潜在能力の遅れ

電気力学において、遅延ポテンシャルとは、過去に時間変化する電流または電荷分布によって生成された電磁場の電磁ポテンシャルである。電磁場は光速cで伝播するため、原因と結果を結び付けるフィールドの遅延は重要な要素である。信号が電荷または電流分布（原因点）から空間内の別の点（効果が測定される点）に伝播するには有限の時間がかかる（下の図を参照）。^[1]

出発点は、ローレンツゲージを使用したポテンシャル定式化におけるマクスウェル方程式です。

${\displaystyle \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$

ここで、 φ( r , t ) は電位、A ( r , t ) は磁気ベクトルポテンシャルで、任意の電荷密度ρ( r , t ) と電流密度 J ( r , t ) に対して、 はダランベール演算子です。^[2]これらを解くと、以下の遅延ポテンシャルが得られます（すべてSI 単位系）。 ${\displaystyle \Box }$

時間依存場の場合、遅延電位は次のようになる: ^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

ここでrは空間上の点、 tは時間、

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

は遅れ時間であり、d ³ r'はr'を使用した積分尺度です。

φ( r ,t)とA ( r , t )から、ポテンシャルの定義を使用して フィールドE ( r , t )とB ( r , t )を計算できます。

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}$

そして、これはジェフィメンコ方程式につながる。対応する先進ポテンシャルは、先進時間を除いて同一の形を持つ。

${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

遅れた時間を置き換えます。

場が時間に依存しない場合（静電場と静磁場）、場の演算子 の時間微分はゼロとなり、マクスウェル方程式は次のように簡約される。${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,}$

ここで、∇ ^2はラプラシアンであり、 4つの要素（ φ に対して1つ、Aに対して3つ）のポアソン方程式の形をとり、解は次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

これらも遅延電位から直接生じます。

クーロンゲージでは、マクスウェル方程式は^[5]

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}$

解は上記とは対照的ですが、Aは遅延ポテンシャルですが φ は瞬時に変化するため、次のように表されます。

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}$

これはクーロンゲージの利点と欠点を示しています。 φ は電荷分布 ρ から簡単に計算できますが、A は電流分布jからそれほど簡単には計算できません。ただし、電位が無限遠で消えることを条件とすると、それらはフィールドできれいに表現できます。

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

線形化された一般相対論における遅延ポテンシャルは、電磁気学の場合とよく似ています。トレース反転テンソルは4元ベクトルポテンシャルの役割を果たし、調和ゲージは電磁気ローレンツゲージに取って代わり、場の方程式は、遅延波解は^​​[6]です。SI 単位系を使用する場合、次元解析によって確認できるように、この式は で割る必要があります。 ${\textstyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$${\displaystyle \Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '.}$$${\displaystyle c^{4}}$

遅延リエナール・ヴィーヒャートポテンシャルと進行 リエナール・ヴィーヒャートポテンシャルの平均を含む多体理論は、ウィーラー・ファインマン吸収体理論、別名ウィーラー・ファインマン時間対称理論 です。

直線上の等速電荷の電位は、直近の位置にある点で反転する。電位は移動方向に変化しない。^[7]

• マクスウェル方程式
• リエナール・ヴィーヒャルトポテンシャル
• レンツの法則