熱伝導

定常伝導とは、伝導を引き起こす温度差が一定の場合に起こる伝導の形態であり、平衡時間経過後、伝導体内部の温度の空間分布（温度場）はそれ以上変化しません。したがって、空間に関する温度の偏微分はゼロになる場合もゼロでない場合もありますが、任意の点における時間に関する温度の微分は一様にゼロになります。定常伝導では、物体のどの領域に入ってくる熱量も、そこから出ていく熱量と等しくなります（そうでなければ、熱エネルギーが領域内で消費または捕捉されるため、温度は上昇または下降します）。

例えば、棒の一端が冷たく、もう一端が熱い場合、定常伝導状態に達すると、時間の経過とともに棒に沿った温度の空間勾配はそれ以上変化しません。その代わりに、熱伝達の方向に垂直な棒の任意の断面で温度は一定に保たれ、棒内で発熱がない場合、この温度は空間的に線形に変化します。^{[ 4 ]}

定常伝導においては、直流電気伝導の法則はすべて「熱流」にも適用できます。このような場合、「熱抵抗」を電気抵抗のアナログとして扱うことが可能です。この場合、温度は電圧の役割を果たし、単位時間あたりに伝達される熱量（熱出力）は電流のアナログとなります。定常システムは、電気抵抗器の回路網と全く同じように、このような熱抵抗器を直列および並列に接続した回路網でモデル化できます。このような回路網の例については、純粋な抵抗性熱回路を参照してください。

物体内部のあらゆる場所で温度が時間とともに変化する期間において、熱エネルギーの流れの様式は過渡伝導と呼ばれます。また、「非定常伝導」という用語もあり、これは物体内の温度場の時間依存性を指します。非定常状態は、物体の境界で温度変化が強制的に加えられた後に発生します。また、物体内部の温度変化によっても発生する可能性があり、これは物体内部に新たな熱源または熱吸収源が突然導入され、その近傍の温度が時間とともに変化することによって生じます。

このような新たな温度変動が生じると、系内の温度は、新たな条件が変化しない限り、時間とともに新たな平衡状態へと変化します。平衡状態に達すると、系への熱流入と系からの熱流出が再び等しくなり、系内の各点における温度は変化しなくなります。この状態になると、過渡的な熱伝導は終了しますが、熱流が継続する場合は定常状態の熱伝導が続く可能性があります。

外部温度の変化や内部発熱量の変化が速すぎて空間内の温度平衡が成立しない場合、システムは時間的に温度分布が一定になる状態に達することはなく、過渡状態のままとなる。

物体内部で新たな熱源が「オン」になり、過渡的な熱伝導を引き起こす例として、自動車のエンジン始動が挙げられます。この場合、エンジンが定常運転温度に達するとすぐに、機械全体の過渡的な熱伝導段階は終了し、定常状態段階が現れます。この定常平衡状態では、エンジンシリンダーから自動車の他の部分まで温度は大きく変化しますが、自動車内部のどの場所でも温度が上昇または下降することはありません。この状態が確立されると、熱伝達の過渡的な熱伝導段階は終了します。

新たな外部条件もこのプロセスを引き起こします。例えば、定常伝導の例で示されている銅棒は、片方の端がもう一方の端とは異なる温度にさらされるとすぐに過渡伝導を起こします。時間が経つにつれて、棒内部の温度分布は新たな定常状態に達し、棒に沿って一定の温度勾配が形成され、その後この勾配は時間とともに一定に保たれます。通常、新たな温度源または熱源、あるいは熱シンクが導入されると、このような新たな定常状態の勾配は時間とともに指数関数的に近づきます。「過渡伝導」段階が終了すると、温度が変化しない限り、熱の流れは高出力で継続する可能性があります。

定常伝導に至らず、伝導が全く起こらない過渡伝導の例として、高温の銅球を低温の油に落とした場合が挙げられます。この場合、金属から熱が奪われるにつれて、物体内部の温度場は時間とともに変化し始めます。重要なのは、物体内部の温度の空間的な変化を、すべての温度勾配が完全に消失するまで（つまり、球が油と同じ温度になるまで）分析することです。数学的には、この状態も指数関数的に近づきます。理論的には無限の時間がかかりますが、実際には、実質的にははるかに短い時間で完了します。この過程では、球の内部（有限）以外に熱を吸収する媒体がないため、定常状態の熱伝導に到達することはありません。このような状態は、この状況では決して発生せず、むしろ熱伝導が全く起こらない状態が過程の終わりとなります。

非定常伝導システムの解析は、定常システムの解析よりも複雑です。導体の形状が単純な場合は、正確な解析的な数式と解が得られる可能性があります（解析的アプローチについては熱方程式を参照）。 ^{[ 5 ]}しかし、多くの場合、形状が複雑で、形状内で熱伝導率が変化するため（つまり、工学における最も複雑な物体、機構、または機械）、近似理論の適用、および/またはコンピュータによる数値解析が必要になります。一般的な図解法の1つは、ハイスラーチャートを使用することです。

過渡伝導の問題は、加熱または冷却される物体の領域を特定でき、その領域の熱伝導率がその領域に通じる熱経路の熱伝導率よりもはるかに大きい場合、大幅に単純化できることがあります。この場合、高伝導率の領域は、集中容量モデルにおいて、その総熱容量からなる単純な熱容量を持つ「塊」の物質として扱うことができます。このような領域は、加熱または冷却されますが、その過程において（システムの残りの部分と比較して）その範囲全体にわたって大きな温度変化を示しません。これは、その領域の伝導率がはるかに高いためです。したがって、過渡伝導中、伝導領域全体の温度は空間的に均一に変化し、時間的には単純な指数関数的に変化します。このようなシステムの例としては、過渡冷却中にニュートンの冷却法則に従うシステム（または加熱中にその逆の法則に従うシステム）が挙げられます。等価熱回路は、単純なコンデンサと抵抗器が直列に接続されたものです。このような場合、高い熱抵抗（比較的低い伝導率）を持つシステムの残りの部分が、回路内の抵抗器の役割を果たします。

相対論的熱伝導理論は、特殊相対性理論と整合性のあるモデルである。前世紀の大半において、フーリエ方程式は熱信号の伝播速度が無限大になることを許容するため、相対性理論と矛盾することが認識されていた。例えば、フーリエ方程式によれば、原点で発生した熱パルスは瞬時に無限遠で感じられることになる。情報の伝播速度は真空中の光速よりも速く、これは相対性理論の枠組みでは物理的に許容されない。

第二音とは、熱伝達が拡散という一般的なメカニズムではなく、波動運動によって起こる量子力学的現象である。通常の音波における圧力の代わりに熱が伝わる。これにより、非常に高い熱伝導率が生じる。熱の波動運動が空気中の音の伝播に似ていることから、「第二音」と呼ばれている。これは量子伝導と呼ばれる。

フーリエの熱伝導法則の微分形式は、局所的な熱流束密度が$\displaystyle \mathbf {q} }$熱伝導率の積に等しい${\displaystyle \kappa }$そして負の局所温度勾配${\displaystyle -\nabla T}$熱流束密度とは、単位面積を単位時間あたりに通過するエネルギー量のことである。 $${\displaystyle \mathbf {q} =-\kappa \nabla T,}$$ ここで（SI単位を含む）

• $\displaystyle \mathbf {q} }$は局所熱流束密度、W /m²^です。
• ${\displaystyle \kappa }$は材料の導電率、W/(m· K ) です。
• ${\displaystyle \nabla T}$は温度勾配（K/m）です。

熱伝導率${\displaystyle k}$は定数として扱われることが多いが、必ずしもそうではない。材料の熱伝導率は一般的に温度によって変化するが、一般的な材料の中には、広い温度範囲にわたって変化が小さいものもある。異方性材料では、熱伝導率は通常、配向によって変化する。この場合${\displaystyle \kappa }$は2階テンソルで表されます。不均一な材料では、${\displaystyle \kappa }$空間的な位置によって異なる。

多くの単純な応用例では、フーリエの法則は一次元形式、例えばx方向で使用されます。 $${\displaystyle q_{x}=-\kappa {\frac {dT}{dx}}.}$$

等方性媒体では、フーリエの法則から熱方程式が得られる。$${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial z^{2}}}\right)}$$熱核としてよく知られている基本解 を持つ。

材料の全表面にわたって微分形式を積分することにより${\displaystyle S}$すると、フーリエの法則の積分形が得られます。

${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$${\displaystyle {}={}}$${\displaystyle -\kappa }$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \nabla T\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

ここで（SI単位を含む）：

• ${\displaystyle {\dot {Q}}=}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$は伝導によって伝達される熱出力（W単位）であり、伝達された熱の時間微分である。${\displaystyle Q}$（Jで）
• ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$は、方向付けられた表面積要素（m²単位^）です。

上記の微分方程式を、一定温度の2つの端点間の1次元形状の均質材料に対して積分すると、熱流束は次のようになる。 $${\displaystyle Q=-\kappa {\frac {A\Delta t}{L}}\Delta T,}$$ どこ

• ${\displaystyle \Delta t}$熱量が${\displaystyle Q}$材料の断面を流れる、
• ${\displaystyle A}$は断面積、
• ${\displaystyle \Delta T}$両端間の温度差は、
• ${\displaystyle L}$は両端間の距離です。

1次元均質材料の （巨視的な）熱抵抗は次のように定義できる。$${\displaystyle R={\frac {1}{k}}{\frac {L}{A}}}$$

単純な電気抵抗に対するオームの法則に類似した、単純な1次元定常熱伝導方程式を用いると、次のようになる。 $${\displaystyle \Delta T=R\,{\dot {Q}}}$$

この法則は、熱方程式を導出するための基礎となる。

これまで示量性に基づいて記述されてきたコンダクタンスの式は、示強性に基づいて再定式化することができる。理想的には、コンダクタンスの式は、電気抵抗のオームの法則のように、距離に依存しない次元を持つ量を生成するはずである。${\displaystyle R=V/I\,\!}$、およびコンダクタンス、${\displaystyle G=I/V\,\!}$。

電気の公式より：${\displaystyle R=\rho x/A}$ここで、ρは抵抗率、xは長さ、Aは断面積であり、${\displaystyle G=kA/x\,\!}$ここで、Gはコンダクタンス、kは導電率、xは長さ、Aは断面積である。

熱のために、 $${\displaystyle U={\frac {kA}{\Delta x}},}$$ ここでUはコンダクタンスである。

フーリエの法則は次のようにも表すことができる。 $${\displaystyle {\dot {Q}}=U\,\Delta T,}$$ オームの法則に類似して、${\displaystyle I=V/R}$または${\displaystyle I=VG.}$

コンダクタンスの逆数は抵抗Rであり、次式で与えられる。 $${\displaystyle R={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}},}$$ オームの法則に類似して、${\displaystyle R=V/I.}$

抵抗と導電率を組み合わせる（直列接続と並列接続）ための規則は、熱の流れと電流の両方について同じである。

円筒形のシェル（パイプなど）を通る伝導は、内部半径から計算できます。${\displaystyle r_{1}}$外半径、${\displaystyle r_{2}}$長さ、${\displaystyle \ell }$、内壁と外壁の温度差、${\displaystyle T_{2}-T_{1}}$。

円筒の表面積は${\displaystyle A_{r}=2\pi r\ell }$

フーリエの式を適用すると： $${\displaystyle {\dot {Q}}=-kA_{r}{\frac {dT}{dr}}=-2k\pi r\ell {\frac {dT}{dr}}}$$ そして再配置されました： $${\displaystyle {\dot {Q}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\,dr=-2k\pi \ell \int _{T_{1}}^{T_{2}}dT}$$ すると、熱伝達速度は次のようになります。 $${\displaystyle {\dot {Q}}=2k\pi \ell {\frac {T_{1}-T_{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}}$$ 熱抵抗は次のとおりです。 $${\displaystyle R_{c}={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}}={\frac {\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k\ell }}}$$ そして${\textstyle {\dot {Q}}=2\pi k\ell r_{m}{\frac {T_{1}-T_{2}}{r_{2}-r_{1}}}}$、 どこ${\textstyle r_{m}={\frac {r_{2}-r_{1}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}}$これは対数平均半径です。

内半径を持つ球殻を通る伝導、${\displaystyle r_{1}}$、および外径、${\displaystyle r_{2}}$は、円筒殻の場合と同様の方法で計算できます。

球の表面積は次のとおりです。${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

円筒殻の場合と同様の方法で解くと（上記参照）、次の式が得られる。 $${\displaystyle {\dot {Q}}=4k\pi {\frac {T_{1}-T_{2}}{1/{r_{1}}-1/{r_{2}}}}=4k\pi {\frac {(T_{1}-T_{2})r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}}}$$

界面における熱伝達は、過渡的な熱流とみなされます。この問題を解析するには、システムの挙動を理解する上で ビオ数が重要です。ビオ数は次のように決定されます。$${\displaystyle {\text{Bi}}={\frac {hL}{k}}}$$ 熱伝達係数${\displaystyle h}$は、この式に導入され、 は で測定されます。$${\displaystyle \mathrm {\frac {J}{m^{2}sK}} }$$システムのビオ数が0.1未満の場合、材料はニュートン冷却に従って動作し、つまり、物体内部の温度勾配は無視できるほど小さい。^{[ 6 ]}ビオ数が0.1より大きい場合、システムは直列解として動作する。ただし、材料内部には顕著な温度勾配があり、温度プロファイルを記述するには直列解が必要となる。与えられた冷却方程式は次のとおりである。 $${\displaystyle q=-h\,\Delta T,}$$ これにより、時間に対する温度分布の無次元形式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {T-T_{f}}{T_{i}-T_{f}}}=\exp \left({\frac {-hAt}{\rho C_{p}V}}\right).}$$ この式は、温度が時間とともに指数関数的に減少することを示しており、その速度は材料の特性と熱伝達係数によって決まります。 ^{[ 7 ]} 熱伝達係数hは、${\displaystyle \mathrm {\frac {W}{m^{2}K}} }$は、2つの材料間の界面における熱伝達を表します。この値は界面ごとに異なり、界面における熱の流れを理解する上で重要な概念です。

級数解はノモグラムを用いて解析できる。ノモグラムは、y座標として相対温度、そしてフーリエ数を持ち、フーリエ数は次のように計算される。 $${\displaystyle {\text{Fo}}={\frac {\alpha t}{L^{2}}}.}$$

ビオ数はフーリエ数が減少するにつれて増加する。時間経過に伴う温度分布を求めるには、以下の5つのステップがある。

1. ビオ数を計算する
2. 相対的な深さのどちらが重要か、つまりxまたはLのどちらが重要かを判断してください。
3. 時間をフーリエ数に変換する。
4. 変換する${\displaystyle T_{i}}$境界条件との相対温度について。
5. ノモグラム上の指定されたビオ数を追跡するために必要なポイントと比較します。

スプラット冷却は、溶融物質の小さな液滴を冷たい表面に急速に接触させることで急冷する方法です。粒子は特徴的な冷却プロセスを受け、熱プロファイルは${\displaystyle t=0}$初期温度の最大値は${\displaystyle x=0}$そして${\displaystyle T=0}$で${\displaystyle x=-\infty }$そして${\displaystyle x=\infty }$、そして熱プロファイルは${\displaystyle t=\infty }$のために${\displaystyle -\infty \leq x\leq \infty }$境界条件として。スプラット冷却は急速に定常状態の温度に達し、ガウス拡散方程式と形式が類似している。このタイプの冷却の位置と時間に関する温度プロファイルは、以下によって変化する。 $${\displaystyle T(x,t)-T_{i}={\frac {T_{i}\Delta X}{2{\sqrt {\pi \alpha t}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\alpha t}}\right)}$$

スプラット冷却は、溶射という形で実用化されている基本的な概念です。熱拡散係数は次のように表されます。${\displaystyle \alpha }$は次のように書くことができます。${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\rho C_{p}}}}$これは材料によって異なります。^{[ 8 ] [ 9 ]}

金属の焼入れは、時間温度変化（TTT）の観点からは過渡的な熱伝達プロセスです。冷却プロセスを操作して、適切な材料の相を調整することが可能です。たとえば、鋼を適切に焼入れすると、その含有量の望ましい割合のオーステナイトをマルテンサイトに変換し、非常に硬くて強い製品を作ることができます。これを実現するには、 TTT ダイアグラムの「ノーズ」（または共晶）で焼入れする必要があります。材料はビオ数が異なるため、材料が焼入れするのにかかる時間、つまりフーリエ数は実際には異なります。^{[ 10 ]}鋼の場合、焼入れ温度範囲は一般的に 600  °C から 200  °C です。焼入れ時間を制御し、適切な焼入れ媒体を選択するには、目的の焼入れ時間、相対温度降下、および関連するビオ数からフーリエ数を決定する必要があります。通常、正しい数値は標準ノモグラムから読み取られます。このビオ数から熱伝達係数を計算することで、用途に適した液体媒体を見つけることができます。^{[ 11 ]}

標準圧力および標準温度条件下におけるあらゆる気体の熱伝導特性は一定量である。したがって、既知の基準気体または既知の基準気体混合物のこの特性は、熱伝導率分析装置などの特定のセンシング用途に利用できる。

この装置の動作原理は、抵抗値が一致する4本のフィラメントからなるホイートストンブリッジに基づいています。特定のガスをこのフィラメントのネットワークに通すと、フィラメントの熱伝導率が変化するため抵抗値が変化し、それによってホイートストンブリッジからの正味電圧出力が変化します。この電圧出力をデータベースと照合することで、ガスサンプルを特定します。

気体の熱伝導の原理は、二成分混合気体中の特定の気体の濃度を測定するためにも利用できる。

動作原理：ホイートストンブリッジのすべてのフィラメントの周囲に同じガスが存在する場合、すべてのフィラメントで同じ温度が維持され、したがって抵抗値も同じに維持されます。その結果、ホイートストンブリッジは平衡状態になります。しかし、異なるガスサンプル（または混合ガス）を一方のフィラメントセットに通し、基準ガスをもう一方のフィラメントセットに通すと、ホイートストンブリッジは不平衡状態になります。そして、回路の正味出力電圧をデータベースと照合することで、サンプルガスの成分を特定します。

この手法を用いることで、未知のガス試料の熱伝導率を、既知の熱伝導率を持つ他の基準ガスと比較することにより、多くのガス試料を特定することができる。最も一般的に使用される基準ガスは窒素である。これは、水素とヘリウムを除くほとんどの一般的なガスの熱伝導率が窒素の熱伝導率と類似しているためである。