無料モジュール

数学において、自由加群とは、線形独立な基底、すなわち生成集合を持つ加群のことである。すべてのベクトル空間は自由加群であるが、^{[ 1 ]}係数環が可除環でない場合（可換な場合には体ではない場合）、非自由加群が存在する。

任意の集合Sと環Rが与えられたとき、基底Sを持つ自由R加群が存在し、これはS上の自由加群、またはSの要素の形式的R線形結合の加群と呼ばれます。

自由アーベル群は、環上の自由加群に他ならない。${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の。

指輪のために${\displaystyle R}$そして${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$セット${\displaystyle E\subseteq M}$は基礎となる${\displaystyle M}$もし：

• ${\displaystyle E}$生成集合は${\displaystyle M}$つまり、${\displaystyle M}$は、の要素の有限和です。${\displaystyle E}$係数を乗じた${\displaystyle R}$; そして
• ${\displaystyle E}$は線形独立である。すべての集合に対して${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E}$異なる要素から、${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$意味するところは${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$（どこ$0_M$はゼロ要素です${\displaystyle M}$そして$0_R$はゼロ要素です${\displaystyle R}$)

自由モジュールとは、基底を持つモジュールのことである。^{[ 2 ]}

定義の後半部分の直接的な結果として、前半部分の係数はMの各要素に対して一意である。

もし${\displaystyle R}$不変基底数を持つ基底が存在する場合、定義により任意の2つの基底は同じ濃度を持つ。例えば、非零可換環は不変基底数を持つ。任意の（したがってすべての）基底の濃度は、自由加群のランクと呼ばれる。${\displaystyle M}$この濃度が有限である場合、自由加群は有限ランク自由であると言われ、ランクがnであることがわかっている場合はランクn自由であると 言われます。

Rを環とする。

• Rは、自身に対する階数1の自由加群（左加群または右加群のいずれか）であり、任意の単位元は基底となる。
• より一般的に、Rが可換である場合、 Rの非零イデアルI は、非零因子によって生成される主イデアルである場合に限り自由である。生成元は基底である。^{[ 3 ]}
• 主理想領域(例:${\displaystyle \mathbb {Z} }$)、自由モジュールのサブモジュールは自由です。
• Rが可換環である場合、多項式環は${\displaystyle R[X]}$不定の場合、Xは自由加群であり、基底は 1, X , X ² , ...の可能性があります。
• させて${\displaystyle A[t]}$は可換環A上の多項式環であり、f は次数dの単多項式である。${\displaystyle B=A[t]/(f)}$そして${\displaystyle \xi }$tのBにおける像。するとB は部分環としてAを含み、基底を持つA加群として自由である。${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$。
• 任意の非負整数nに対して、${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$、n 個のRのコピーの左R加群としての直積は自由である。Rが不変基底数を持つ場合、そのランクはnである。
• 自由加群の直和は自由加群であるが、自由加群の無限直積は一般に自由加群ではない（ベア・スペッカー群を参照）。
• 可換局所環上の有限生成加群は、忠実平坦である場合に限り自由加群である。^{[ 4 ]}また、カプランスキーの定理は、 (非可換の場合もある)局所環上の射影加群は自由加群であると述べている。
• 集合論的な意味で、モジュールが自由群であるか否かは、時として決定不能となる。有名な例として、ホワイトヘッド群が自由群であるか否かを問うホワイトヘッド問題が挙げられる。実は、この問題はZFCとは無関係である。

集合Eと環Rが与えられたとき、 Eを基底とする自由R加群が存在する。すなわち、 Eで添え字付けされたRのコピーの直和である。

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R.}$

具体的には、それはデカルト積のサブモジュールである。${\textstyle \prod _{E}R}$（Rは左加群とみなされる）非ゼロ成分が有限個しかない要素から構成される。要素eを、e番目の成分が1（Rの単位元）で他のすべての成分がゼロであるR（E）の要素と同一視することにより、EをR （E ）に^{部分集合として}埋め込むこと^{ができる。}すると、R ^（E）の各要素は一意に次のように表される。

${\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}$

有限個のみ${\displaystyle c_{e}}$はゼロではない。これは、Eの要素の形式的な線形結合と呼ばれる。

同様の議論により、すべての自由左（または右）R加群は、 Rを左（または右）加群としてコピーした直和と同型であることが示される。

包含マッピング${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$上記で定義されたものは、次の意味で普遍的である。任意の関数が与えられた場合${\displaystyle f:E\to N}$集合Eから左R加群Nへの一意な加群準同型が存在する${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$そのため${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$すなわち、${\displaystyle {\overline {f}}}$は、次の式で定義されます。

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

そして${\displaystyle {\overline {f}}}$拡張することによって得られると言われている${\displaystyle f}$線形性による。一意性は、各R線形写像が${\displaystyle R^{(E)}\to N}$Eへの制限によって一意に決定されます。

普遍的な性質の場合と同様に、これはR ^{( E )}を標準的な同型を除いて定義します。また、${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$各集合Eに対してファンクターが決定される

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$、

集合の圏から左R加群の圏へ。これは自由関手と呼ばれ、自然な関係を満たします。各集合Eと左加群Nに対して、

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}$

どこ${\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}$は忘却関数であり、つまり${\displaystyle R^{(-)}}$これは忘却関手の左随伴関手である。

自由加群に当てはまる多くの記述は、より大きなクラスの加群にも適用できます。射影加群は自由加群の直和因子です。 平坦加群は、それらとのテンソル演算によって正確な数列が保存されるという性質によって定義されます。 ねじれのない加群はさらに広いクラスを形成します。主イデアル整域 ( Zなど) 上の有限生成加群の場合、自由、射影、平坦、ねじれのないという性質は同等です。

ローカルリング、完全リング、デデキントリングを参照してください。

• フリーオブジェクト
• 無料プレゼンテーション
• 無料解像度
• クイレン・ススリンの定理
• 安定自由モジュール
• 一般的な自由度

この記事は、 PlanetMath上の集合上の自由ベクトル空間の資料を組み込んでおり、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。

• アダムソン、イアン・T. (1972).初等環と加群. 大学数学テキスト. オリバー・アンド・ボイド. pp. 65–66 . ISBN  0-05-002192-3. MR 0345993 . 
• Keown, R. (1975).群表現論入門. 科学と工学における数学. 第 116巻. Academic Press. ISBN 978-0-12-404250-6. MR 0387387 . 
• ゴヴォロフ、VE（2001）[1994]、「自由モジュール」、数学百科事典、EMS Press。
• 松村秀幸（1986）可換環論.ケンブリッジ高等数学研究シリーズ第 8巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-36764-6。MR 0879273。Zbl 0603.13001。