数学 において、分割完全数列 とは、中間項が両端の2つの項から可能な限り単純な方法で構成される短完全数列のこと である。
同等の特性 固定環上の アーベル群 または加群 の短い完全列、あるいはより一般的にはアーベル圏 の対象の短い完全列
0 → A → 1 B → b C → 0 {\displaystyle 0\to A\mathrel {\stackrel {a}{\to }} B\mathrel {\stackrel {b}{\to }} C\to 0}
分割完全数列は、中間項が外側の項の直和である完全数列と同型である場合、分割完全数列と呼ばれます。
0 → A → 私 A ⊕ C → p C → 0 \displaystyle 0\to A\mathrel {\stackrel {i}{\to }} A\oplus C\mathrel {\stackrel {p}{\to }} C\to 0}
と私 : A → A ⊕ C {\displaystyle i:A\to A\oplus C} A を直和に 自然に含めることであり、p : A ⊕ C → C {\displaystyle p:A\oplus C\to C} 同型写像が存在することを意味する。 f : B → A ⊕ C {\displaystyle f:B\to A\oplus C} f ∘ 1 {\displaystyle f\circ a} 私 : A → A ⊕ C {\displaystyle i:A\to A\oplus C} p ∘ f {\displaystyle p\circ f} b と等しい。これは、可換図式 で次のように要約できる。
分割補題は、 分割された完全シーケンスのさらなる同値な特徴付けを提供する。
0 → A → 1 B → b C → 0 {\displaystyle 0\to A\mathrel {\stackrel {a}{\to }} B\mathrel {\stackrel {b}{\to }} C\to 0}
分割は、ある条件を満たす場合に限り正確に行われる。r : C → B {\displaystyle r:C\to B} b ∘ r = 1 C {\displaystyle b\circ r=1_{C}} s : B → A {\displaystyle s:B\to A} s ∘ 1 = 1 A {\displaystyle s\circ a=1_{A}}
例 分割された短い完全シーケンスの簡単な例は次のとおりです。
0 → M 1 → q M 1 ⊕ M 2 → p M 2 → 0 \displaystyle 0\to M_{1}\mathrel {\stackrel {q}{\to }} M_{1}\oplus M_{2}\mathrel {\stackrel {p}{\to }} M_{2}\to 0} どこM 1 、 M 2 {\displaystyle M_{1},M_{2}} R モジュールは、q {\displaystyle q} p {\displaystyle p}
ベクトル空間 の任意の短完全列は分割完全である。これは、ベクトル空間内の任意の線形独立な ベクトルの集合を 基底 に拡張できるという事実を言い換えたものである。
正確なシーケンス0 → Z → 2 Z → Z / 2 Z → 0 {\displaystyle 0\to \mathbf {Z} \mathrel {\stackrel {2}{\to }} \mathbf {Z} \to \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0}
より一般的な文脈における用語 （必ずしもアーベル群ではない）群の短完全列の文脈、あるいはその他の状況において、「分割完全列」 という用語は、人によって2つの異なる意味で使われます。右に分割する短完全列（したがって 半直積 に対応する）を意味する人もいれば、左に分割する短完全列 （これは右に分割することを意味し、直積 に対応する）を意味する人もいます。
情報源 フックス、ラースロー （2015）、『アーベル群』 、シュプリンガー・モノグラフ・イン・マセマティクス、シュプリンガー、ISBN 9783319194226 Sharp, RY, Rodney (2001), Steps in Commutative Algebra, 2nd ed. , London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 0521646235 
