き多様体とする。次元の典型ファイバーを持つベクトル束が存在し、の構造層はの外積の切断の構造層と同型であり、その典型ファイバーはグラスマン代数である。 ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle E\to Z}$${\displaystyle m}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle \Lambda (E)}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Lambda (V)}$

を滑らかな多様体とする。次数付き可換 - 代数は、有限階数の射影 - 加群の外代数である場合に限り、体を持つ次数付き多様体の構造環に同型である。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$

上で述べたバチェラーの同型性は標準的ではないが、多くの場合最初から固定されていることに注意する。この場合、ベクトル束のあらゆる自明化チャートは次数付き多様体 の分割領域を生成する。ここで はのファイバー基底である。このようなチャート上の次数付き関数は-値関数 である。${\displaystyle (U;z^{A},y^{a})}$${\displaystyle E\to Z}$${\displaystyle (U;z^{A},c^{a})}$${\displaystyle (Z,A)}$${\displaystyle \{c^{a}\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Lambda (V)}$

${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}}$、

ここで、は 上の滑らかな実関数であり、はグラスマン代数 の奇数生成元です。 ${\displaystyle f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle c^{a}}$${\displaystyle \Lambda (V)}$

次数付き多様体 が与えられた場合、次数付き関数の構造環の次数付き微分は上の次数付きベクトル場と呼ばれる。これらは、超括弧に関する実リー超代数を構成する。${\displaystyle (Z,A)}$${\displaystyle A(Z)}$${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle \partial A(Z)}$

${\displaystyle [u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u}$、

ここで はのグラスマンパリティを表す。 次数付きベクトル場は局所的に ${\displaystyle [u]}$${\displaystyle u\in \partial A(Z)}$

${\displaystyle u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a}}}}$。

これらは、規則に従って 段階的な関数に作用する。${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}(f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1)^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}}\cdots c^{a_{k}}}$。

モジュール次数付きベクトル場の -双対は次数付き外1形式 のモジュールと呼ばれる。次数付き外1形式 は局所的に読み取られ、と の間の双対性（内部）積は次の形式になる。 ${\displaystyle A(Z)}$${\displaystyle \partial A(Z)}$${\displaystyle O^{1}(Z)}$${\displaystyle \phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a}}$${\displaystyle \partial A(Z)}$${\displaystyle O^{1}(Z)}$

${\displaystyle u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a}}$。

グレード別外装品付き

${\displaystyle dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j}\wedge dc^{i}}$、

次数付き1形式は次数付き多様体上の次数付き外形式からなる次数付き外代数を生成する。次式に従う。 ${\displaystyle O^{*}(Z)}$

${\displaystyle \phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi }$、

ここで はの形式次数を表す。次数付き外積代数は次数付き外微分代数に関する次数付き微分代数である。 ${\displaystyle |\phi |}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle O^{*}(Z)}$

${\displaystyle d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a}}}\phi }$、

ここで、次数付き微分、は次数付き形式およびと次数付き可換である。よく知られた関係式がある。 ${\displaystyle \partial _{A}}$${\displaystyle \partial /\partial c^{a}}$${\displaystyle dz^{A}}$${\displaystyle dc^{a}}$

${\displaystyle d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '}$。

次数付き多様体のカテゴリでは、次数付きリー群、次数付きバンドル、次数付き主バンドルを考慮します。次数付き多様体のジェットの概念も導入されますが、これは次数付きバンドルのジェットとは異なります。

次数付き多様体上の微分積分は、可換代数上の微分積分と同様に、次数付き可換代数上の微分積分として定式化されます。

前述のセール・スワン定理により、滑らかな多様体上の奇古典場は次数付き多様体で記述されます。次数付き多様体に拡張された変分双複体は、ラグランジアン古典場理論とラグランジアンBRST 理論の厳密な数学的定式化を提供します。

• 接続（代数的枠組み）
• 成績評価（数学）
• セール・スワン定理
• 超幾何学
• 超多様体
• 超対称性

• C. Bartocci、U. Bruzzo、D. Hernandez Ruiperez、超多様体の幾何学(Kluwer、1991) ISBN  0-7923-1440-9
• T. Stavracou, 次数付き主束上の接続理論, Rev. Math. Phys. 10 (1998) 47
• B. コスタント、「次数付き多様体、次数付きリー理論、前量子化」、微分幾何学的手法による数理物理学、数学講義ノート570 (Springer、1977) p. 177
• A. アルモロックス「次数付き多様体におけるスーパーゲージ理論」『数理物理学における微分幾何学的手法』数学講義ノート1251 (Springer、1987) p. 114
• D. Hernandez Ruiperez、J. Munoz Masque、段階的多様体における大域変分計算、J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
• G. Giachetta、L. Mangiarotti、G. Sardanashvily、「Advanced Classical Field Theory」（World Scientific、2009年）ISBN 978-981-283-895-7 ; arXiv :math-ph/0102016; arXiv :1304.1371。 

• G. Sardanashvily、「超幾何学に関する講義」、arXiv :0910.0092。