古典電磁気学

古典電磁気学または古典電気力学は、古典的なニュートンモデルの拡張を使用して電荷と電流間の相互作用を研究することに焦点を当てた物理学の一分野です。したがって、これは古典的な場の理論です。この理論は、関連する長さスケールと場の強度が量子力学的効果が無視できるほど十分に大きい場合に、電磁現象を記述します。距離が小さく、場の強度が低い場合、このような相互作用は、量子場の理論である量子電気力学、およびナノスケールでの電気力学の研究であるナノ電気力学^{[ 1 ]} （ナノ電磁気学とも呼ばれる）^{[ 2 ]}によってよりよく記述されます。

電磁気学が記述する物理現象は、古代から別々の分野として研究されてきました。例えば、光が電磁波であると理解される何世紀も前から、光学の分野では多くの進歩がありました。しかし、現在理解されている電磁気学の理論は、電磁場の存在を示唆したマイケル・ファラデーの実験と、ジェームズ・クラーク・マクスウェルが著書『電気と磁気に関する論考』 （1873年）でそれを記述するために用いた微分方程式から発展したものです。ヨーロッパにおける電磁気学の発展には、電圧、電流、静電容量、抵抗を測定する方法の開発が含まれていました。詳細な歴史的記述は、ヴォルフガング・パウリ^{[ 3 ]}、E・T・ウィテカー^{[ 4 ]}、アブラハム・パイス^{[ 5 ]}、ブルース・J・ハント^{[ 6 ]によって提供されています。}

電磁場は、荷電粒子に対して以下の力（ローレンツ力と呼ばれることが多い）を及ぼします。

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

ここで、太字で示されている量はすべてベクトルです。Fは電荷qを持つ粒子が受ける力、Eは粒子の位置における電場、 vは粒子の速度、Bは粒子の位置における磁場です。

上記の式は、ローレンツ力が2つのベクトルの和であることを示しています。1つは速度ベクトルと磁場ベクトルの外積です。外積の性質に基づくと、これは速度ベクトルと磁場ベクトルの両方に垂直なベクトルを生成します。もう1つのベクトルは電場と同じ方向です。これら2つのベクトルの和がローレンツ力です。

この式は電場と磁場が独立していることを示唆しているように見えるが、この式は（電荷の代わりに） 4元電流と、合成場を表す単一の電磁テンソルで書き直すことができる（$\displaystyle F^{\mu \nu }}$):

${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.\!}$

静止電荷上の電場Eは次のように定義される。

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{0}\mathbf {E} }$

ここで、q₀_は試験電荷として知られ、Fはその電荷にかかる力です。電荷の大きさは、その存在だけで電場に影響を与えない程度に小さければ、実際には重要ではありません。ただし、この定義から明らかなのは、Eの単位がN/C（ニュートン毎クーロン）であるということです。この単位はV/m（ボルト毎メートル）に等しくなります（下記参照）。

静電気学では、電荷が移動しない場合、点電荷の分布の周囲では、クーロンの法則から求められる力を合計することができます。q₀で割った結果は次のとおり_です。

${\displaystyle \mathbf {E(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|^{3}}}}$

ここで、nは電荷の数、q _iはi番目の電荷に関連付けられた電荷量、r _iはi番目の電荷の位置、rは電場が決定される位置、ε _0は電気定数です。

電場が電荷の連続分布によって生成される場合、総和は積分となる。

${\displaystyle \mathbf {E(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} }$

どこ${\displaystyle \rho (\mathbf {r'} )}$電荷密度と${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r'} }$は、体積要素から指し示すベクトルです。${\displaystyle \mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} }$Eが決定される空間上の点まで。

上記の2つの式はどちらも扱いにくく、特にEを位置の関数として求めたい場合はなおさらです。電位と呼ばれるスカラー関数が役立ちます。電位（電圧とも呼ばれ、単位はボルト）は、線積分によって定義されます。

${\displaystyle \varphi \mathbf {(r)} =-\int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$

どこ${\displaystyle \varphi ({\textbf {r}})}$は電位であり、Cは積分が行われる経路である。

この定義には注意点があります。マクスウェル方程式から明らかなように、∇ × Eは常にゼロとは限らないため、スカラーポテンシャルだけでは電場を正確に定義するには不十分です。そのため、補正係数を加える必要があり、これは一般的に、後述するベクトルポテンシャルAの時間微分を差し引くことによって行われます。ただし、電荷が準静的である場合は、この条件はほぼ満たされます。

電荷の定義から、点電荷の位置の関数としての電位は容易に次のようになることが示される。

${\displaystyle \varphi \mathbf {(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|}}}$

ここで、qは点電荷の電荷、rは電位が測定される位置、r _iは各点電荷の位置である。連続的な電荷分布の電位は次のようになる。

${\displaystyle \varphi \mathbf {(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,\mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} }$

どこ${\displaystyle \rho (\mathbf {r'} )}$は電荷密度であり、${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r'} }$は体積要素からの距離です${\displaystyle \mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} }$φが決定される空間上の点。

スカラーφは、他の電位にスカラーとして加算されます。これにより、複雑な問題を単純な部分に分解して電位を加算することが比較的容易になります。φの定義を逆向きに考えると、電場は電位の負の勾配（ del演算子）であることがわかります。または：

${\displaystyle \mathbf {E(r)} =-\nabla \varphi \mathbf {(r)} .}$

この式から、 EはV/m（ボルト/メートル）で表すことができることが明らかです。

変化する電磁場は、波の形で発生源から伝播します。これらの波は真空中で光速で伝わり、幅広い波長スペクトルに存在します。電磁放射の動的な場の例（周波数の低い順）：電波、マイクロ波、光（赤外線、可視光線、紫外線）、X線、ガンマ線。素粒子物理学の分野では、この電磁放射は荷電粒子間の電磁相互作用の現れです。

クーロンの式は単純で分かりやすいものの、古典電磁気学の文脈では完全に正しいとは言えません。電荷分布の変化が他の場所で「感じられる」には、ゼロではない時間が必要となるため（特殊相対性理論で要求される）、問題が生じるのです。

一般的な電荷分布の場については、遅延電位を計算し、それに応じて微分することで、ジェフィメンコ方程式が得られる。

点電荷に対しても遅延電位を導出することができ、その式はリエナール・ヴィーヘルト電位として知られている。スカラー電位は次のようになる。

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{\rm {ret}})\right|-{\frac {\mathbf {v} _{q}(t_{\rm {ret}})}{c}}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{\rm {ret}}))}}}$

どこ${\displaystyle q}$点電荷の電荷であり、${\displaystyle {\textbf {r}}}$それがポジションです。${\displaystyle {\textbf {r}}_{q}}$ そして ${\displaystyle {\textbf {v}}_{q}}$はそれぞれ、遅延時間の関数としての電荷の位置と速度である。ベクトルポテンシャルも同様である。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {q\mathbf {v} _{q}(t_{\rm {ret}})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{\rm {ret}})\right|-{\frac {\mathbf {v} _{q}(t_{\rm {ret}})}{c}}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{\rm {ret}}))}}.}$

これらを適切に微分することで、移動する点粒子の完全な場の方程式を得ることができる。

光学、電気工学、電子工学といった古典電磁気学の分野は、特定の電気力学現象の理解を深めるために、さまざまな簡略化と理想化の度合いを持つ関連する数学モデルの集合体から成り立っています。 ^{[ 7 ]}電気力学現象は、特定の電場、特定の電荷密度と電流密度、および特定の伝送媒体によって決定されます。これらは無数に存在するため、モデリングにおいては、いくつかの典型的で代表的なものが必要となります。

（a）電荷および電流、例えば移動する点電荷、電気双極子および磁気双極子、導体内の電流など。

（b）電磁場、例えば電圧、リエナール・ヴィーヘルト電位、単色平面波、光線、電波、マイクロ波、赤外線、可視光線、紫外線、X線、ガンマ線など。

（c）伝送媒体、例えば電子部品、アンテナ、電磁導波管、平面鏡、曲面鏡、凸レンズ、凹レンズ、抵抗器、インダクタ、コンデンサ、スイッチ、電線、電気ケーブル、光ケーブル、伝送線路、集積回路など。これらはすべて、可変特性がごくわずかである。

• 電磁場の数学的記述
• ウェーバー電気力学
• ウィーラー・ファインマン吸収体理論

古典電気力学の基本的な物理的側面は、多くの教科書で解説されています。学部レベルでは、『ファインマン物理学講義』、『電気と磁気』、 『電気力学入門』などの教科書が古典的な参考書とみなされており、大学院レベルでは、『古典電気と磁気』^{[ 8 ]} 、『古典電気力学』、『理論物理学コース』などの教科書が古典的な参考書とみなされています。