フラックス

フラックスは、表面または物質を通過したり移動したりする（実際に移動するかどうかは関係なく）ように見える効果を表します。フラックスは、物理学に多くの応用がある応用数学とベクトル計算の概念です。輸送現象の場合、フラックスはベクトル量であり、物質または特性の流れの大きさと方向を表します。ベクトル計算では、フラックスはスカラー量であり、表面上のベクトル場の垂直成分の面積分として定義されます。 ^[1]

フラックスという言葉はラテン語に由来し、fluxusは「流れ」、fluereは「流れる」を意味します。^{[2]この用語は、}フラクシオンと同様に、アイザック・ニュートンによって微分積分学に導入されました。

熱流束の概念は、熱伝達現象の解析におけるジョセフ・フーリエの重要な貢献でした。 ^[3]彼の独創的な論文「熱の解析理論」^[4]では、流束を中心量として定義し、現在ではよく知られている流束の表現を、平板全体の温度差の観点から導き、さらに一般的には他の形状全体の温度勾配または温度差の観点から導き出しました。ジェームズ・クラーク・マクスウェル^[5]の研究に基づいて、輸送の定義は電磁気学で使用される流束の定義に先行すると主張することもできます。マクスウェルからの具体的な引用は次のとおりです。

フラックスの場合、表面上のすべての要素を通過するフラックスを表面上で積分する必要があります。この操作の結果はフラックスの面積分と呼ばれます。これは表面を通過する量を表します。

— ジェームズ・クラーク・マクスウェル

輸送の定義によれば、フラックスは単一のベクトル、またはベクトル場/位置関数である可能性があります。後者の場合、フラックスは表面上で簡単に積分できます。対照的に、電磁気学の定義によれば、フラックスは表面上の積分です。2 番目の定義のフラックスを積分しても意味がありません。表面上で 2 回積分することになるからです。したがって、マクスウェルの引用は、「フラックス」が輸送の定義に従って使用されている場合 (さらに、単一のベクトルではなくベクトル場である場合) にのみ意味を持ちます。これは皮肉なことです。なぜなら、マクスウェルは、電磁気学の定義に従って現在「電気フラックス」および「磁束」と呼ばれるものの主要な開発者の 1 人だったからです。引用 (および輸送の定義) に従ったそれらの名前は、「電気フラックスの面積分」および「磁束の面積分」になります。この場合、「電気フラックス」は「電場」として定義され、「磁束」は「磁場」として定義されます。これは、マクスウェルがこれらのフィールドを何らかのフロー/フラックスとして考えていたことを意味します。

電磁気学の定義によるフラックスが与えられた場合、対応するフラックス密度（その用語が使用される場合）は、積分された表面に沿ったその導関数を指します。微積分の基本定理により、対応するフラックス密度は輸送定義によるフラックスです。電流（時間あたりの電荷）などの電流が与えられた場合、電流密度も輸送定義（時間あたり面積あたりの電荷）によるフラックスになります。フラックスの定義が矛盾していること、および非専門英語ではフラックス、フロー、電流が互換性があるため、この段落で使用されているすべての用語は、互換的かつ曖昧に使用されることがあります。この記事の残りの部分では、用語がフラックスのどの定義に対応するかに関係なく、文献で広く受け入れられている方法で具体的なフラックスを使用します。

輸送現象（熱伝達、物質移動、流体力学）において、フラックスは単位面積あたりの物質の流量として定義され、次元は [量]·[時間] −1 ·[面積] −1 です。 [ ⁶ ]^面積と^は、物質が「通過」または「横切って」流れる表面の面積です。たとえば、川の断面を毎秒流れる水の量をその断面の面積で割ったものや、地面に毎秒当たる太陽光エネルギーの量をその面積で割ったものなどは、フラックスの一種です。

以下に、複雑さの順に 3 つの定義を示します。それぞれは、次の特別なケースです。いずれの場合も、頻繁に使用される記号j、 (またはJ ) はフラックス、 qは流れる物理量、tは時間、A は面積を表します。これらの識別子は、ベクトルの場合にのみ太字で表記されます。

まず、（単一の）スカラーとしてのフラックス： ここで 、この場合、フラックスが測定される表面は固定されており、面積はAです。表面は平坦であると仮定され、流れは位置に関してどこでも一定であり、表面に垂直であると仮定されます。 $${\displaystyle j={\frac {I}{A}},}$$$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.}$$

2 番目は、表面に沿って定義されるスカラー場、つまり表面上の点の関数 としてのフラックスです。 前と同様に、表面は平坦であると想定され、流れはどこでも表面に対して垂直であると想定されます。ただし、流れは一定である必要はありません。qは、表面上の点pと面積Aの関数です。表面を通る全流れを測定するのではなく、 q は表面に沿って p を中心とする面積Aのディスクを通る流れを測定します。$${\displaystyle j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$ $${\displaystyle I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).}$$

最後に、ベクトル場としてのフラックス: この場合、測定する固定面はありません。qは、点、面積、方向 (単位ベクトル で指定) の関数であり、その単位ベクトルに垂直な面積 A のディスクを通る流れを測定します。Iは、点の周りの流れを最大化する単位ベクトルを選択して定義されます。これは、実際の流れが、それに垂直なディスク全体で最大化されるためです。したがって、単位ベクトルは、流れの「実際の方向」を指しているときに、関数を一意に最大化します。(厳密に言えば、これは表記法の乱用です。「arg max」はベクトルを直接比較できないためです。代わりに、最大のノルムを持つベクトルを使用します。) $${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n }} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).}$$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

これらの直接的な定義、特に最後の定義は、かなり扱いにくいものです。たとえば、経験的測定の観点からは、arg max 構成は不自然です。風見鶏などを使用すると、ある点におけるフラックスの方向を簡単に推測できます。ベクトル フラックスを直接定義するよりも、それに関するいくつかのプロパティを記述する方が直感的であることがよくあります。さらに、これらのプロパティから、フラックスを一意に決定できます。

磁束jが、その面の法線に対して角度 θ で面を通過する場合、ドット積は次のようになります。 つまり、面を通過する磁束の成分（つまり、面に対して垂直な成分）はj  cos  θで、面の接線方向に通過する磁束の成分はj  sin  θですが、実際に面を接線方向に通過する磁束はありません。面に対して垂直に通過する磁束の成分は、コサイン成分のみです 。${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta .}$$

ベクトル フラックスの場合、表面S上のjの表面積分は、表面を通る単位時間あたりの適切な流れを与えます。 ここで、A (およびその無限小) はベクトル面積、つまり、プロパティが通過する面積Aの大きさと、その面積に垂直な単位ベクトルの 組み合わせです。2 番目の方程式とは異なり、ここでの表面は平坦である必要はありません。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} ,}$$${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

最後に、時間t ₁からt _{2にわたって再度積分すると、その時間 (} t ₂  −  t ₁ )に表面を流れる物質の総量が得られます。 $${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} \,dt.}$$

輸送現象に関する文献に記載されている最も一般的なフラックスの 8 つの形式は、次のように定義されています。

1. 運動量フラックス、単位面積あたりの運動量の移動速度（N·s·m ⁻² ·s ⁻¹）。（ニュートンの粘性法則）^[7]
2. 熱流束、単位面積あたりの熱の流れの速度（J·m ⁻² ·s ⁻¹）。（フーリエの伝導の法則）^[8]（この熱流束の定義はマクスウェルの元の定義に適合している。）^[5]
3. 拡散流束、単位面積あたりの分子の移動速度（mol·m ⁻² ·s ⁻¹）。（フィックの拡散の法則）^[7]
4. 体積流量、単位面積あたりの体積流量（m ³ ·m ⁻² ·s ⁻¹）。（地下水流動に関するダルシーの法則）
5. 質量流束、単位面積あたりの質量流量（kg·m ⁻² ·s ⁻¹）。（分子量を含むフィックの法則の別の形式、または密度を含むダルシーの法則の別の形式のいずれか。）
6. 放射フラックスは、光源から一定の距離で単位面積あたり毎秒光子の形で伝達されるエネルギーの量です(J·m ⁻² ·s ^{−1 )。天文学では、星の}等級とスペクトルクラスを決定するために使用されます。また、熱フラックスの一般化としても機能し、電磁スペクトルに限定すると放射フラックスに等しくなります。
7. エネルギーフラックス、単位面積を通るエネルギーの移動速度（J·m ⁻² ·s ⁻¹）。放射フラックスと熱フラックスはエネルギーフラックスの特殊な例です。
8. 粒子フラックス、単位面積を通過する粒子の移動速度（[粒子数] m ⁻² ·s ⁻¹）

これらのフラックスは空間の各点におけるベクトルであり、大きさと方向が明確です。また、これらのフラックスの発散を利用して、空間内の特定の点の周りの制御体積内の量の蓄積率を決定することもできます。非圧縮性の流れの場合、体積フラックスの発散はゼロです。

前述のように、等温等圧系における成分Aの化学モル流束は、フィックの拡散の法則で次のように定義されます。 ここで、ナブラ記号∇は勾配演算子、D _ABは成分Aが成分Bを拡散する際の拡散係数（m ² ·s ^{−1 ）、} c _Aは成分Aの濃度（mol /m ³）です。 ^[9]$${\displaystyle \mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}}$$

^{このフラックスの単位はmol·m −2} ·s ⁻¹であり、マクスウェルのフラックスの元の定義に適合しています。^[5]

希薄ガスの場合、運動論的分子理論では、拡散係数D が粒子密度n = N / V、分子量m、衝突断面積 、絶対温度Tに次のよう に関連付けられます。 ここで、2 番目の係数は平均自由行程であり、平方根 (ボルツマン定数kを使用)は粒子の 平均速度です。${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}}$$

乱流では、渦運動による輸送は、大幅に増加した拡散係数として表すことができます。

量子力学では、量子状態ψ ( r , t )にある質量mの粒子の確率密度は次のように定義されます。 したがって、微分体積要素d ³ r 内に粒子が存在する確率は、 次のように定義されます。また、単位時間あたりに断面 の単位面積を垂直に通過する粒子の数は、確率流束です。 これは、確率電流または電流密度、 ^[10]または確率流束密度 と呼ばれることもあります。^[11] $${\displaystyle \rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}.}$$$${\displaystyle dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r} .}$$$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \right).}$$

数学的概念として、フラックスはベクトル場の面積分で表される。^[12]

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} A}$

ここで、Fはベクトル場、 d A は表面法線に向けられた表面Aのベクトル面積です。2 番目に、n は表面に対する 外向きの単位法線ベクトルです。

表面は方向付け可能、つまり 2 つの面を区別できる必要があります。表面は折り返して折り返されることはありません。また、表面は実際に方向付けられている必要があります。つまり、流れに関して、どの方向を正としてカウントするかという規則を使用し、逆方向に流れる場合は負としてカウントします。

表面法線は通常、右手の法則に従って方向付けられます。

逆に、フラックスをより基本的な量と見なし、ベクトル場をフラックス密度と呼ぶこともできます。

多くの場合、ベクトル場は「流れ」に沿った曲線 (フィールド ライン) で描かれます。ベクトル場の大きさはライン密度であり、表面を通過するフラックスはラインの数です。ラインは正の発散領域(ソース) から始まり、負の発散領域 (シンク) で終わります。

右の画像も参照してください。単位面積を通過する赤い矢印の数は磁束密度、赤い矢印を囲む曲線は表面の境界を示し、表面に対する矢印の方向はベクトル場と表面法線の 内積の符号を示します。

表面が 3D 領域を囲んでいる場合、通常、表面は流入が正にカウントされるように方向付けられ、流出はその逆になります。

発散定理は、閉じた表面を通る純流出量、つまり 3D 領域からの純流出量は、領域内の各点からの局所的な純流出量 (発散によって表される)を加算することによって求められることを述べています。

表面が閉じていない場合、境界として有向曲線を持ちます。ストークスの定理は、ベクトル場の回転のフラックスは、この境界上のベクトル場の線積分であると述べています。この経路積分は、特に流体力学では循環とも呼ばれます。したがって、回転は循環密度です。

磁束とこれらの定理は、領域を通じて適用される電流、力などが見られる多くの分野に適用できます。

空間内の単一の陽子などの電荷の大きさはクーロンで定義されます。このような電荷は周囲に電場を持ちます。図で表すと、正の点電荷からの電場は、電場線(「力線」と呼ばれることもあります) を放射する点として視覚化できます。概念的には、電束は特定の領域を通過する「電場線の数」と考えることができます。数学的には、電束は特定の領域における電場の法線成分の積分です。したがって、 MKS システムでは、電束の単位はニュートン/クーロンx メートルの2 乗、つまり N m ² /C です。(電束密度は単位面積あたりの電束であり、積分領域で平均された電場の法線成分の強度の尺度です。単位は N/C で、MKS 単位の電場と同じです。)

2種類の電場束が使われており、1つはE場用である: ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

そしてもう1つはD場（電気変位と呼ばれる）用です。

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

この量はガウスの法則から生じます。ガウスの法則は、閉じた表面から出る電界 Eの流束が、表面に含まれる電荷Q _Aに比例する（その電荷の分布方法とは無関係）ことを述べています。積分形式は次のようになります。

${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} ={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$

ここでε0_は自由空間の誘電率である。

電荷場内の点電荷の近くにあるが電荷を含まない管の電界ベクトルEの磁束を考えると、その側面は電界に接する線で形成されるため、側面の磁束はゼロとなり、管の両端には等しく反対方向の磁束が存在する。これは、逆二乗電界に適用されたガウスの法則の結果である。管のどの断面の磁束も同じである。電荷q を囲むどの表面の全磁束もq / ε ₀である。^[15]

自由空間では、電気変位は構成関係 D = ε ₀ Eで与えられるため、任意の境界面について、Dフィールド フラックスはその内部の電荷Q _Aに等しくなります。ここで、「フラックス」という表現は数学的演算を示しており、電界線に沿って実際に流れるものは何もないため、結果は必ずしも「フロー」ではないことがわかります。

磁束密度（磁場）はWb/m ²（テスラ）の単位でBで表され、磁束は同様に定義される：^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

上記と同じ表記で表されます。この量はファラデーの電磁誘導の法則で生じ、境界が時間依存であるか磁場が時間依存であるため、磁束は時間に依存します。積分形式では、

${\displaystyle -{\frac {{\rm {d}}\Phi _{B}}{{\rm {d}}t}}=\oint _{\partial A}\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$

ここで、d ℓ は閉曲線の無限小ベクトル線要素であり、その大きさは無限小線要素の長さに等しく、方向は曲線の接線によって与えられ、符号は積分方向によって決まります。 ${\displaystyle \partial A}$${\displaystyle \partial A}$

ループ状の電線を通る磁束の時間変化率は、その電線に発生する起電力のマイナスです。電流が電線を通過すると、起電力によって電流が発生し、その電流自体が変化と反対の磁場を生成することで、磁場の変化に「対抗」します。これがインダクタや多くの発電機の基礎です。

この定義を用いると、指定された表面上のポインティングベクトル Sのフラックスは、その表面を流れる電磁エネルギーの速度であり、前と同じように定義される：^[14]

${\displaystyle \Phi _{S}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle A}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }$

表面を通過するポインティング ベクトルのフラックスは、その表面を通過する電磁力、つまり単位時間あたりのエネルギーです。これは、電磁放射の解析でよく使用されますが、他の電磁システムにも応用できます。

紛らわしいことに、ポインティングベクトルは電力フラックスと呼ばれることもあります。これは、上で述べたフラックスの最初の使用例です。^[16]単位はワット/平方メートル（W/m ²）です。

• ブラウン、マイケル (2010)。工学と科学のための物理学、第 2 版。シャウムアウトライン。ニューヨーク、トロント: McGraw-Hill Publishing。ISBN 978-0-0716-1399-6。
• パーセル、エドワード (2013)。『電気と磁気』第 3 版。ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978110-7014022。

• Stauffer, PH (2006). 「フラックスの混乱: 一貫した使用法の提案」.地下水. 44 (2): 125–128. Bibcode :2006GrWat..44..125S. doi : 10.1111/j.1745-6584.2006.00197.x . PMID  16556188. S2CID  21812226.

• Wiktionaryのフラックスの辞書定義