循環相同性

非可換幾何学および関連する数学の分野では、巡回ホモロジーと巡回コホモロジーは、多様体のド・ラーム（コ）ホモロジーを一般化した結合代数の特定の（コ）ホモロジー理論です。これらの概念は、1980年代にボリス・ツィガン（ホモロジー）^{[ 1 ]}とアラン・コンヌ（コホモロジー）^{[ 2 ]}によって独立に導入されました。これらの不変量は、ド・ラーム理論、ホッホシルト（コ）ホモロジー、群コホモロジー、K理論など、いくつかの古い数学の分野と多くの興味深い関係を持っています。この理論の発展に貢献した人物には、マックス・カルービ、ユーリ・L・ダレツキー、ボリス・フェイギン、ジャン＝リュック・ブリリンスキー、マリウシュ・ウォジツキ、ジャン＝ルイ・ロデイ、ヴィクトル・ニストル、ダニエル・クイレン、ヨアヒム・クンツ、リシャルト・ネスト、ラルフ・マイヤー、マイケル・プシュニッヒなどがいる。

標数ゼロの体上の環Aの巡回ホモロジーの最初の定義は、

HC _n ( A ) またはH _n ^λ ( A ) 、

AのHochschild 相同性複合体に関連する、Connes 複合体と呼ばれる以下の明示的な連鎖複合体によって処理された。

任意の自然数n ≥ 0に対して、演算子を定義する。$t_n$自然な循環作用を生み出す${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$Aのn番目のテンソル積について：

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}:A^{\otimes n}\to A^{\otimes n},\quad a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n}\mapsto (-1)^{n-1}a_{n}\otimes a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n-1}.\end{aligned}}}$

Aの係数がA自身であるホッホシルト複素群は、次のように設定することで得られることを思い出してください。$\displaystyle HC_{n}(A):=A^{\otimes n+1}}$すべてのn ≥ 0に対して。すると、コンヌ複体の成分は次のように定義される。${\displaystyle C_{n}^{\lambda }(A):=HC_{n}(A)/\langle 1-t_{n+1}\rangle }$、そしてその差分$\displaystyle d:C_{n}^{\lambda }(A)\to C_{n-1}^{\lambda }(A)$これは、ホッホシルト微分をこの商に制限したものです。ホッホシルト微分が実際にこの共変量の空間に因数分解されることを確認できます。 ^{[ 3 ]}

コーンズは後に、アーベル圏における巡回対象の概念（単体対象の概念に類似）を用いて、巡回ホモロジーに対するより圏論的なアプローチを見出した。このようにして、巡回ホモロジー（およびコホモロジー）は導来関手として解釈することができ、これは（ b , B ）-双複体を用いて明示的に計算できる。体k が有理数を含む場合、コーンズ複体による定義によって同じホモロジーが計算される。

巡回ホモロジーの顕著な特徴の一つは、ホッホシルトホモロジーと巡回ホモロジーを結びつける長完全数列が存在することである。この長完全数列は周期性数列と呼ばれる。

標数ゼロの体k上のアフィン代数多様体上の正則関数の可換代数Aの巡回コホモロジーは、グロタンディークの代数的ド・ラーム複体を用いて計算できる。^{[ 4 ]}特に、多様体V = Spec Aが滑らかである場合、Aの巡回コホモロジーは、 Vのド・ラームコホモロジーを用いて次のように表される。

${\displaystyle HC_{n}(A)\simeq \Omega ^{n}\!A/d\Omega ^{n-1}\!A\oplus \bigoplus _{i\geq 1}H_{\text{dR}}^{n-2i}(V).}$

この公式は、非可換代数Aの「非可換スペクトル」に対するド・ラームコホモロジーを定義する方法を示唆しており、これはコンヌによって広く発展させられた。

巡回コホモロジーの動機の一つは、K理論とは異なり、鎖複体のホモロジーとして定義されるK理論の近似が必要だったことである。巡回コホモロジーは実際にはK理論とのペアリングを備えており、このペアリングが非退化であることが期待される。

位相を持つ代数、例えばフレシェ代数などによりよく適合することを目的としたいくつかの変種が定義されています。${\displaystyle C^{*}}$K理論は、バナッハ代数やC*-代数などの位相代数上では、追加構造のない代数よりもずっと良い振る舞いをする。一方、巡回ホモロジーはC*-代数上で退化するため、修正された理論を定義する必要が生じた。その中には、アラン・コンヌによる完全巡回ホモロジー、ラルフ・マイヤーによる解析的巡回ホモロジー^{[ 5 ]}、マイケル・プシュニッヒによる漸近的および局所的巡回ホモロジー^{[ 6 ]}などがある。最後のものは、 KK理論から双変チャーン指標が与えられているため、 K理論に非常に近い。

巡回ホモロジーの応用の一つは、アティヤ・シンガー指数定理の新しい証明と一般化を見つけることである。これらの一般化の中には、スペクトル三重項に基づく指数定理^{[ 7 ]}やポアソン構造の変形量子化^{[ 8 ]}などがある。

コンパクトで滑らかな多様体上の楕円型作用素D は、K ホモロジーにおけるクラスを定義します。このクラスの不変量の 1 つは、作用素の解析指数です。これは、クラス [D] と HC(C(M)) の要素 1 とのペアリングとして見なされます。巡回コホモロジーは、滑らかな多様体だけでなく、非可換幾何学に現れる葉層構造、オービフォールド、特異空間についても、楕円型微分作用素の高次の不変量を得る方法と見なすことができます。

円分トレース写像は、代数的K理論（例えば環AのK理論）から巡回ホモロジーへの写像である。

${\displaystyle {\rm {tr}}:K_{n}(A)\to HC_{n-1}(A).}$

状況によっては、この写像を用いてK理論を計算することができる。この方向における先駆的な成果は、グッドウィリーの定理（1986）である。この定理は、写像が

$\displaystyle K_{n}(A,I)\otimes \mathbf {Q} \to HC_{n-1}(A,I)\otimes \mathbf {Q} }$

冪零な両側イデアルIに関するAの相対 K 理論と相対巡回ホモロジー ( AとA / Iの K 理論または巡回ホモロジーの差を測る) との間の同型は、n ≥ 1 に対して存在する。

グッドウィリーの結果は任意の環に対して成り立つが、簡単な還元により、それは本質的には単なる次のことを示しているにすぎないことがわかる。${\displaystyle A\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} }$Qを含まない環の場合、K 理論との密接な関係を維持するために、巡回ホモロジーを位相巡回ホモロジーに置き換える必要があります。( Q がAに含まれる場合、 Aの巡回ホモロジーと位相巡回ホモロジーは一致します。) これは、(古典的な) Hochschild ホモロジーが、 Qを含まない環の位相 Hochschild ホモロジーよりも性質が悪いという事実と一致しています。Clausen 、Mathew 、 Morrow (2018)は Goodwillie の結果の広範な一般化を証明し、イデアルIに関してHenselian 補題が成り立つ可換環Aの場合、相対 K 理論は相対位相巡回ホモロジーと同型である (両方をQでテンソル化せずに) と述べています。彼らの結果には、この状況ではAで可逆な整数nを法とする相対 K 理論スペクトルがゼロになると主張するGabber (1992)の定理も含まれている。Jardine (1993)は Gabber の結果とSuslin の剛性を使用して、Quillen による有限体の K 理論の計算を再証明した。

• 非可換幾何学

• Jardine, JF (1993)、「有限体のK理論の再考」、K理論、7 (6): 579–595、doi : 10.1007/BF00961219、MR 1268594 
• Loday、Jean-Louis (1998)、Cyclic Homology、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol.  301、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-63074-6
• Gabber, Ofer (1992)、「ヘンゼル局所環とヘンゼル対のK理論」、代数的K理論、可換代数、代数幾何学（サンタ・マルゲリータ・リグレ、1989年）、Contemp. Math.、第126巻、AMS、 59–70 頁 
• Clausen, Dustin; Mathew, Akhil; Morrow, Matthew (2018)、「K理論とヘンゼル対の位相的巡回ホモロジー」、arXiv : 1803.10897 [ math.KT ]
• Goodwillie, Thomas G. (1986)、「相対代数的K理論と巡回ホモロジー」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、124 (2): 347–402、doi : 10.2307/1971283、JSTOR 1971283、MR 0855300  
• ローゼンバーグ、ジョナサン（1994）、『代数的K理論とその応用』、大学院数学テキスト、第 147巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-94248-3MR 1282290、Zbl 0801.19001​  正誤表

• 「巡回コホモロジー」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ホッホシルト相同性と巡回相同性に関する個人的な考察