因果システム

制御理論において、因果システム（物理システムまたは非予測システムとも呼ばれる）とは、出力が過去および現在の入力に依存するが、将来の入力には依存しないシステムのことである。つまり、出力は${\displaystyle y(t_{0})}$入力のみに依存する${\displaystyle x(t)}$値については$t ≤ t₀$。

関数の出力が任意の時点で過去と現在の入力値のみに依存するという考え方は、一般に因果性と呼ばれる性質によって定義されます。過去または現在の入力値への依存に加えて、将来の入力値にも何らかの依存を持つシステムは、非因果的または非因果的システムと呼ばれ、将来の入力値のみに依存するシステムは反因果的システムと呼ばれます。なお、反因果的システムを、将来と現在の入力値のみに依存するシステム、あるいはより単純に、過去の入力値に依存しないシステムと定義している著者もいます。^{[ 1 ]}

従来、自然や物理的現実は因果関係に基づくシステムであると考えられてきた。特殊相対性理論や一般相対性理論を含む物理学では、因果関係についてより慎重な定義が必要となる。これについては、 「因果関係（物理学）」で詳しく説明されている。

システムの因果関係は、デジタル信号処理においても重要な役割を果たします。フィルタは因果関係を持つように構築され、場合によっては非因果的な定式化を変更して因果関係の欠如を解消し、実現可能にします。詳細については、「因果フィルタ」を参照してください。

因果システムの場合、システムのインパルス応答は、入力の現在値と過去値のみを使用して出力を決定する必要があります。この要件は、線形性に関係なく、システムが因果的であるための必要十分条件です。同様の規則は、離散的または連続的なケースのどちらにも適用されることに注意してください。将来の入力値を必要としないというこの定義により、システムはリアルタイムで信号を処理するためには因果的でなければなりません。^{[ 2 ]}

定義1：システムマッピング${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$は、任意の入力信号のペアに対して、の場合に限り因果関係を持つ。${\displaystyle x_{1}(t)}$、${\displaystyle x_{2}(t)}$そして、$t0$、したがって

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},}$

対応する出力は以下を満たす

${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.}$

定義2：${\displaystyle h(t)}$はあらゆるシステムのインパルス応答である。${\displaystyle H}$線形定数係数微分方程式で記述されるシステム。${\displaystyle H}$因果関係にあるのは、

${\displaystyle h(t)=0,\quad \forall \ t<0}$

そうでなければ、それは因果関係ではない。

以下の例は入力のあるシステムに関するものです${\displaystyle x}$出力${\displaystyle y}$。

• 因果フィルター
• 因果モデル

• Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, Hamid (1998). Signals and Systems . Pearson Education. ISBN 0-13-814757-4。