畳み込み商

数学において、畳み込み商の空間は、関数の畳み込み環の分数の体です。畳み込み商は畳み込みの演算に対して、整数の商は乗算に対してです。畳み込み商の構築により、ディラックのデルタ関数、積分演算子、微分演算子を、収束するかどうかに関して技術的な困難を伴うことが多い積分変換を直接扱うことなく、簡単に代数的に表現できます。

畳み込み商はミクシンスキー(1949)によって導入され 、その理論はミクシンスキーの演算計算と呼ばれることもあります。

この理論が扱う 畳み込みの種類は次のように定義される。${\textstyle (f,g)\mapsto f*g}$

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{0}^{x}f(u)g(x-u)\,du.}$

ティッチマーシュの畳み込み定理から、で連続する2 つの関数の畳み込みがその区間のどこでも 0 に等しい場合、 の少なくとも 1 つはその区間のどこでも 0 であることがわかります。結果として、 がで連続する場合、 である場合に限ります。この事実により、 2 つの関数ƒ、  gについて、ペア ( ƒ、  g ) の畳み込み商はペア ( h  *  ƒ、h  *  g ) と同じであると定義して、畳み込み商を定義することが可能になります。 ${\textstyle f*g}$${\textstyle f,g}$${\textstyle [0,+\infty )}$${\textstyle f,g}$${\textstyle f,g,h}$${\textstyle [0,+\infty )}$${\textstyle h*f=h*g}$${\textstyle f=g.}$

整数から有理数を構築するのと同様に、畳み込み商の体も、それが構築された畳み込み環の直接の拡張です。元の空間のすべての「通常の」関数は、通常の整数が有理数に標準的に埋め込まれるのと同じように、ペア （の同値類）として畳み込み商の空間に標準的に埋め込まれます。新しい空間の非関数要素は、「演算子」または一般化された関数と考えることができます。これらの関数に対する代数的作用は、 「通常の」関数空間に表現がない場合でも常に明確に定義されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle (f*g,g)}$

正の半直線関数の畳み込み環から始めると、上記の構成はラプラス変換と動作が同じになり、通常のラプラス空間変換表を使用して、非関数演算子を含む式を通常の関数（存在する場合）にマッピングできます。ただし、前述のように、空間の構築に対する代数的アプローチでは、変換またはその逆を明示的に定義する必要がなくなり、「従来の」積分変換構成に伴う技術的に困難な収束の問題がいくつか回避されます。

• ヤン G. ミクシンスキー (1949)、「計算オペラのフォンドワール」、Studia Math。、11：41–70、土井：10.4064/sm-11-1-41-70、MR  0036949
• ミクシンスキ、ヤン (1959) [1953]、「演算計算」、純粋および応用数学の国際モノグラフシリーズ、第 8 巻、ニューヨーク、ロンドン、パリ、ロサンゼルス: ペルガモン プレス、MR  0105594