ポアソン和公式

数学 において、ポアソン和公式は、関数の周期和のフーリエ級数係数を関数の連続フーリエ変換の値に関連付ける方程式です。したがって、関数の周期和は、元の関数のフーリエ変換の離散サンプルによって完全に定義されます。また逆に、関数のフーリエ変換の周期和は、元の関数の離散サンプルによって完全に定義されます。ポアソン和公式はシメオン・ドニ・ポアソンによって発見され、ポアソン再和と呼ばれることもあります。

フーリエ変換によって表される非周期関数を考えます。${\displaystyle s(x)}$ ${\textstyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,}$${\displaystyle {\hat {s}}(f)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(f).}$

基本的なポアソン和の公式は^[1]である。

また、パラメータとが と同じ単位である周期関数も考えます。 ${\displaystyle T>0}$${\displaystyle P>0}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\quad {\text{and}}\quad S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f\pm k/T).}$$

すると、式1はこの一般化の特別な場合（P=1, x=0）となる：^{[2] [3]}

これは関数のサンプルである係数を持つフーリエ級数展開である。同様に： ${\displaystyle S(f).}$

離散時間フーリエ変換としても知られています。

^{証明は Pinsky [2]}または Zygmund ^[3]  のどちらかに見つかります。たとえば、式 2 は、 の場合、右辺は左辺の (おそらく発散する) フーリエ級数であるという意味において成り立ちます。これは、ほとんどすべての に対して存在し有限である優勢収束定理に従います。さらに、 は長さの任意の区間で積分可能であることが分かります。したがって、 のフーリエ級数係数が であることを示せば十分です。フーリエ係数の定義から、次を得ます。${\displaystyle s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s_{_{P}}}$${\displaystyle P.}$${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x+nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}}$$

ここで、和と積分の交換は、優勢収束によって再び正当化されます。変数( ) を変更すると、次のようになります。${\displaystyle \tau =x+nP}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}}$$式3の証明ももちろん同様ですが、周波数における級数係数の式は次のようになります。

${\displaystyle s[n]=T\int _{0}^{1/T}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi nTf}\ df}$

の符号は  正です。これは、式 3  の右側の符号と反対になる必要があるためです。 ${\displaystyle i2\pi nTf}$

これらの方程式は、分布の言語^{[4] [5]で解釈することができる：§7.2}導関数がすべて急速に減少する関数の場合（シュワルツ関数を参照）。ポアソン和公式は、ディラックの櫛形分布とそのフーリエ級数を用いた、緩和分布上の畳み込み定理の特殊なケースとして生じる ： ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T).}$$

言い換えれば、ディラック デルタ の周期化によってディラック コムが生じるということは、そのスペクトルの離散化に対応し、そのスペクトルは常に 1 になります。したがって、これもディラック コムですが、増分は逆数になります。 ${\displaystyle \delta ,}$

この場合、式1は次のようになります。 ${\displaystyle T=1,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}}$$

同様に:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}}$$

または: ^{[6] : 143}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{aligned}}}$$

ポアソン和公式は、ポントリャーギン双対性と次のような短い完全列との互換性を利用して、非常に概念的に証明することもできる。 ^[7] $${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.}$$

式2は、 ある関数が任意の関数に対してを満たす 連続可積分関数である場合に成立する。 ^{[8] [9]このような関数は}一様連続であることに注意する。これは、 の減衰仮定と合わせて、 を定義する級数が連続関数に一様収束することを示す。   式2は、両辺が一様かつ絶対的に同じ極限に収束するという強い意味で成立する。^[9]${\displaystyle s(x)}$$${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }}$$${\displaystyle C>0,\delta >0}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{_{P}}}$

式2は、有界な変動を持つ厳密に弱い仮定の下で点ごとの意味で成り立ち、 ^[3]式2 の右側のフーリエ級数は、対称部分和の（条件付き収束の）極限として理解されます。 ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle 2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).}$$

上で示したように、式 2 はが であるというはるかに制限の少ない仮定の下で成り立ちますが、その場合、右辺が の（おそらく発散する）フーリエ級数であるという意味においてそれを解釈する必要があります^{[3]この場合、}チェザロ総和可能性などの総和可能性法を考慮することによって、等式が成り立つ領域を拡張することができます。収束をこのように式 2 で解釈する場合、が積分可能であり、0 が の連続点であるという、より制限の少ない条件の下でケースが成り立ちます。しかし、との両方が積分可能かつ連続であり、和が絶対収束する場合でも、式 2 が成立しないことがあります。[ 10 ^]${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle s_{_{P}}(x).}$${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$

偏微分方程式において、ポアソン総和公式は、像法による吸収長方形境界を持つ熱方程式の基本解の厳密な正当化を提供します。ここで、上の熱核は既知であり、長方形の熱核は周期化を取ることで決定されます。ポアソン総和公式は同様に、ユークリッド空間上のフーリエ解析と対応する次元のトーラス上のフーリエ解析との間の接続を提供します。^[8] 1次元では、結果として得られる解はシータ関数と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

電気力学では、この方法は周期グリーン関数の計算を高速化するためにも使用されます。^[11]

時系列の統計的研究では、が時間の関数である場合、等間隔の時点での値のみを調べることを「サンプリング」と呼びます。応用では、通常、関数は帯域制限されています。つまり、カットオフ周波数があり、カットオフを超える周波数では がゼロになります。帯域制限された関数の場合 、サンプリングレートを選択すると、情報が失われないことが保証されます。これらのサンプリングされた値から を再構築できるためです。次に、フーリエ変換により、 も再構築できます。これは、ナイキスト-シャノンのサンプリング定理につながります。^[2]${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f_{o}}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle S(f)=0}$${\displaystyle |f|>f_{o}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{T}}>2f_{o}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s.}$

計算上、ポアソン和公式は、実空間でゆっくり収束する和がフーリエ空間で速く収束する同等の和に変換されることが保証されているため有用である。^{[12] （実空間の広い関数はフーリエ空間では狭い関数になり、逆もまた同様である。）これが}エワルド和の 背後にある基本的な考え方である。

ポアソン和公式は、積分が（リーマン）和で近似されるときに得られる誤差を制限するのにも役立ちます。 の近似を （ビンのサイズ）として考えます。すると、式2によれば、この近似は と一致します。すると、近似の誤差は として制限できます。これは、 のフーリエ変換が の場合に急速に減少するときに特に役立ちます。 ${\textstyle S(0)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,s(x)}$${\textstyle \delta \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n\delta )}$${\displaystyle \delta \ll 1}$${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$${\textstyle \left|\sum _{k\neq 0}S(k/\delta )\right|\leq \sum _{k\neq 0}|S(k/\delta )|}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle 1/\delta \gg 1}$

ポアソン総和公式は、大きなユークリッド球面内の格子点の数に関するランダウの漸近公式を導くために使用できる。また、積分可能な関数であり、両方がコンパクトな台を持つ場合、^[2]${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s=0.}$

数論では、ポアソン和はリーマンゼータ関数の関数方程式を含むさまざまな関数方程式を導くためにも使われる。^[13]

ポアソン和の重要な用途の 1 つは、シータ関数、つまりガウス分布の周期的な和に関するものです。上半平面の複素数 を とし、シータ関数を定義します。${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}}.}$$

との関係は 数論にとって重要であることがわかります。この種の関係はモジュラー形式の定義特性の 1 つだからです。 を選択し、 という事実を使用することで、次の結論を導き出すことができます。 ${\displaystyle \theta (-1/\tau )}$${\displaystyle \theta (\tau )}$${\displaystyle s(x)=e^{-\pi x^{2}}}$${\displaystyle S(f)=e^{-\pi f^{2}},}$

$${\displaystyle \theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau \over i}}\theta (\tau ),}$$置くことによって${\displaystyle {1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}.}$

このことから、 はの下で単純な変換特性を持ち、これを使用して、整数を 8 つの完全な平方数の和として表現する方法の数に関するヤコビの公式を証明できます。 ${\displaystyle \theta ^{8}}$${\displaystyle \tau \mapsto {-1/\tau }}$

CohnとElkies ^{[14]はポアソン和公式を用いて}球充填密度の上限を証明し、その後8次元と24次元での最適球充填の証明につながった。

• を、をとすれば${\displaystyle s(x)=e^{-ax}}$${\displaystyle 0\leq x}$${\displaystyle s(x)=0}$${\displaystyle x<0}$$${\displaystyle \coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z} _{+}}{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}.}$$
• これは、シータ関数の関数方程式を証明するために使用できます。
• ポアソンの和の公式はラマヌジャンのノートに登場し、彼の公式のいくつかを証明するために使用できます。特に、ラマヌジャンがハーディに宛てた最初の手紙にある公式の 1 つを証明するために使用できます。^{[説明が必要]}
• 二次ガウス和を計算するために使用できます。

ポアソン総和公式は、任意の次元のユークリッド空間で成り立ちます。 を整数座標の点からなるの格子とします。の関数について、 の平行移動をの要素で合計して得られる級数を考えます。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).}$$

定理において、上記の級数はほぼすべての点で収束し、上で -周期関数を定義するので、トーラス上の関数ae  は に存在する 。さらに、のすべての に対して、${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {P} s({\bar {x}})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda .}$${\displaystyle \mathbb {P} s}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}$${\displaystyle \|\mathbb {P} s\|_{L_{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}\leq \|s\|_{L_{1}(\mathbb {R} )}.}$
${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \Lambda ,}$ 

${\displaystyle \mathbb {P} S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \nu \cdot {\bar {x}}}d{\bar {x}}}$

（トーラス上ののフーリエ変換）は ${\displaystyle \mathbb {P} s}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda }$

${\displaystyle S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}s(x)e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx}$

(上ののフーリエ変換)。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

がさらに連続で、とが無限大で十分に速く減衰する場合、フーリエ級数をその領域に「反転」して、より強い主張をすることができます。より正確には、 ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }}$$

あるC , δ > 0に対して、^{[9] : VII §2} ここで両級数はΛに絶対かつ一様に収束する。d = 1かつx = 0のとき、これは上記の式1を与える。 $${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi \nu \cdot x},}$$

より一般的には、Λ を有限次元ベクトル空間 内のより一般的な格子に置き換えると、このステートメントのバージョンが成立します。上の変換不変測度を選択します。これは正のスカラーを除いて一意です。再び関数 に対して、周期化を定義します。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle V}$${\displaystyle s\in L_{1}(V,m)}$

${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )}$

上記の通り。

双対格子は 、格子上の整数に評価される双対ベクトル空間のサブセットとして定義されるか、あるいはポントリャーギン双対性により、核に含まれるの指標として定義される。すると、すべての に対して、 の関数としての周期化のフーリエ変換との のフーリエ変換自体が適切な正規化によって関連付けられる という主張になる。${\displaystyle \Lambda '}$ ${\displaystyle V'}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \nu \in \Lambda '}$${\displaystyle \mathbb {P} S}$${\displaystyle \mathbb {P} s}$${\displaystyle V/\Lambda }$${\displaystyle S}$${\displaystyle s}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} S(\nu )&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \langle \nu ,{\bar {x}}\rangle }m(d{\bar {x}})\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V}s(x)e^{-i2\pi \langle \nu ,x\rangle }m(dx)\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}S(\nu )\end{aligned}}}$

右辺は不変測度の選択に依存しないことに注意する。と が連続で、 より速くゼロに向かう場合、 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1/r^{\dim(V)+\delta }}$

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda +x)=\sum _{\nu \in \Lambda '}\mathbb {P} S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }}$

特に

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda )={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )}$

これはシータ関数 の理論に応用されており、数の幾何学で可能な方法です。実際、領域内の格子点を数える最近の研究では、この方法が日常的に使用されています。領域Dの指示関数を格子点にわたって合計することがまさに問題であり、合計式の左辺が求められ、右辺は数学的分析によって解析できるものになります。

局所コンパクトアーベル群へのさら​​なる一般化は、数論において必要である。非可換調和解析では、この考え方はセルバーグの跡公式でさらに進められるが、より深い性質を帯びる。

調和解析を数論に応用した一連の数学者、特にマーティン・アイヒラー、アトル・セルバーグ、ロバート・ラングランズ、ジェームズ・アーサーは、ポアソン和公式を、有限体積を持つ ような 離散部分群を持つ非可換な局所コンパクト簡約代数群上のフーリエ変換に一般化した 。たとえば、 は の実数点となり 、 は の積分点となる。この設定では、 はポアソン和の古典版における実数直線の役割を果たし、 は和に現れる 整数の役割を果たす 。ポアソン和の一般版はセルバーグの軌跡公式と呼ばれ、アルティン予想の多くのケースの証明やワイルズのフェルマーの最終定理の証明で役割を果たしてきた。式 1の左辺は の 既約ユニタリ表現の和となり、「スペクトル側」と呼ばれます。一方、右辺は の共役類の和となり、「幾何学側」と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G/\Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle SL_{n}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle SL_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$

ポアソン和公式は、調和解析と数論における大きな発展の原型です。

ポアソン総和公式は、緩和分布における畳み込み定理の特殊なケースです。2 つの因子の 1 つがディラック コームである場合、方程式の一方の側で周期的な総和が得られ、もう一方の側でサンプリングが得られます。ディラックのデルタ関数とそのフーリエ変換(常に 1 である関数) に適用すると、ディラック コーム恒等式が得られます。

• フーリエ解析 § まとめ
• ポストの反転式
• ボロノイ式
• 離散時間フーリエ変換
• L関数の明示的な式