ノルム剰余同型定理

数学において、ノルム剰余同型定理は、ミルナーK理論とガロアコホモロジーを関連付ける長年求められてきた結果である。この結果は比較的初等的な定式化を持ちながら、同時に抽象代数学、二次形式論、代数K理論、モチーフ理論における一見無関係に見える多くの定理の証明における重要な分岐点となっている。この定理は、ある特定の命題が任意の素数に対して真であることを主張する。${\displaystyle \ell }$任意の自然数${\displaystyle n}$ジョン・ミルナー^{[ 1 ]}は、この定理が次の場合にも当てはまるかもしれないと推測した。${\displaystyle \ell =2}$そしてすべて${\displaystyle n}$この問題がミルナー予想として知られるようになった。一般の場合についてはスペンサー・ブロッホと加藤和也^{[ 2 ]}が予想し、ブロッホ・加藤予想、またはL関数の値に関するブロッホ・加藤予想と区別するためにモチーフ的ブロッホ・加藤予想として知られるようになった^{[ 3 ]}。ノルム剰余同型定理は、マルクス・ロストの数々の革新的な結果を用いてウラジーミル・ヴォエヴォツキー によって証明された。

体において可逆な任意の整数ℓについて${\displaystyle k}$地図があります ${\displaystyle \partial :k^{\times }\rightarrow H^{1}(k,\mu _{\ell })}$ どこ${\displaystyle \mu _{\ell }}$は、 kのある分離閉包におけるℓ乗根のガロア加群を表す。これは同型写像を誘導する。${\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{\ell }\cong H^{1}(k,\mu _{\ell })}$これがK理論に関連している最初の兆候は、$\displaystyle k^{\times }}$K ₁ ( k )は群である。テンソル積を取り、エタールコホモロジーの乗法性を適用すると、写像の拡張が得られる。${\displaystyle \partial }$地図へ:

${\displaystyle \partial ^{n}:k^{\times }\otimes \cdots \otimes k^{\times }\rightarrow H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).}$

これらのマップには、すべての要素aに対して、${\displaystyle k\setminus \{0,1\}}$、${\displaystyle \partial ^{n}(\ldots ,a,\ldots ,1-a,\ldots )}$消滅する。これがミルナーK理論の定義関係である。具体的には、ミルナーK理論は環の次数付き部分として定義される。

${\displaystyle K_{*}^{M}(k)=T(k^{\times })/(\{a\otimes (1-a)\colon a\in k\setminus \{0,1\}\}),}$

どこ${\displaystyle T(k^{\times })}$は乗法群のテンソル代数である${\displaystyle k^{\times }}$そして商は、その形式のすべての要素によって生成される両側イデアルによるものである。${\displaystyle a\otimes (1-a)}$したがって、地図は${\displaystyle \partial ^{n}}$地図を通して要素を分析する：

${\displaystyle \partial ^{n}\colon K_{n}^{M}(k)\to H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).}$

この写像はガロア記号写像またはノルム剰余写像と呼ばれます。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} mod-ℓ係数を持つエタールコホモロジーはℓ-ねじれ群であるため、この写像はさらに分解されます。${\displaystyle K_{n}^{M}(k)/\ell }$。

ノルム剰余同型定理（またはブロッホ・カトー予想）は、体kとkにおいて可逆な整数 ℓに対して、ノルム剰余写像が

${\displaystyle \partial ^{n}:K_{n}^{M}(k)/\ell \to H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})}$

ミルナー K 理論 mod ℓからエタール コホモロジーへの同型写像である。ℓ = 2の場合はミルナー予想であり、n = 2の場合はメルクリエフ–ススリンの定理である。^{[ 6 ] [ 7 ]}

体のエタールコホモロジーはガロアコホモロジーと同一であるため、この予想は、体kのミルナーK群のℓ 番目のコトージョン (ℓ 可除元の部分群による商) を、1 の ℓ 乗根のガロア加群を係数とする k のガロアコホモロジーと等しいとするものです。この予想の要点は、ミルナーK群では容易に確認できるがガロアコホモロジーでは確認できない性質があり、その逆もまた然りであるということです。ノルム剰余同型定理により、同型写像の一方の側の対象に適用できる手法を、同型写像のもう一方の側の対象にも適用することが可能になります。

nが 0 の場合は自明であり、 n = 1の場合はヒルベルトの定理 90から容易に導かれる。n = 2かつℓ = 2の場合は( Merkurjev 1981 )によって証明された。重要な進歩は、n = 2かつℓ が任意の場合である。この場合は( Merkurjev & Suslin 1982 )によって証明され、Merkurjev–Suslin の定理として知られている。その後、MerkurjevとSuslin、そして独立してRostがn =3かつℓ=2の場合を証明した（Merkurjev & Suslin 1991 ）harv error: no target: CITEREFMerkurjevSuslin1991（ヘルプ）（Rost 1986 ）harv error: no target: CITEREFRost1986（ヘルプ）。

「ノルム残余」という名称は、元々はヒルベルト記号を指していた。${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$これは、 kのブラウアー群の値をとる（体がすべて ℓ 乗根を含む場合）。ここでの使用は、標準的な局所クラス体理論との類推によるものであり、（まだ開発されていない）「より高次の」クラス体理論の一部となることが期待されている。

ノルム剰余同型定理は、クイレン・リヒテンバウム予想を導く。

X を、体上の滑らかな多様体とする。${\displaystyle 1/\ell }$ベイリンソンとリヒテンバウムは、モチーフコホモロジー群が${\displaystyle H^{p,q}(X,\mathbf {Z} /\ell )}$エタールコホモロジー群と同型である${\displaystyle H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{p}(X,\mu _{\ell }^{\otimes q})}$p ≤ qの場合。この予想は証明され、ノルム剰余同型定理と同等である。

• ブロッホ、スペンサー。加藤和也（1986）。 「p-進エタールコホモロジー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。63 : 107–152 .土井: 10.1007/bf02831624。
• ボルゲーシ、シモーネ（2000）、「代数的モラヴァK理論と高次公式」、プレプリント
• エフラット、イド（2006）。評価、順序付け、およびミルナーK理論。数学概論およびモノグラフ。第 124巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002 . 
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006).中心単純代数とガロアコホモロジー. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol.  101. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 . 
• ミルナー、ジョン（1970）。「代数的K理論と二次形式」。Inventiones Mathematicae。9 （ 4 ）： 318–344。Bibcode ： 1970InMat ...9..318M。doi：10.1007 / bf01425486。
• ロスト、マルクス（1998）。「記号の体分割のための連鎖補題」。
• Srinivas, V. (2008).代数的K理論. 現代ビルクハウザー古典叢書（1996年第2 版のペーパーバック復刻版）. ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー. ISBN 978-0-8176-4736-0. Zbl 1125.19300 . 
• Voevodsky, Vladimir (1995), Bloch-Kato 予想と Z/2 係数および代数的 Morava K 理論、プレプリント、CiteSeerX 10.1.1.154.922 
• ヴォエヴォツキー、ウラジーミル（1996）、『ミルナー予想』、プレプリント
• Voevodsky, Vladimir (2001), On 2-torsion in motivic cohomology , プレプリント, arXiv : math/0107110 , Bibcode : 2001math......7110V
• Voevodsky、Vladimir (2003a)、「モーティビック コホモロジーにおける減乗演算」、オート・エチュード科学研究所。出版物 Mathématiques、98 (1): 1– 57、arXiv : math/0107109、doi : 10.1007/s10240-003-0009-z、ISSN 0073-8301、MR 2031198  
• Voevodsky、Vladimir (2003b)、「Z/2 係数によるモティビック コホモロジー」、オート エチュード科学研究所。出版物 Mathématiques、98 (1): 59–104、doi : 10.1007/s10240-003-0010-6、ISSN 0073-8301、MR 2031199  
• Voevodsky, Vladimir (2008). "Z/L係数を持つモチーフコホモロジーについて". arXiv : 0805.4430 [ math.AG ].
• Weibel, Charles (2009). 「ノルム剰余同型定理」. Journal of Topology . 2 (2): 346– 372. doi : 10.1112/jtopol/jtp013 . MR 2529300 . 
• Voevodsky, Vladimir (2011). "Z/L係数を持つモチーフコホモロジーについて" . Annals of Mathematics . 174 (1): 401–438 . arXiv : 0805.4430 . doi : 10.4007/annals.2011.174.1.11 .