ハウプトフェルミュートゥング

幾何学的位相幾何学における Hauptvermutung [a] は、三角形分割可能な空間の任意の 2 つの三角形^分割が、組み合わせ的に同値な細分化、つまり細分化された三角形分割が同じ組み合わせパターンで構築されるかどうかを問う、現在では反証されている予想である。これは、1908 年にエルンスト・シュタイニッツ^[1]とハインリッヒ・フランツ・フリードリヒ・ティーツェ^[2]によって予想として最初に定式化されたが、現在では誤りであることがわかっている。

歴史

非多様体バージョンは1961年にジョン・ミルナーによってライデマイスターねじれを用いて反証された。^[3]

多様体バージョンは次元において真である。およびのケースは、それぞれ1920年代と1950年代にティボール・ラドとエドウィン・E・モイーズによって証明された。 ^[4]^[5]^[6] $m\leq 3$ $m=2$ $3$

多様体バージョンに対する障害は、 1967年から1969年にかけてアンドリュー・キャソンとデニス・サリバンによって（もともとは単連結の場合に）ロクリン不変量とコホモロジー群を使用して定式化されました。 $H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

次元において、m次元区分線型多様体の同相写像には不変量があり、が区分線型 (PL) 同相写像に同相であるための必要十分条件はです。との単連結の場合、が PL 同相写像に同相であるための必要十分条件はです。 $m\geq 5$ $f\colon N\to M$ $\kappa (f)\in H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ $f$ $\kappa (f)=0$ $m\geq 5$ $f$ $[\kappa (f)]=0\in [M,G/{\rm {PL}}]$

この量は現在、 1970年に得られたロビオン・カービーとローラン・C・ジーベンマンの三角測量障害の相対バージョンとして見られています。カービー・ジーベンマン障害は、任意のコンパクトなm次元位相多様体Mに対して定義されます。 $\kappa (f)$

\kappa (M)\in H^{4}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )

再びロクリン不変量を使用します。に対して、多様体M は、のときのみPL 構造を持ちます(つまり、PL 多様体で三角形に分割できます)。また、この障害が 0 の場合、PL 構造はによってパラメータ化されます。特に、 M上には本質的に異なる PL 構造が有限個しかありません。 $m\geq 5$ $\kappa (M)=0$ $H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

4次元のコンパクトな単連結多様体に対して、サイモン・ドナルドソンは同値でないPL構造が無限にある例を発見し、マイケル・フリードマンはPL構造を持たないだけでなく、（キャソンの研究により）単体複体にも同相ではないE8多様体を発見した。^[7]

2013年、チプリアン・マノレスクは、単体複体と同相ではない5次元（したがって5次元より大きい任意の次元）のコンパクトな位相多様体が存在することを証明しました。^[8]このように、キャソンの例は、単に次元4に限定されない、より一般的な現象を示しています。

注記

^ ドイツ語で「主な予想」。これは「組み合わせ位相幾何学の主な予想」と訳される、die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologieの略語である。

参考文献

^ Steinitz、E. (1908)。「分析状況の分析」。シッツバー。ベルリン数学。ゲス。7 : 29–49。
^ Tietze、H. (1908)。「ユーバー・ディ・トポロギシェン・インヴァリアンテン・メアディメンダー・マンニッファルティッヒケイテン」。モナツ。数学のために。そして物理学。19：1-118。土井：10.1007/BF01736688。S2CID 120998023。
^ ミルナー、ジョン W. (1961)。「同相だが組み合わせ的に異なる 2 つの複合体」。Annals of Mathematics。74 ( 2 ) : 575–590。doi :10.2307/1970299。JSTOR 1970299。MR 0133127 。
^ ラドー、ティボール(1925)。「ユーバー・デン・ベグリフ・デア・リーマンシェン・フレーヘ」。Acta Scientarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis。2 (1): 96-114。JFM 51.0273.01。
^ Moise, Edwin E. (1952). 「3次元多様体のアフィン構造。V. 三角定理とHauptvermutung」Annals of Mathematics . 56 (2): 101–121. doi :10.2307/1969769. JSTOR 1969769.
^ モイズ、エドウィン E. (1977)。2次元と3次元の幾何学的位相幾何学。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-90220-3。
^ Akbulut, Selman ; McCarthy, John D. (1990). Casson の有向ホモロジー 3 球面に対する不変量。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08563-3MR 1030042 。
^ Manolescu, Ciprian (2016) [2015]. 「Pin(2)-同変 Seiberg–Witten Floer ホモロジーおよび三角分割予想」.アメリカ数学会誌. 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . doi :10.1090/jams829. S2CID 16403004.

外部リンク

ラニッキー、アンドリュー。「三角測量とハウプトフェルムトゥング」。エディンバラ大学。追加資料（オリジナルソースを含む）
Rudyak, Yuli (2016). 位相多様体上の区分線形構造. arXiv : math/0105047 . doi :10.1142/9887. ISBN 978-981-4733-78-6. S2CID 16750789。
アンドリュー・ラニッキー編(1996 年 9 月 30 日)。ハウプトフェルムトゥングの本(PDF)。スプリンガー。ISBN 0-7923-4174-0。
Ranicki, Andrew. 「高次元多様体の過去と現在」(PDF)。

[1] ドイツ語で「主な予想」。これは「組み合わせ位相幾何学の主な予想」と訳される、die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologieの略語である。

[2] Steinitz、E. (1908)。「分析状況の分析」。シッツバー。ベルリン数学。ゲス。7 : 29–49。

[3] Tietze、H. (1908)。「ユーバー・ディ・トポロギシェン・インヴァリアンテン・メアディメンダー・マンニッファルティッヒケイテン」。モナツ。数学のために。そして物理学。19：1-118。土井：10.1007/BF01736688。S2CID 120998023。

[4] ミルナー、ジョン W. (1961)。「同相だが組み合わせ的に異なる 2 つの複合体」。Annals of Mathematics。74 ( 2 ) : 575–590。doi :10.2307/1970299。JSTOR 1970299。MR 0133127 。

[5] ラドー、ティボール(1925)。「ユーバー・デン・ベグリフ・デア・リーマンシェン・フレーヘ」。Acta Scientarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis。2 (1): 96-114。JFM 51.0273.01。

[6] Moise, Edwin E. (1952). 「3次元多様体のアフィン構造。V. 三角定理とHauptvermutung」Annals of Mathematics . 56 (2): 101–121. doi :10.2307/1969769. JSTOR 1969769.

[7] モイズ、エドウィン E. (1977)。2次元と3次元の幾何学的位相幾何学。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-90220-3。

[8] Akbulut, Selman ; McCarthy, John D. (1990). Casson の有向ホモロジー 3 球面に対する不変量。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08563-3MR 1030042 。

[9] Manolescu, Ciprian (2016) [2015]. 「Pin(2)-同変 Seiberg–Witten Floer ホモロジーおよび三角分割予想」.アメリカ数学会誌. 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . doi :10.1090/jams829. S2CID 16403004.