有効 一般的に、次元数は、平均場近似法が特定の問題に適用できるかどうかを決定する上で重要な役割を果たします。平均場近似法が有効となる次元数には、ある一定の次元数を超えると適用できず、それ以下の次元数では適用できないという臨界次元 が存在する場合があります。
経験的に言えば、MFTでは多くの相互作用が1つの有効相互作用に置き換えられます。したがって、元のシステムで場や粒子が多くのランダムな相互作用を示す場合、それらは互いに打ち消し合う傾向があるため、平均有効相互作用とMFTはより正確になります。これは、ハミルトニアンに長距離力が含まれる高次元の場合、または粒子が拡張されている場合（例えばポリマー ）に当てはまります。ギンツブルグ基準は、 ゆらぎが MFTを不適切な近似にする仕組みを形式的に表現したもので、多くの場合、対象となるシステムの空間次元数に依存します。
平均場理論の形式的な基礎はボゴリューボフの不等式 である。この不等式は、ハミルトニアンを持つ系の自由エネルギーが
H = H 0 + Δ H \displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}} 以下の上限値を持つ。
F ≤ F 0 = d e f ⟨ H ⟩ 0 − T S 0 、 {\displaystyle F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},} どこS 0 {\displaystyle S_{0}} はエントロピー であり、F {\displaystyle F} F 0 {\displaystyle F_{0}} これらはヘルムホルツ自由エネルギー である。平均は、ハミルトニアンを持つ参照系の平衡アンサンブルについて取られる。 H 0 \displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}
H 0 = ∑ 私 = 1 N h 私 （ ξ 私 ） 、 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),} どこξ 私 \displaystyle \xi _{i}} 自由度 であり、不等式の右辺を最小化することで上限を厳密にすることができます。最小化参照システムは、相関のない自由度を使用して真のシステムに対する「最良」の近似であり、平均場近似 として知られています。
ターゲットハミルトニアンがペアワイズ相互作用のみを含む最も一般的なケースでは、
H = ∑ （ 私 、 j ） ∈ P V 私 、 j （ ξ 私 、 ξ j ） 、 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),} どこP {\displaystyle {\mathcal {P}}} Tr 私 f （ ξ 私 ） {\displaystyle \operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})} f {\displaystyle f}
F 0 = Tr 1 、 2 、 … 、 N H （ ξ 1 、 ξ 2 、 … 、 ξ N ） P 0 （ N ） （ ξ 1 、 ξ 2 、 … 、 ξ N ） + k T Tr 1 、 2 、 … 、 N P 0 （ N ） （ ξ 1 、 ξ 2 、 … 、 ξ N ） ログ P 0 （ N ） （ ξ 1 、 ξ 2 、 … 、 ξ N ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}} どこP 0 （ N ） （ ξ 1 、 ξ 2 、 … 、 ξ N ） {\displaystyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})} （ ξ 1 、 ξ 2 、 … 、 ξ N ） {\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})} ボルツマン因子によって与えられる。
P 0 （ N ） （ ξ 1 、 ξ 2 、 … 、 ξ N ） = 1 Z 0 （ N ） e − β H 0 （ ξ 1 、 ξ 2 、 … 、 ξ N ） = ∏ 私 = 1 N 1 Z 0 e − β h 私 （ ξ 私 ） = d e f ∏ 私 = 1 N P 0 （ 私 ） （ ξ 私 ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{整列}}} どこZ 0 {\displaystyle Z_{0}} は分配関数 です。したがって
F 0 = ∑ （ 私 、 j ） ∈ P Tr 私 、 j V 私 、 j （ ξ 私 、 ξ j ） P 0 （ 私 ） （ ξ 私 ） P 0 （ j ） （ ξ j ） + k T ∑ 私 = 1 N Tr 私 P 0 （ 私 ） （ ξ 私 ） ログ P 0 （ 私 ） （ ξ 私 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}} を最小化するために、自由度1の確率に関して微分をとる。P 0 （ 私 ） {\displaystyle P_{0}^{(i)}} ラグランジュ乗数 を用いて適切な正規化を保証する。最終結果は自己無撞着方程式のセットである。
P 0 （ 私 ） （ ξ 私 ） = 1 Z 0 e − β h 私 M F （ ξ 私 ） 、 私 = 1 、 2 、 … 、 N 、 {\displaystyle P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,} ここで平均場は次のように与えられる。
h 私 MF （ ξ 私 ） = ∑ { j ∣ （ 私 、 j ） ∈ P } Tr j V 私 、 j （ ξ 私 、 ξ j ） P 0 （ j ） （ ξ j ） 。 {\displaystyle h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})。}
アプリケーション 平均場理論は、相転移 などの現象を研究するために、多くの物理システムに適用することができる。[ 8 ]
イジングモデル
上記のボゴリューボフの不等式は、2次元イジング格子の平均場モデルのダイナミクスを求めるために使用できます。結果として得られる近似 自由エネルギー から磁化関数を計算できます。[ 9 ]
− m ∑ 私 s 私 {\displaystyle -m\sum _{i}s_{i}} 変分自由エネルギーは
F V = F 0 + ⟨ （ − J ∑ s 私 s j − h ∑ s 私 ） − （ − m ∑ s 私 ） ⟩ 0 。 {\displaystyle F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.} ボゴリューボフの不等式により、この量を単純化し、変分自由エネルギーを最小化する 磁化関数を計算すると、実際の磁化に対する最良の近似値が得られます。最小化関数は
m = J ∑ ⟨ s j ⟩ 0 + h 、 {\displaystyle m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,} これはスピンのアンサンブル平均 です。これは次のように簡略化されます。
m = タン （ z J β m + h {\displaystyle m={\text{tanh}}(zJ\beta m+h} すべてのスピンが感じる有効磁場を平均スピン値に等しいとすることで、変分法はゆらぎの抑制と関連付けられる。したがって、磁化関数の物理的解釈は、個々のスピンの平均値の場となる。
非相互作用スピン近似 イジングモデル について考えてみましょう。d {\displaystyle d}
H = − J ∑ ⟨ 私 、 j ⟩ s 私 s j − h ∑ 私 s 私 、 {\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},} どこで∑ ⟨ 私 、 j ⟩ {\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }} ⟨ 私 、 j ⟩ {\displaystyle \langle i,j\rangle } s 私 、 s j = ± 1 {\displaystyle s_{i},s_{j}=\pm 1}
スピン変数に平均値からの変動を導入することで、スピン変数を変換してみましょう。m 私 ≡ ⟨ s 私 ⟩ {\displaystyle m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle }
H = − J ∑ ⟨ 私 、 j ⟩ （ m 私 + δ s 私 ） （ m j + δ s j ） − h ∑ 私 s 私 、 {\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},} ここで定義するδ s 私 ≡ s 私 − m 私 {\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}} 変動です。
右辺を展開すると、スピンの平均値のみに依存し、スピン配置には依存しない項が一つ得られます。これは自明な項であり、系の統計的性質には影響を与えません。次の項は、スピンの平均値とゆらぎの値の積を含む項です。最後に、最後の項は二つのゆらぎの値の積を含む項です。
平均場近似とは、この2次ゆらぎ項を無視することである。
H ≈ H MF ≡ − J ∑ ⟨ 私 、 j ⟩ （ m 私 m j + m 私 δ s j + m j δ s 私 ） − h ∑ 私 s 私 。 {\displaystyle H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.} これらの変動は低次元で増幅されるため、MFTは高次元においてより良い近似となる。
ここでも、項は再展開できる。さらに、イジング鎖は並進不変であるため、各スピンの平均値はサイトに依存しないと予想される。これにより、
H MF = − J ∑ ⟨ 私 、 j ⟩ （ m 2 + 2 m （ s 私 − m ） ） − h ∑ 私 s 私 。 {\displaystyle H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.} 隣接するスピンの総和は次のように書き換えることができる。∑ ⟨ 私 、 j ⟩ = 1 2 ∑ 私 ∑ j ∈ n n （ 私 ） {\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}} n n （ 私 ） {\displaystyle nn(i)} 私 {\displaystyle i} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
H MF = J m 2 N z 2 − （ h + m J z ） ⏟ h 有効。 ∑ 私 s 私 、 {\displaystyle H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},} どこz {\displaystyle z} は配位数 である。この時点で、イジングハミルトニアンは有効平均場 を持つ1体ハミルトニアンの和に分離されている。 h 有効。 = h + J z m {\displaystyle h^{\text{eff.}}=h+Jzm} h {\displaystyle h} 平均場 。この平均場は、最近接スピンの数、ひいてはシステムの次元に直接依存することに注意する価値がある（例えば、次元の超立方格子の場合）。d {\displaystyle d} z = 2 d {\displaystyle z=2d}
このハミルトニアンを分配関数に代入し、有効な1次元問題を解くと、次の式が得られる。
Z = e − β J m 2 N z 2 [ 2 コッシュ （ h + m J z k B T ） ] N 、 {\displaystyle Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},} どこN {\displaystyle N} 臨界指数 を計算することができます。特に、磁化を求めることができます。m {\displaystyle m} h 有効。 {\displaystyle h^{\text{eff.}}}
したがって、2 つの方程式が存在します。m {\displaystyle m} h 有効。 {\displaystyle h^{\text{eff.}}} m {\displaystyle m}
ある値を超える温度の場合T c {\displaystyle T_{\text{c}}} m = 0 {\displaystyle m=0} 常磁性体 です。 のためにT < T c {\displaystyle T<T_{\text{c}}} m = ± m 0 {\displaystyle m=\pm m_{0}} 強磁性体 である。 T c {\displaystyle T_{\text{c}}} T c = J z k B {\displaystyle T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}}
これは、MFTが強磁性相転移を説明できることを示している。
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![{\displaystyle Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5363c9d36cd3991d8fe99e1a9107b2ce53c19a73)
