アインシュタインテンソル

微分幾何学では、アインシュタインテンソル（アルバート・アインシュタインにちなんで名付けられ、トレース反転リッチテンソルとしても知られる）は、擬リーマン多様体の曲率を表すために使用されます。一般相対性理論では、エネルギーと運動量の保存則と一致する方法で時空の曲率を記述する重力のアインシュタイン場の方程式で使用されます。

アインシュタインテンソルは、擬リーマン多様体 上で定義される 2 次テンソルです。インデックスフリー表記では、次のように定義されます。 ここで、 はリッチテンソル、は計量テンソル、はスカラー曲率で、これは⁠ ⁠によってリッチテンソルのトレースとして計算されます。成分形式では、前の式は次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$$${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{\mu \nu }}$${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$$${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$$

アインシュタインテンソルは対称で あり、オンシェル応力エネルギーテンソルと同様に発散はゼロです。 $${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$$ $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0\,.}$$

リッチ テンソルは計量テンソルのみに依存するため、アインシュタイン テンソルは計量テンソルだけで直接定義できます。ただし、この表現は複雑で、教科書にはほとんど記載されていません。この表現の複雑さは、リッチ テンソルの式をクリストッフェル記号で表すことで示せます。 ここで、はクロネッカー テンソルで、クリストッフェル記号は次のように定義されます。 また、形式の項はμ 方向の偏微分を表します。つまり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\\[2pt]G^{\alpha \beta }&=\left(g^{\alpha \gamma }g^{\beta \zeta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\end{aligned}}}$$${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }\left(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }\right).}$$${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }}$$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$$

キャンセル前は、この式は個別の条件を算出します。キャンセルにより、この数値はいくらか減少します。 ${\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}$

点の近くの 局所慣性座標系の特殊なケースでは、計量テンソルの一次導関数は消え、アインシュタインテンソルの成分形式は大幅に単純化されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }\left[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right)\right]\\&=g^{\gamma \mu }\left(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta }\right)\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right),\end{aligned}}}$$ ここで、角括弧は慣例的に括弧内のインデックスの反対称化を表す。すなわち、 $${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}\left(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }\right).}$$

アインシュタインテンソルのトレースは、定義の方程式を計量テンソル⁠ ⁠で縮約することによって計算できます。次元（任意のシグネチャ）では、次のようになります。 ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$$

したがって、 n = 4次元の特殊なケースでは、 ⁠ ⁠${\displaystyle G=-R}$です。つまり、アインシュタイン テンソルのトレースは、リッチ テンソルのトレースの負です。したがって、アインシュタイン テンソルの別名は、トレースが逆のリッチ テンソルです。このケースは、一般相対性理論で特に関連しています。 ${\displaystyle n=4}$

アインシュタインテンソルにより、アインシュタイン場の方程式を簡潔な形式で記述することができます。 ここで、は宇宙定数、 はアインシュタイン重力定数です。 $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \kappa }$

アインシュタイン テンソルの明示的な形式から、アインシュタイン テンソルは計量テンソルの非線形関数ですが、計量の 2次偏微分では線形です。対称な 2 次テンソルとして、アインシュタイン テンソルは 4 次元空間に 10 個の独立したコンポーネントを持ちます。したがって、アインシュタイン場の方程式は、計量テンソルの 10 個の準線形2 次偏微分方程式のセットになります。

縮約されたビアンキ恒等式も、アインシュタインテンソルの助けを借りて簡単に表現できます。 $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}$$

（縮約された）ビアンキ恒等式は、曲がった時空における応力エネルギーテンソルの共変保存を自動的に保証します。 $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}$$

この恒等式によって、アインシュタインテンソルの物理的重要性が強調されます。キリングベクトル ⁠ ⁠${\displaystyle \xi ^{\mu }}$に収縮された高密度応力テンソルに関しては、通常の保存則が成り立ちます。 $${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\ T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu }\right)=0.}$$

デイヴィッド・ラブロックは、4次元微分可能多様体において、アインシュタインテンソルが、その1次および2次偏導関数のうち、テンソルかつ発散のない唯一の関数であることを示した。 ^{[1] [2] [3] [4] [5]}${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

しかし、アインシュタイン場の方程式は、3つの条件を満たす唯一の方程式ではない。^[6]

1. ニュートン・ポアソン重力方程式に似ているが一般化している
2. すべての座標系に適用し、
3. 任意の計量テンソルに対してエネルギーと運動量の局所共変保存を保証します。

上記の条件を満たす アインシュタイン・カルタン理論などの多くの代替理論が提案されています。

• 縮小されたビアンキのアイデンティティ
• ヴェルメイユの定理
• 一般相対性理論の数学
• 一般相対性理論のリソース

• オハニアン、ハンス C.、レモ ルフィニ (1994)。重力と時空(第 2 版)。WWノートン & カンパニー。ISBN 978-0-393-96501-8。
• マーティン、ジョン・レガット（1995年）。一般相対性理論：物理学者のための初歩。プレンティス・ホール国際物理学・応用物理学シリーズ（改訂版）。プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-291196-2。