スティルチェスモーメント問題

数学において、トーマス・ジョアンネス・スティルチェスにちなんで名付けられたスティルチェスモーメント問題とは、数列（m ₀、m ₁、m ₂、...）が次の形式となるため の必要十分条件を求める問題である。

${\displaystyle m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$

ある測度 μに対して、そのような関数μ が存在する場合、それが一意であるかどうかが問われる。

この問題と他のよく知られたモーメント問題との本質的な違いは、この問題が半直線 [0, ∞) 上にあるのに対し、ハウスドルフモーメント問題では有界区間[0, 1]を考慮し、ハンバーガーモーメント問題では直線全体 (−∞, ∞) を考慮する点です。

させて

${\displaystyle \Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right]}$

ハンケル行列であり、

${\displaystyle \Delta _{n}^{(1)}=\left[{\begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{matrix}}\right].}$

すると、{  m _n  :  n  = 1, 2, 3, ... }は、無限の台を持つある測度のモーメント列であり、すべてのnに対して、 ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0.}$

{  m _n  :  n = 1, 2, 3, ... }は、サイズmの有限台を持つ 上の測度のモーメント列であり、すべての に対して、 ${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle n\leq m}$

${\displaystyle \det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0}$

そしてより大きな${\displaystyle n}$

${\displaystyle \det(\Delta _{n})=0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)=0.}$

一意性にはいくつかの十分条件がある。例えば、カールマンの条件は、解が一意であることを示す。

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}m_{n}^{-1/(2n)}=\infty ~.}$

• リード、マイケル、サイモン、バリー（1975）、フーリエ解析、自己随伴性、現代数理物理学の方法、第2巻、アカデミックプレス、p. 341（演習25）、ISBN 0-12-585002-6