異方性拡散

画像処理やコンピュータビジョンにおいて、異方性拡散（ペローナ・マリク拡散とも呼ばれる）は、画像コンテンツの重要な部分、通常は画像の解釈に重要なエッジ、線、その他の詳細を削除することなく画像ノイズを減らすことを目的とした手法です。 ^{[1] [2] [3]} 異方性拡散は、スケール空間を作成するプロセスに似ており、画像は拡散プロセスに基づいて、次第にぼやけた画像のパラメーター化されたファミリを生成します。このファミリ内の結果の画像はそれぞれ、画像と2D等方性ガウスフィルタとの畳み込みとして提供され、フィルタの幅はパラメータとともに増加します。この拡散プロセスは、元の画像の線形で空間不変な変換です。異方性拡散は、この拡散プロセスを一般化したものです。パラメーター化された画像のファミリを生成しますが、結果として得られる各画像は、元の画像と、元の画像のローカルコンテンツに依存するフィルタとの組み合わせです。結果として、異方性拡散は元の画像の 非線形で空間可変の変換です。

1987 年にPeronaとMalikによって発表された元の定式化^[1]では、空間可変フィルタは実際には等方性ですが、画像の内容に依存しているため、結果として得られるスケール空間のさまざまなレベルにわたって画像内に保持されるべきエッジやその他の構造の近くではインパルス関数を近似します。この定式化は、局所的に適応されたフィルタが等方性であるにもかかわらず、Perona と Malik によって異方性拡散と呼ばれていましたが、他の著者によって不均質で非線形の拡散^[4]またはPerona–Malik 拡散^[5]と呼ばれることもあります。より一般的な定式化により、局所的に適応されたフィルタをエッジや線などの線形構造の近くで真に異方性にすることができます。つまり、フィルタは構造によって方向が与えられ、構造に沿って引き伸ばされ、横方向に狭くなります。このような方法は、形状適応スムージング^{[6] [7]}またはコヒーレンス強化拡散^[8]と呼ばれます。これら両方のケースは、拡散係数が一定のスカラーではなく、画像の位置の関数であり、行列（またはテンソル）値（構造 tensor を参照）を想定している通常の拡散方程式の一般化によって記述できます。

結果として得られる画像群は、元の画像と空間可変フィルタの組み合わせとして説明できますが、局所的に適応されたフィルタと画像との組み合わせは、実際には実現する必要はありません。異方性拡散は通常、一般化拡散方程式の近似によって実装されます。つまり、群内の新しい画像はそれぞれ、この方程式を前の画像に適用して計算されます。したがって、異方性拡散は反復プロセスであり、比較的単純な計算セットを使用して群内の連続する各画像を計算し、十分な程度の平滑化が得られるまでこのプロセスが続けられます。

正式には、平面のサブセットを 、グレースケール画像の族を とします。は入力画像です。異方性拡散は次のように定義されます。 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle I(\cdot,0)}$

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I}$

ここで、はラプラシアン、は勾配、は発散演算子、 は拡散係数です。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle \operatorname {div} (\cdots )}$${\displaystyle c(x,y,t)}$

の場合、出力画像は として利用でき、 が大きくなるほど、ぼやけた画像が生成されます。 ${\displaystyle t>0}$${\displaystyle I(\cdot,t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle c(x,y,t)}$拡散率を制御し、通常は画像のエッジを保存するために画像勾配の関数として選択されます。 ピエトロ・ペローナとジテンドラ・マリクは1990 年に異方性拡散のアイデアを開拓し、拡散係数の 2 つの関数を提案しました。

${\displaystyle c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}}$

そして

${\displaystyle c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}}$

定数K はエッジに対する感度を制御し、通常は実験的に、または画像内のノイズの関数として選択されます。

を滑らかな画像の多様体とすると、上記の拡散方程式は、次のように定義される エネルギー関数の最小化のための勾配降下方程式として解釈できる。${\displaystyle M}$${\displaystyle E:M\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx}$

ここで、は拡散係数と密接な関係にある実数値関数である。すると、任意のコンパクトに支えられた無限微分可能テスト関数に対して、 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}$

ここで最後の線は多次元部分積分から導かれる。Iにおける 内積に対するEの勾配をとすると、次の式が得られる。${\displaystyle \nabla E_{I}}$${\displaystyle L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}$

したがって、関数E上の勾配降下方程式は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}$

このようにすることで異方性拡散方程式が得られます。 ${\displaystyle c=g'}$

PeronaとMalikによって提案された拡散係数は、のときに不安定性を引き起こす可能性があります。この条件は、物理的な拡散係数（PeronaとMalikによって定義された数学的な拡散係数とは異なります）が負になることと同等であることが証明されており、画像強度のコントラストを平滑化するのではなく強調する逆拡散につながります。この問題を回避するには、正則化が必要であり、空間的な正則化によって収束した一定の定常解が得られることが示されています。^[9]${\displaystyle c(x,y,t)}$${\displaystyle \|\nabla I\|^{2}>K^{2}}$

この目的のために、修正されたペローナ・マリクモデル^{[10] （PM方程式の}正則化としても知られる）の1つについて説明する。このアプローチでは、未知数を非線形性の内部でガウス分布と畳み込み、修正されたペローナ・マリク方程式を得る。

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)}$

どこ 。 ${\displaystyle G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)}$

この正則化によって方程式の適切性は達成できますが、ぼかし効果も導入されます。これが正則化の主な欠点です。正則化パラメータの選択はノイズ レベルに依存するため、ノイズ レベルに関する事前の知識が必要です。

異方性拡散は、エッジをぼかすことなくデジタル画像からノイズを除去するために使用できます。拡散係数が一定であれば、異方性拡散方程式は熱方程式に簡約され、これはガウスぼかしと同等です。これはノイズを除去するのに理想的ですが、エッジも無差別にぼかします。Perona-Malik のように、拡散係数がエッジ回避関数として選択されると、結果として得られる方程式は、より滑らかな画像強度の領域内で拡散 (したがって平滑化) を促進し、強いエッジ全体で拡散を抑制します。したがって、画像からノイズを除去しながらエッジが保持されます。

ノイズ除去と同様に、異方性拡散はエッジ検出アルゴリズムで使用できます。エッジ探索拡散係数を使用して拡散を一定回数反復実行することで、画像は、一定成分間の境界がエッジとして検出される、区分的に一定の画像に進化させることができます。

• バイラテラルフィルター
• エッジ検出
• エッジ保存スムージング
• 熱方程式
• 画像ノイズ
• ノイズ低減
• スケールスペース
• トータルバリエーションノイズ除去
• 制限された変動

• Mathematica PeronaMalikFilter 関数。
• IDL非線形異方性拡散パッケージ（エッジ強調とコヒーレンス強化）: [1]