Laplace transform

限定なしに「ラプラス変換」と言う場合、通常は片側変換または一方向変換を指します。ラプラス変換は、積分範囲を実軸全体に拡張することで、両側ラプラス変換または二方向ラプラス変換として定義することもできます。そうすると、通常の片側変換は両側変換の特殊なケースとなり、変換される関数の定義にはヘヴィサイド階段関数を乗じることが含まれます。

両側ラプラス変換F ( s )は次のように定義されます。

両側ラプラス変換の別の表記法は次のとおりです。${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$Fの代わりに⁠。

2つの可積分関数が同じラプラス変換を持つのは、ルベーグ測度がゼロとなる集合上で異なる場合に限られます。これは、変換の値域において逆変換が存在することを意味します。実際、可積分関数以外にも、ラプラス変換は多くの関数空間において、ある関数空間から別の関数空間への1対1の写像となりますが、通常、値域を容易に特徴付けることはできません。

このことが成り立つ典型的な関数空間としては、有界連続関数の空間、L∞ (0, ∞)空間、あるいはより一般的には(0, ∞)上の緩増加超関数空間などが挙げられる。^ラプラス変換は、適切な緩増加超関数空間に対しても定義され、単射である。

これらの場合、ラプラス変換の像は収束領域の解析関数の空間に存在する。逆ラプラス変換は、次の複素積分で与えられ、これは様々な名称（ブロムウィッチ積分、フーリエ・メリン積分、メリンの逆公式など）で知られている。

ここでγは実数であり、積分経路はF ( s )の収束領域内にある。ほとんどの応用では、経路は閉じることができ、留数定理を使用できる。逆ラプラス変換の別の公式は、ポストの反転公式によって与えられる。ここでの極限は、弱 * 位相で解釈される。

実際には、ラプラス変換を、表から得られる既知の関数変換に分解し、逆変換を目視で構築する方が一般的に便利です。

純粋確率論および応用確率論では、ラプラス変換は期待値として定義されます。確率密度関数がfである確率変数Xの場合、 fのラプラス変換は期待値によって与えられます。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {E} [r]}$確率変数の期待値${\displaystyle r}$⁠ .

慣例として、これは確率変数X自体のラプラス変換と呼ばれます。ここで、sを−tに置き換えると、 Xのモーメント母関数が得られます。ラプラス変換は、マルコフ連鎖などの確率過程の初回通過時間や再生理論など、確率論全体にわたって応用されています。

特に有用なのは、ラプラス変換を用いて連続確率変数Xの累積分布関数を以下のように復元できる機能である。 ^{[ 23 ]}$${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).}$$

ラプラス変換は、正の半直線上の関数の畳み込み環に分数体の構成を適用することにより、純粋に代数的な方法で定義することもできます。結果として得られる抽象演算子の空間は、ラプラス空間と完全に等価ですが、この構成では順変換と逆変換を明示的に定義する必要はありません（収束証明に関する関連する困難を回避します）。^{[ 24 ]}

ラプラス変換は、べき級数の連続的な類似物と見なすことができる。^{[ 30 ]} a ( n )が正の整数nの離散関数である場合 、 a ( n )に関連付けられたべき級数は次の級数である 。$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$ ここで、xは実変数である（Z変換を参照）。nに関する総和をtに関する積分に置き換えると、べき 級数の連続バージョンは次のようになる 。$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$ ここで、離散関数a ( n )は連続関数f ( t )に置き換えられます。

指数の底をxからeに変更すると 、$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

これが、例えばすべての有界関数fに対して収束するためには、 ln x < 0という条件が必要である。− s = ln xという置換を行うと、ラプラス変換が得られる。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

言い換えれば、ラプラス変換はべき級数の連続アナログであり、離散パラメータn が連続パラメータtに置き換えられ、x がe ^{− s}に置き換えられます。

べき級数と同様に、もし⁠${\displaystyle a(n)=O(\rho ^{-n})}$⁠、するとべき級数は の解析関数に収束する⁠${\displaystyle \vert x\vert <\rho }$⁠、もし⁠${\displaystyle f(t)=O(e^{-\sigma t})}$⁠、ラプラス変換は、に対して解析関数に収束する。${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$⁠ . ^{[ 31 ]}

数量 $${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$は関数fのモーメント です。fの最初のn個のモーメントが絶対収束する場合、積分の下での繰り返し微分により、 $${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$これは確率論において特に重要であり、確率変数X のモーメントは期待値によって与えられる。${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$⁠。すると、次の関係が成り立つ。 $${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

関数の導関数の変換を求めるには、ラプラス変換の微分特性を利用すると便利な場合が多い。これは、ラプラス変換の基本式から次のように導出できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$ 降伏 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$ そして、両国間のケースでは、 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

全体的な結果 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$ どこ${\displaystyle f^{(n)}}$fのn階微分を表す は、帰納的議論によって確立できる。

ラプラス変換の有用な特性の一つは以下のとおりです。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$の 挙動に関する適切な仮定の下で${\displaystyle f}$そして​​${\displaystyle g}$近隣の${\displaystyle 0}$そして減衰率について${\displaystyle f}$そして​​${\displaystyle g}$左の近隣地域で${\displaystyle \infty }$上記の式は部分積分の変形であり、演算子は ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$そして${\displaystyle \int \,dx}$に置き換えられる${\displaystyle {\mathcal {L}}}$そして​${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$⁠。同等の定式化を証明してみましょう。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

プラグを差し込むことで${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$左辺は次のように変わります。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$ しかし、フビニの定理が成り立つと仮定すると、積分の順序を逆にすることで、目的の右辺が得られます。

この方法を用いることで、実数微積分学の初等的な手法では計算が困難な積分を計算することができる。例えば、ディリクレ積分はラプラス変換を用いて計算できる。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathop {} \!dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin x\mathop {} \!dx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)\mathop {} \!dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

関数g  : ℝ → ℝの (一方的) ラプラス・スティールチェス変換は、ルベーグ・スティールチェス積分によって定義されます。$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

関数gは有界変動であると仮定する。gがfの原始関数である場合： $${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

すると、 gのラプラス・スティルチェス変換とfのラプラス変換は一致する。一般に、ラプラス・スティルチェス変換は、gに関連付けられたスティルチェス測度のラプラス変換である。したがって、実際には、2 つの変換の唯一の違いは、ラプラス変換は測度の密度関数に作用するものと考えられているのに対し、ラプラス・スティルチェス変換はその累積分布関数に作用するものと考えられている点である。^{[ 32 ]}

させて${\displaystyle f}$上の領域にサポートされる複素数値のルベーグ積分可能な関数である。${\displaystyle [0,\infty )}$⁠、そして${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}f(s)}$そのラプラス変換をとする。すると、収束領域内では、次のようになる。 $${\displaystyle F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,}$$ これは関数のフーリエ変換です。${\displaystyle f(t)e^{-\sigma t}}$⁠ . ^{[ 33 ]}

実際、フーリエ変換は（特定の条件下では）両側ラプラス変換の特殊なケースです。主な違いは、関数のフーリエ変換は実変数（周波数）の複素関数であるということです。${\displaystyle \tau }$⁠ )、関数のラプラス変換は、複素変数の複素関数です（減衰係数${\displaystyle \sigma }$周波数​${\displaystyle \tau }$ラプラス変換は通常、 t ≥ 0のtの関数の変換に限定されます。この制限の結果、関数のラプラス変換は変数sの正則関数になります。フーリエ変換とは異なり、分布のラプラス変換は一般的に性質の良い関数です。複素変数の手法を使用して、ラプラス変換を直接研究することもできます。正則関数として、ラプラス変換はべき級数表現を持ちます。このべき級数は、関数をその関数のモーメントの線形重ね合わせとして表現します。この観点は確率論に応用されています。

形式的には、フーリエ変換は、以下の条件が満たされる場合、 虚数引数s = iω ^{[ 34 ] [ 35 ]を用いた双方向ラプラス変換を評価することと同等である。}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

フーリエ変換のこの慣例（${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$（フーリエ変換§ その他の慣例）では、逆フーリエ変換に 1/ 2πの係数が必要です。このラプラス変換とフーリエ変換の関係は、信号または動的システムの周波数スペクトルを決定するためによく使用されます。

上記の関係は、F ( s )の収束領域(ROC)が虚軸σ =0を含む場合に限り、記載どおりに有効である。

例えば、関数f ( t ) = cos( ω ₀ t )のラプラス変換はF ( s ) = s /( s ² + ω ₀ ² )であり、その ROC はRe( s ) > 0です。s = iω _0はF ( s )の極である ため、F ( s )にs = iωを代入しても、ディラックのデルタ関数δ ( ω ± ω ₀ )に比例する項を含むf ( t ) u ( t )のフーリエ変換は得られません。

しかし、次の形式の関係 $${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$ より弱い条件でも成り立つ。例えば、上記の例では、極限が測度の弱い極限として理解される限り、この条件は成り立つ（曖昧な位相を参照）。境界上の関数のラプラス変換の極限とフーリエ変換を関連付ける一般的な条件は、ペイリー・ウィーナーの定理の形をとる。

メリン変換とその逆変換は、変数変換によって両側ラプラス変換と関連付けられる。

メリン変換の場合 $${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$θ = e ^{− t} と設定すると、両側ラプラス変換が得られます。

片側または片側Z変換は、理想的にサンプリングされた信号のラプラス変換であり、 $${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$ ここで、T = 1/ f _sはサンプリング間隔（時間の単位、例えば秒）であり、 f _sはサンプリングレート（1秒あたりのサンプル数またはヘルツ）です。

させて $${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$ サンプリングインパルス列（ディラックコムとも呼ばれる）であり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$ 連続時間x ( t )のサンプリング表現とする。$${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

サンプリングされた信号x _q ( t )のラプラス変換は $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

これは離散関数x [ n ]の片側 Z 変換の正確な定義です。$${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$z → e ^sT の置換により。

最後の 2 つの式を比較すると、サンプリングされた信号の片側 Z 変換とラプラス変換の関係がわかります。 $${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

Z変換とラプラス変換の類似性は、時間尺度計算の理論においてさらに詳しく説明される。

ボレル変換の積分形式$${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$これは、指数型の 整関数f に対するラプラス変換の特殊なケースであり、$${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$ 定数AとBが存在する。一般化ボレル変換では、指数関数ではなく、異なる重み関数を使用して、指数型ではない関数を変換することができる。ナッハビンの定理は、ボレル変換が適切に定義されるための必要十分条件を与える。

通常のラプラス変換は両側変換の特殊な場合として表すことができ、両側変換は2つの片側変換の和として表すことができるため、ラプラス変換、フーリエ変換、メリン変換、Z変換の理論は根本的には同じ主題である。しかしながら、これら4つの主要な積分変換にはそれぞれ異なる視点と特徴的な問題が伴う。

させよう${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$⁠。次に（上記の表を参照） $${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)}$$

そこから以下が得られる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

極限において${\displaystyle s\rightarrow 0}$⁠、 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$ ただし、極限の交換が正当化できる場合に限る。これは多くの場合、最終値定理の結果として可能となる。交換が正当化できない場合でも、計算は示唆に富むことがある。例えば、a ≠ 0 ≠ bの場合、形式的に進めると次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

電気回路理論では、コンデンサを流れる電流は、静電容量と電位の変化率に比例します（SI単位系の場合と同様の式で表されます）。記号的には、これは次の微分方程式で表されます。 $${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$ ここで、Cはコンデンサの静電容量、i = i ( t )は時間の関数としてのコンデンサを流れる電流、 v = v ( t )は同じく時間の関数としてのコンデンサの端子間の電圧です。

この方程式のラプラス変換をとると、次の式が得られます。 $${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$ そして $${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

V ( s )について解くと、次のようになる。 $${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

複素インピーダンスZ（オーム単位）の定義は、初期状態V₀_をゼロに 保った状態で、複素電圧Vを複素電流Iで割った比です。$${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

この定義と前の式を用いると、次のことがわかります。 $${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$ これはコンデンサの複素インピーダンスの正しい表現である。さらに、ラプラス変換は制御理論において幅広い応用例を持つ。

伝達関数を持つ線形時不変システムを考える$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

インパルス応答は、この伝達関数の逆ラプラス変換です。 $${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

部分分数展開

この逆変換を評価するために、まず部分分数展開法を用いて H ( s )を展開します。$${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

未知の定数PとRは、伝達関数の対応する極に位置する留数です。それぞれの留数は、その特異点が伝達関数の全体的な形状に及ぼす相対的な寄与を表します。

留数定理により、逆ラプラス変換は極とその留数のみに依存します。留数Pを求めるには、方程式の両辺にs + αを掛けて、次の式を得ます。 $${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

次に、 s = − αとすると、 Rからの寄与は消滅し、残るのは $${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

同様に、剰余Rは次のように与えられる。 $${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$

ご了承ください $${\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}$$ したがって、RとPをH ( s )の展開式に代入する と、$${\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}$$

最後に、線形性の性質と指数関数的減衰の既知の変換（上記のラプラス変換表の項目3を参照）を使用して、 H ( s )の逆ラプラス変換を取ると、次の式が得られます 。$${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),}$$ これはシステムのインパルス応答です。

畳み込み

畳み込み特性を使用すると、システムが伝達関数1/( s + α )と1/( s + β )を持つフィルタの系列であるかのように同じ結果が得られます。つまり、 $${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}}$$ は $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.}$$

ラプラス変換から始め、 $${\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$$ まず分数の項を並べ替えることで逆数を求めます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

これで、各項の逆ラプラス変換を行うことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}}$$

これは引数の合計の正弦であり、次のようになります。 $${\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}$$

同様の論理を適用して、次のことがわかります。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}$$

統計力学において、状態密度のラプラス変換${\displaystyle g(E)}$分配関数を定義する。^{[ 44 ]}つまり、標準分配関数${\displaystyle Z(\beta )}$は $${\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE}$$ そしてその逆は次のように表される。 $${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta }$$

ラプラス変換とその逆変換の広範かつ一般的な適用性は、天文学における応用例によって示されている。この応用例では、時間領域とスペクトル（周波数領域）を関連付けるのではなく、フラックス密度スペクトルに基づいて、遠すぎて点としてしか識別できない電波熱放射の天体源の物質の空間分布に関する情報を提供する。

物体の特定の特性（例えば、球形や一定温度）を仮定すると、物体のスペクトルに対して逆ラプラス変換を実行することに基づく計算によって、スペクトルと一致する、物体内の物質分布（中心からの距離の関数としての密度）の唯一可能なモデルを生成できます。 ^{[ 45 ]}物体の構造に関する独立した情報が利用可能な場合、逆ラプラス変換法は良好な一致を示すことがわかっています。

ステップ数の多いランダムウォークを考えてみましょう。${\displaystyle \{+1,-1\}}$確率で発生する${\displaystyle p,q=1-p}$[ ^{46 ]}また、時間ステップがパラメータを持つ^ポアソン過程であると仮定する。${\displaystyle \lambda }$⁠。すると、その経路が格子点にある確率は${\displaystyle n}$その時${\displaystyle t}$は $${\displaystyle P_{n}(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda (t-s)}(pP_{n-1}(s)+qP_{n+1}(s))\,ds\quad (+e^{-\lambda t}\quad {\text{when}}\ n=0).}$$これにより、積分方程式 系（または同等に微分方程式系）が得られます。ただし、畳み込み方程式系であるため、ラプラス変換によって線形方程式系に変換されます。 $${\displaystyle \pi _{n}(s)={\mathcal {L}}(P_{n})(s),}$$ すなわち： $${\displaystyle \pi _{n}(s)={\frac {\lambda }{\lambda +s}}(p\pi _{n-1}(s)+q\pi _{n+1}(s))\quad (+{\frac {1}{\lambda +s}}\quad {\text{when}}\ n=0)}$$ これは現在では標準的な方法で解決できる可能性がある。

尺度のラプラス変換${\displaystyle \mu }$の上${\displaystyle [0,\infty )}$は $${\displaystyle {\mathcal {L}}\mu (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t).}$$ 小さな⁠${\displaystyle s>0}$指数関数的に減衰する被積分関数は、測定の濃度に対してより敏感になる。${\displaystyle \mu }$ドメインのより大きな部分集合について。これをより正確にするために、分布関数を導入します。 $${\displaystyle M(t)=\mu ([0,t)).}$$ 形式的には、以下のような極限が期待される。 $${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}{\mathcal {L}}\mu (s)=\lim _{t\to \infty }M(t).}$$タウバーの定理は、ラプラス変換の漸近挙動を関連付ける定理である。${\displaystyle s\to 0^{+}}$⁠、分布の${\displaystyle \mu }$として​${\displaystyle t\to \infty }$したがって、これらは確率と統計の漸近式において重要であり、多くの場合、スペクトル側の方が推論しやすい漸近式を持つ。 ^{[ 46 ]}

注目すべきタウバー型定理は、ハーディ・リトルウッドのタウバー型定理と ウィーナーのタウバー型定理の2つである。ウィーナーの定理は、池原のタウバー型定理を一般化したもので、その定理は次の通りである。

させよう${\displaystyle A(x)}$非負かつ単調非減少関数である${\displaystyle x}$⁠、定義済み⁠${\displaystyle 0\leq x<\infty }$⁠ . 仮に $${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx}$$ 収束する⁠${\displaystyle \Re (s)>1}$関数へ​${\displaystyle f(s)}$そして、ある非負の数に対して${\displaystyle c}$⁠、 $${\displaystyle f(s)-{\frac {c}{s-1}}}$$連続関数として 拡張されています。${\displaystyle \Re (s)\geq 1}$⁠。すると極限は⁠${\displaystyle x}$⁠無限に続く⁠${\displaystyle e^{-x}A(x)}$はに等しい ${\displaystyle c}$⁠ .

この記述は特にリーマンゼータ関数の対数微分に適用でき、素数定理を証明する非常に短い方法を提供する。^{[ 47 ]}