ローレンツゲージの状態

電磁気学において、ローレンツゲージ条件またはローレンツゲージ（ルドヴィグ・ローレンツにちなんで）は、電磁ベクトルポテンシャルの部分的なゲージ固定であり、以下の条件を要求する。$\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}$⁠。この名前は、この分野の多くの概念にその名を冠したヘンドリック・ローレンツと混同されることが多い。 ^{[ 1 ]}この条件はローレンツ不変である。ローレンツゲージ条件はゲージを完全に決定するものではなく、ゲージ変換を行うことは可能である。${\displaystyle A^{\mu }\mapsto A^{\mu }+\partial ^{\mu }f}$⁠、そこで$\displaystyle \partial ^{\mu }}$は4つの勾配であり、${\displaystyle f}$は任意の調和スカラー関数、すなわち、次の式を満たすスカラー関数である。${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }f=0}$⁠ 、質量のないスカラー場の式。

ローレンツゲージ条件は、質量ゼロのスピン1量子場を記述するためにマクスウェル方程式を用いる際に、冗長なスピン0成分を除去するために用いられる。また、ゲージ変換の概念が全く適用されない質量のあるスピン1場にも用いられる。

電磁気学では、遅延電位による時間依存電磁場の計算にローレンツ条件が一般的に用いられる。^{[ 2 ]}この条件は $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0,}$$ どこ$\displaystyle A^{\mu }}$は4元ポテンシャルであり、コンマは偏微分を表し、繰り返しの添え字はアインシュタインの総和規約が使用されていることを示しています。この条件はローレンツ不変であるという利点があります。それでもなお、かなりのゲージ自由度が残ります。

通常のベクトル表記とSI単位では、条件は $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {A} }$は磁気ベクトルポテンシャルであり、${\displaystyle \varphi }$は電位です。^{[ 3 ] [ 4 ]}ゲージ固定も参照。

ガウス単位では条件は^{[ 5 ] [ 6 ]です}$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

ローレンツゲージの簡単な正当化は、マクスウェル方程式と磁気ベクトルポテンシャルと磁場の関係を用いて行うことができる。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}}$$

したがって、 $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.}$$

回転がゼロなので、スカラー関数が存在することを意味します。${\displaystyle \varphi }$そのため $${\displaystyle -\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

これは、電場に関するよく知られた方程式を与える。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

この結果をアンペール・マクスウェル方程式に代入すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\[1ex]\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\\[1ex]\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}}$$

これにより $${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .}$$

ローレンツ不変性を得るには、時間微分と空間微分を等しく（つまり同じ次数で）扱う必要があります。したがって、左辺をゼロにするローレンツゲージ条件を選択するのが便利で、次の結果が得られます。 $${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} .}$$

電気スカラーポテンシャルに焦点を当て、同じゲージ選択を行う同様の手順により、 $${\displaystyle \Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho .}$$

これらは、非斉次マクスウェル方程式のより単純で対称的な形式である。

ここ $${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$$ は真空中の光速であり、${\displaystyle \Box }$は、(+ − − −)の計量符号を持つダランベール演算子です。これらの式は真空条件下だけでなく、偏極媒質でも有効です。^{[ 7 ]}${\displaystyle \rho }$そして${\displaystyle \mathbf {J} }$はそれぞれ、電磁誘導場の発生源密度と循環密度である。${\displaystyle \mathbf {E} }$そして${\displaystyle \mathbf {B} }$通常通り計算${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle \mathbf {A} }$方程式により $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

明示的な解${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle \mathbf {A} }$– すべての量が無限遠で十分に速く消滅する場合、一意となる – は遅延ポテンシャルとして知られています。

1867年に最初に発表されたローレンツの研究は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルには受け入れられなかった。マクスウェルは、現在でいうクーロンゲージで研究していたため、電磁波方程式の導出からクーロン静電気力を排除していた。そのため、ローレンツゲージは、クーロン力に遅延効果を導入し、ローレンツの論文「光の振動と電流の同一性について」で導入された時間変動電場とともに電磁波方程式の中に持ち込むことで、マクスウェルの電磁波方程式の元の導出と矛盾していた。ローレンツの研究は、マクスウェル自身が1865年に論文を発表した後、マクスウェル方程式を簡略化するために対称性を使用した最初のものであった。1888年、ハインリヒ・ルドルフ・ヘルツの電磁波に関する実験の後、遅延電位が一般的に使用されるようになった。 1895年、 JJトムソンによる電子のデータ解釈により、遅延電位理論はさらに発展した（その後、電気現象の研究は時間依存の電荷と電流分布から移動する点電荷へと変化した）。^{[ 2 ]}

ローレンツは、電位（現在では遅延電位として知られている）の仮定された積分表現からこの条件を導き出し、ゲージを固定するために（例えば、1904年の電子理論に関する百科事典の記事で）この条件を課した。

• ゲージ固定
• 調和座標条件

一般的な

• ワイスタイン、EW 「ローレンツゲージ」。ウルフラムリサーチ。

さらに読む

• ローレンツ、L. (1867). 「光の振動と電流の同一性について」。フィロソフィカル・マガジン。シリーズ4。34 ( 230): 287–301。
• ヴァン・ブラデル、J. (1991)。 「ローレンツか、ローレンツか？」IEEE アンテナと伝播マガジン。33 (2): 69.土井: 10.1109/MAP.1991.5672647。S2CID 21922455。 
  • Bladel, J. (1991). "Lorenz or Lorentz? [Addendum]". IEEE Antennas and Propagation Magazine . 33 (4): 56. Bibcode : 1991IAPM...33...56B . doi : 10.1109/MAP.1991.5672657 .も参照。
• Becker, R. (1982).電磁場と相互作用. Dover Publications . 第3章.
• オラヒリー、A. (1938).電磁気学.ロングマンズ、グリーン社. 第6章.

歴史

• Nevels, R.; Shin, Chang-Seok (2001). "Lorenz, Lorentz, and the gauge". IEEE Antennas and Propagation Magazine . 43 (3): 70–71 . Bibcode : 2001IAPM...43...70N . doi : 10.1109/74.934904 .
• ウィテカー、ET（1989）。エーテルと電気の理論の歴史。第1～ 2巻。ドーバー出版。p.268 。