分数の分野

抽象代数学では、整域の分数体とは、それを埋め込むことができる最小の体です。分数体の構築は、整数の整域と有理数の体の関係に基づいてモデル化されます。直感的には、分数体は整域の要素間の比で構成されます。

整域の分数体 はまたはと表記されることもあり、その構成は分数体、商体、またはの商体と呼ばれることもあります。4 つとも一般的に使用されていますが、イデアル による環の商と混同しないでください。これはまったく異なる概念です。整域ではない可換環の場合、類似の構成は局所化または商環と呼ばれます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$${\displaystyle R}$

整域が与えられ、 とすると、のときはいつでもとすることで、上の同値関係を定義します。の同値類を で表します。この同値の概念は、整数の基になる環に関して同じ特性を持つ有理数 に由来しています。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$${\displaystyle R\times R^{*}}$${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$${\displaystyle nb=md}$${\displaystyle (n,d)}$${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

すると分数の体は次の式で与えられる加法を持つ 集合となる。${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

そして、掛け算は

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

これらの演算が明確に定義されており、任意の積分領域に対して が実際に体であることを確認できます。特に、 に対して、 の逆数は予想どおり です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{Frac}}(R)}$${\displaystyle n,d\neq 0}$${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$${\displaystyle {\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1}$

への の埋め込みは、 の各 を任意の非ゼロに対して分数に写像します(同値類は の選択に依存しません)。これは恒等式 に基づいてモデル化されます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$${\displaystyle e\in R}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$

分数の体は次の普遍的性質によって特徴付けられます。 ${\displaystyle R}$

が体 から への入射的な環準同型である場合、を拡張する唯一の環準同型が存在する。${\displaystyle h:R\to F}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle F}$${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$${\displaystyle h}$

この構成には圏論的解釈があります。を整域と入射環写像の圏とします。からへの関手は、すべての整域をその分数体に変換し、すべての準同型を体上の誘導写像（普遍的性質により存在する）に変換する体圏から への包含関手の左随伴です。したがって、体圏（完全なサブカテゴリ）は の反射サブカテゴリです。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

積分領域の役割には乗法単位元は必要ない。この構成は、非ゼロの零因子を持たない任意の非ゼロの可換乱数に 適用できる。埋め込みは任意の非ゼロに対して で与えられる。^[1]${\displaystyle R}$${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$${\displaystyle s\in R}$

• 整数環の分数体とは有理数体である。${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$
• をガウス整数環とします。すると、ガウス有理数体体となります。${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$
• 体の分数の体は、体自体と正準同型です。
• 体 が与えられたとき、 1つの不定領域（整域）における多項式環の分数体 は、${\displaystyle K}$${\displaystyle K[X]}$有理関数体、有理分数体、または有理式体^[2][3][4][5]あり、と表記される。${\displaystyle K(X)}$
• 半直線関数の畳み込み環の分数体は、ディラックのデルタ関数、微分演算子、積分演算子を含む演算子の空間を生成します。この構成は、積分変換に明示的に依存しないラプラス変換の代替表現を提供します。 ^[6]

の任意の可換環 と任意の乗法集合に対して、局所化は分数からなる可換環である。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$

および の場合、となるが存在する場合に限り、 は と同等になります。 ${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r',s')}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$

注目すべき 2 つの特殊なケースを以下に示します。

• が素イデアルの補集合である場合、 はとも表記されます。が整域でが零イデアルである場合、は の分数体です。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{P}}$
  ${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R_{P}}$${\displaystyle R}$
• が の非零因子の集合である場合、 は全商環と呼ばれます。整域の全商環はその分数の体ですが、全商環は任意の可換環に対して定義されます。${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R}$
  

に 0 が含まれることは許されますが、その場合には は自明な環になることに注意してください。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{-1}R}$

すべての非零元が（乗法的に）相殺的である可換半環の分数の半体は、それを埋め込むことができる最小の半体です。（環の場合とは異なり、零因子を持たない半環でも、相殺的ではない非零元を持つことができることに注意してください。たとえば、熱帯半環を、上の多項式半環を とします。すると には零因子はありませんが、 であるため、元は相殺的ではありません）。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle R=\mathbb {T} [X]}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle 1+X}$${\displaystyle (1+X)(1+X+X^{2})=1+X+X^{2}+X^{3}=(1+X)(1+X^{2})}$

可換半環 の分数の半体の元は、次のように書かれる 同値類である。${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

およびおよびとともに。 ​${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$${\displaystyle b\neq 0}$

• 鉱石条件; 非可換なケースにおける分数の構成に関連する条件。
• 分数の全環