シグナルフローグラフ

シグナルフローグラフ（SFG）は、クロード・シャノン[1]によって発明されたが、この用語^を作ったサミュエル・ジェファーソン・メイソンにちなんでメイソングラフと呼ばれることも多い^[2]。これは、特殊なフローグラフ、つまり有向グラフであり、ノードはシステム変数を表し、枝（エッジ、アーク、または矢印）はノードのペア間の機能的な接続を表す。したがって、シグナルフローグラフ理論は、有向グラフ（ダイグラフとも呼ばれる）理論に基づいており、これには有向グラフ理論も含まれる。このダイグラフの数学的理論は、もちろん、その応用とはまったく別に存在している。^{[3] [4]}

SFG は、サイバーフィジカルシステムを形成する物理システムとそのコントローラ内の信号フローを表すために最もよく使用されます。その他の用途としては、さまざまな電子ネットワークやアンプ、デジタルフィルタ、状態変数フィルタ、その他の種類のアナログフィルタ内の信号フローの表現があります。ほぼすべての文献で、信号フローグラフは一連の線形方程式に関連付けられています。

ウェイカイ・チェンは次のように書いている。「シグナルフローグラフの概念は、もともとシャノン[1942] ^[1]が アナログコンピュータを扱う際に考案した。シグナルフローグラフの定式化の最大の功績は、通常、メイソン[1953]、^[2] [1956] に帰せられる。^[5]彼は、シグナルフローグラフの手法を使用して、比較的簡単な方法でいくつかの難しい電子的問題を解決する方法を示した。シグナルフローグラフという用語は、もともと電子的問題に適用されていたことと、研究対象のシステムの電子信号やフローチャートとの関連性から使用された。」^[6]

ローレンスは次のように書いている。「メイソンの研究に先立って、CEシャノン^[1]は 現在フローグラフとして知られているもののいくつかの特性を解明した。残念ながら、この論文は当初分類が制限されており、その資料にアクセスできる人はほとんどいなかった。」^[7]

「メイソングラフのグラフ行列式の評価規則は、数学的帰納法を用いてシャノン [1942] によって初めて示され、証明されました。彼の研究は、メイソンが 1953 年に古典的な研究を発表した後も、本質的には知られていませんでした。3 年後、メイソン [1956] は規則を再発見し、行列式の値と、グラフに変数が追加されたときにそれがどのように変化するかを考慮して証明しました。[...]」^[8]

RobichaudらはSFGの適用領域を次のように特定している。^[9]

「これらのネットワーク（理想的な変圧器、能動要素、ジャイレータで構築）に類似したすべての物理システムは、ここで開発された技術の適用領域を構成します。トレント^[10]は、次の条件を満たすすべての物理システムがこのカテゴリに分類されることを示しました。

1. 有限集中系は、多数の単純な部分から構成され、各部分は既知の動的特性を持ち、これらの特性は、システムの 2 種類のスカラー変数とパラメータを使用した方程式で定義できます。第 1 のタイプの変数は、要素の 2 つの接続点に指示計器を取り付けることで、少なくとも概念的には測定できる量を表します。第 2 のタイプの変数は、要素に直列にメータを接続することで測定できる量を特徴付けます。相対速度と位置、圧力差、電圧は、第 1 クラスの典型的な量であり、電流、力、熱流率は、第 2 タイプの変数です。ファイアストンは、これら 2 種類の変数を、横断変数と通過変数という名前で区別した最初の人物です。
2. 最初のタイプの変数は、キルヒホッフの電圧法則に類似したメッシュ法則に従う必要がありますが、2 番目のタイプの変数は、キルヒホッフの電流法則に類似した入射法則を満たす必要があります。
3. 2 つのタイプの変数の適切な積の物理的寸法は、一貫している必要があります。これらの条件が満たされるシステムでは、選択した変数によって記述されるシステムの動的特性と同型の線形グラフを描くことができます。この手法は、これらの線形グラフや電気ネットワークに直接適用して、システムの信号フロー グラフを取得できます。"

以下の図とその意味は、基本的な概念を説明するためにメイソンによって導入されました。^[2]

図のシンプルなフロー グラフでは、ノードの機能的依存関係が入来矢印で示され、この影響の元となるノードがこの矢印の始まりになります。最も一般的な形式では、シグナル フロー グラフは、受信ノードでの処理に影響を与えるノードのみを入来矢印で示し、各ノードiでは、入来変数はそのノードに関連付けられた関数 (たとえばF _{i )}に従って処理されます。(a) のフロー グラフは、明示的な関係のセットを表します。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {1} }&={\text{独立変数}}\\x_{\mathrm {2} }&=F_{2}(x_{\mathrm { 1} },x_{\mathrm {3} })\\x_{\mathrm {3} }&=F_{3}(x_{\mathrm {1} },x_{\mathrm {2} },x_{\mathrm {3} })\\\end{整列}}}$

ノードx ₁は矢印が入ってこないので孤立ノードです。x ₂とx ₃の方程式には、図の( b) と (c) に示すグラフがあります。

これらの関係は、各ノードに対して、受信した入力信号を処理する関数を定義します。各非ソースノードは、何らかの方法で入力信号を結合し、結果の信号を各出力ブランチに沿ってブロードキャストします。「フローグラフは、メイソンによって最初に定義されたように、線形であるかどうかに関係なく、一連の機能関係を意味します。」^[9]

ただし、一般的に使用されるメイソン グラフはより制限されており、各ノードは単純に入力矢印を合計し、各ブランチは関連する開始ノードのみに関係すると想定されています。したがって、このより制限されたアプローチでは、ノードx ₁は影響を受けませんが、次のようになります。

${\displaystyle x_{2}=f_{21}(x_{1})+f_{23}(x_{3})}$

${\displaystyle x_{3}=f_{31}(x_{1})+f_{32}(x_{2})+f_{33}(x_{3})\ ,}$

そして、関数f _ijは、各ノードに関連付けられた一般的な関係を持つのではなく、ノードx _i、 x _jのペアに結合する信号フローブランチij​​ に関連付けることができます。 x ₃のf ₃₃のように、ノードによるそれ自体への寄与は、自己ループ と呼ばれます。多くの場合、これらの関数は単なる乗法係数（多くの場合、透過率またはゲインと呼ばれます）です。たとえば、f _ij (x _j )=c _ij x _jです。ここで、 cはスカラーですが、ラプラス変換変数sなどのパラメーターの関数である可能性もあります。信号フローグラフは、ラプラス変換された信号で非常によく使用されます。これは、信号フローグラフが線形微分方程式のシステムを表すためです。この場合、透過率c(s) は、多くの場合、伝達関数と呼ばれます。

一般に、複雑なシステムでは変数を選択する方法が複数あります。それぞれの選択に応じて連立方程式を記述し、各連立方程式をグラフで表すことができます。研究対象のシステムの概略図から直接グラフを描くことができる技術があれば、この方程式の定式化は直接的かつ自動的に行えます。このようにして得られたグラフの構造は、概略図のトポロジーに簡単に関連しており、グラフを得るために方程式を考慮する必要は、たとえ暗黙的にでもなくなります。場合によっては、概略図のフロー グラフを想像するだけで、フロー グラフを描かなくても目的の答えを得ることができます。

— ロビショー^[11]

Robichaud らは次のように書いている。「シグナルフローグラフには、それが導き出された方程式と同じ情報が含まれていますが、グラフと方程式のシステムの間には 1 対 1 の対応は存在しません。1 つのシステムでは、左側に書かれた変数を定義するために方程式が使用される順序に応じて、異なるグラフが生成されます。」^[9]すべての方程式がすべての従属変数に関係している場合、選択できる SFG はn!個あります。 ^[12]

線形シグナルフローグラフ（SFG）法は、関連理論で研究されているように、線形時間不変システムにのみ適用されます。関心のあるシステムをモデル化する場合、最初のステップは、原因と結果を割り当てることなくシステムの動作を表す方程式を決定することです（これは非因果モデリングと呼ばれます）。^[13]次に、この方程式のシステムからSFGが導出されます。

線形 SFG は、点で示されるノードと、矢印で示される重み付き方向分岐で構成されます。ノードは方程式の変数であり、分岐の重みは係数です。信号は、矢印で示される方向にのみ分岐を通過できます。SFG の要素は、制約方程式を表すのに十分な係数による乗算と加算の演算のみを表すことができます。信号が示された方向に分岐を通過すると、信号に分岐の重みが乗算されます。2 つ以上の分岐が同じノードに向かう場合、それらの出力が加算されます。

線形代数方程式または微分方程式で記述されるシステムの場合、シグナルフローグラフはシステムを記述する方程式のシステムと数学的に等価であり、ノードを制御する方程式は、そのノードへの入力ブランチを合計することによって各ノードに対して検出されます。これらの入力ブランチは、接続されたノード値に接続ブランチの重み (通常は実数または何らかのパラメータ (たとえば、ラプラス変換変数s ) の関数) を乗じて表される他のノードの寄与を伝えます。

線形アクティブネットワークについて、チョマは次のように書いています。^[14]「『信号フロー表現』[または一般に『グラフ』と呼ばれる]とは、ネットワークの関連する分岐変数間の代数的関係を表示することにより、適用された入力信号が入力ポートから出力ポートに『流れる』方法を明確に示す図を意味します。」

SFG分析の動機については、Chenによって次のように説明されている。^[15]

「線形システムの解析は、最終的には線形代数方程式のシステムの解に帰着します。システムを解く従来の代数的方法の代替として、システムに関連する特定の有向グラフの特性を考慮して解を得ることが可能です。」[サブセクション「線形方​​程式の解法」を参照] 「方程式の未知数はグラフのノードに対応し、それらの間の線形関係はノードを接続する有向エッジの形で現れます。...関連する有向グラフは、多くの場合、最初に→関連する方程式を定式化する必要なく、物理システムを検査することによって直接設定できます...」

線形信号フローグラフは、次の形式の 線形方程式系^{[16]に関連しています。}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }t_{\mathrm {jk} }x_{\ mathrm {k} }\end{aligned}}}$

ここで=からまでの透過率（またはゲイン）。${\displaystyle t_{jk}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{j}}$

右の図はシグナルフローグラフ（SFG）のさまざまな要素と構成を示しています。^[17]

図 (a) はノードです。この場合、ノードには というラベルが付けられます。ノードは変数または信号を表す頂点です。 ${\displaystyle x}$

ソースノードには、出力ブランチのみがあります (独立変数を表します)。特殊なケースとして、入力ノードは、ノードから外向きの矢印が 1 つ以上接続されており、ノード内向きの矢印がないという特徴があります。開いた完全な SFG には、少なくとも 1 つの入力ノードがあります。

出力ノードまたはシンクノードには、入力ブランチ (従属変数を表す) のみがあります。どのノードも出力になることができますが、明確さを保つために明示的な出力ノードがよく使用されます。明示的な出力ノードは、ノードに向かう矢印が 1 つ以上接続され、ノードから外に向かう矢印がないという特徴があります。明示的な出力ノードは必須ではありません。

混合ノードには、入力ブランチと出力ブランチの両方があります。

図 (b) は乗法ゲインが のブランチです。これは、矢印の先端の出力が矢印の末尾の入力の倍数であることを意味します。ゲインは単純な定数または関数 (たとえば、ラプラス変換、フーリエ変換、Z 変換関係の 、 、 などの変換変数の関数)になります。${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle z}$

図(c)は乗法ゲインが1のブランチです。ゲインを省略した場合は、1であるとみなされます。

図(d)は入力ノードです。この場合、はゲイン で乗算されます。${\displaystyle V_{in}}$${\displaystyle V_{in}}$${\displaystyle m}$

図(e)は明示的な出力ノードであり、入力エッジのゲインは です。${\displaystyle I_{out}}$${\displaystyle m}$

図 (f) は加算を示しています。2 つ以上の矢印がノードを指している場合、エッジによって伝送される信号が加算されます。

図(g)は単純なループを示しています。ループゲインは です。${\displaystyle A\times m}$

図(h)は、式を示しています。${\displaystyle Z=aX+bY}$

線形SFG理論で使用される用語には以下のものがある: ^[17]

• パス。パスは、分岐矢印によって示される方向に横断される連続した分岐のセットです。
  • オープンパス。ノードが再訪問されない場合、パスはオープンです。
  • フォワード パス。入力ノード (ソース) から出力ノード (シンク) へのパスで、どのノードにも再アクセスしません。
• パスゲイン: パス内のすべてのブランチのゲインの積。
• ループ。閉じたパス。(同じノードで開始および終了し、どのノードも複数回アクセスされません)。
• ループゲイン: ループ内のすべてのブランチのゲインの積。
• 非接触ループ。非接触ループには共通ノードがありません。
• グラフの削減。グラフ変換を使用してグラフから 1 つ以上のノードを削除します。
  • 残余ノード。グラフ削減のあらゆるプロセスにおいて、新しいグラフに保持されるノードは残余ノードと呼ばれます。^[2]
• ノードの分割。ノードの分割は、ノードを2つの半ノードに分割することであり、1つはシンク、もう1つはソースです。^[18]
• インデックス: グラフのインデックスは、グラフ内のすべてのループを削除するために分割する必要があるノードの最小数です。
  • インデックス ノード。グラフのインデックスを決定するために分割されるノードはインデックスノードと呼ばれ、一般に一意ではありません。

シグナルフローグラフは、グラフ変換規則によって簡略化することができます。^{[19] [20] [21]これらの簡略化規則は}、シグナルフローグラフ代数 とも呼ばれます。^[22] この簡略化の目的は、関心のある従属変数（残差ノード、シンク）をその独立変数（ソース）に関連付けることです。

線形シグナルフローグラフの体系的縮小は、線形方程式を解くためのガウス・ジョルダン消去法と同等のグラフィカル手法である。^[23]

以下に示す規則は、シグナルフローグラフが「最小残差形式」に縮小されるまで何度も適用できます。さらに縮小するには、ループの削除や、従属変数を表すシンクノードを独立変数を表すソースノードに直接接続することを目的とした「縮小式」の使用が必要になる場合があります。これらの方法により、入力ノードと出力ノードとインデックスノードのみが残るまで内部ノードを順次削除することで、シグナルフローグラフを簡素化できます。^{[24] [25]} Robichaud は、この体系的なフローグラフ縮小のプロセスを次のように説明しています。

グラフの縮小は、特定のノードを削除して、関心のある変数だけを示す残差グラフを得ることによって行われます。このノードの削除は「ノード吸収」と呼ばれます。この方法は、方程式のシステムで不要な変数を連続的に削除する一般的なプロセスに近いものです。グラフ内の対応するノードを削除することで、変数を削除できます。グラフを十分に縮小すると、任意の変数の解を得ることができます。これが、グラフの縮小のさまざまな方法を説明する際に念頭に置く目標です。ただし、実際には、縮小のテクニックは、グラフをいくつかの基本的な関係を表す残差グラフに変換するためだけに使用されます。完全な解は、メイソンの規則を適用することでより簡単に得られます。^[26] グラフ自体が縮小プロセスをプログラムします。実際、グラフを簡単に調べると、基本的な変換、ループの削除、または縮小式の使用によって実行される縮小のさまざまな手順がすぐにわかります。^[26]

— ロビショー、シグナルフローグラフとその応用、1962年

アルゴリズムを使用してフロー グラフをデジタル的に縮小するために、Robichaud は単純なフロー グラフの概念を一般化されたフロー グラフに拡張します。

縮小のプロセスを説明する前に...グラフと線形方程式のシステムとの対応関係を一般化する必要があります...一般化されたグラフは、変数のグループ間のいくつかの操作関係を表します...一般化されたグラフの各ブランチには、そのブランチの端にあるノードによって表される変数間の関係を示すマトリックスが関連付けられています... ^[27] 基本変換 [Robichaud が図 7.2、p. 184 で定義] とループ縮小により、縮小式:[Robichaud の式 7-1 で説明]によってグラフの任意のノードjを削除できます。縮小式を使用すると、任意の順序のグラフを縮小することが常に可能です... [縮小後] 最終的なグラフは、シンク ノードの変数がソースの関数として明示的に表現されるカスケード グラフになります。メイソンのルールは明らかに適用できないため、これが一般化されたグラフを縮小する唯一の方法です。^[28]

— ロビショー、シグナルフローグラフとその応用、1962年

基本変換の定義は著者によって異なります。

• 一部の著者は、並列エッジゲインの加算と直列エッジゲインの乗算のみを基本変換として考慮し、自己ループの除去は考慮していない^{[23] [29]}
• 他の著者は、自己ループの除去を基本的な変換とみなしている^[30]

平行エッジ。平行エッジを、元のゲインの合計に等しいゲインを持つ単一のエッジに置き換えます。

左側のグラフでは、ノード間に平行エッジがあります。右側では、これらの平行エッジが、元の各エッジのゲインの合計に等しいゲインを持つ単一のエッジに置き換えられています。

NとノードI ₁間の削減に対応する方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm { 1} }f_{\mathrm {3} }+...\\N&=I_{\mathrm {1} }(f_{\mathrm {1} }+f_{\mathrm {2} }+f_{\mathrm {3} })+...\\\end{整列}}}$

流出エッジ。流出エッジをノードのソースから直接流出するエッジに置き換えます。

左側のグラフには、流入元のノードと流出先のノードの間に中間ノードNがあります。右側のグラフは、 Nを経由せずにこれらのノード セット間を直接流れるフローを示しています。

簡単にするために、Nとその流入は表されていません。N からの流出は排除されています。

Nの入力信号と出力信号を 直接関連付ける縮小に対応する方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm { 3} }f_{\mathrm {3} }\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }N\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }N\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }N\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }(I_{ \mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }(I_{\mathrm {1} }f_{ \mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {1} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\ mathrm {2} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {1} }\\O_{\mathrm {2} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {2} }\\O_{\mathrm {3} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {3} }\\\end{整列}}}$

ゼロ信号ノード。

値がゼロであると判断されたノードから流出するエッジを削除します。

ノードの値がゼロの場合、そのノードから流出するエッジは削除できます。

流出のないノード。

流出のないノードを削除します。

この場合、N は対象の変数ではなく、出力エッジもないため、Nとその流入エッジは削除できます。

自己ループ エッジ。入力エッジのゲインを調整して、ループ エッジを置き換えます。

左側のグラフでは、ノードNにループ エッジがあり、ゲインは gです。右側のグラフでは、ループ エッジが削除され、すべての流入エッジのゲインは(1-g)で割られています。

Nとそのすべての入力信号 間の削減に対応する方程式は次のとおりです。

非因果的な方程式系からSFGを構築し、SFGのゲインを解く上記の手順は、解析で遭遇する機械的な記号処理を機械に支援するオンラインシステムであるMATHLAB 68 ^[32]のアドオンとして実装されています^[31]。

シグナルフローグラフは、同時線形方程式のセットを解くために使用できます。^[33]方程式のセットは一貫している必要があり、すべての方程式は線形独立でなければなりません。

N 個の未知数を持つ M 個の方程式で、各 y _jが既知の値であり、各 x _{j が}未知の値である場合、各既知の値に対して次の形式の方程式が存在します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }&=y_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$ ; 1 ≤ j ≤ Mの同時線形方程式の通常の形式

この形式の方程式を使用してシグナルフローグラフを作成することは、特に単純なケースでは実行可能ですが、いくつかの再配置により、ここで示すように、任意の方程式セットに対して簡単に機能する一般的な手順が可能になります。続行するには、まず方程式を次のように書き直します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=0\end{aligned}}}$

さらに書き直すと

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }+x_{\mathrm {j} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$

そして最終的に書き直される

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }(c_{\mathrm {jk} }+\delta _{\mathrm {jk} })x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$  ; シグナルフローグラフとして表現するのに適した形式。

ここでδ _kj =クロネッカーデルタ

シグナルフローグラフは、これらの方程式の 1 つを選択し、右側のノードをアドレス指定することで配置されます。これは、フローグラフで自己ループを作成する重みのブランチを含む「+1」でノードが自身に接続するノードです。その方程式の他の項は、このノードを最初にこの方程式のソースに接続し、次にこのノードに関係する他のすべてのブランチに接続します。すべての方程式はこのように扱われ、次に各関係するブランチがそれぞれの発信ノードに結合されます。たとえば、図には 3 つの変数の場合が示されており、最初の方程式は次のとおりです。

${\displaystyle x_{1}=\left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}\ ,}$

この式の右辺はノードx ₁に入射する重み付き矢印の合計です。

各ノードの扱いには基本的な対称性があるため、各ノードを正多角形の1つの頂点に配置するという単純な出発点があります。一般的な係数{ c _in }を使用して表現すると、各ノードの環境は、インデックスの順列を除いて、他のすべての環境とまったく同じになります。3つの同時方程式のセットのこのような実装は、図に示されています。^[34]

多くの場合、既知の値 y _{j は}主な原因とみなされ、未知の値 x _jは結果とみなされますが、この解釈に関係なく、方程式セットの最終的な形式は信号フロー グラフとして表すことができます。この点については、「因果関係」の解釈のサブセクションでさらに詳しく説明します。

_{最も一般的なケースでは、各 y j}から各 x _kへのパスのメイソンのゲイン式を計算し、重ね合わせを使用することで、すべての x _k変数の値を計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {k} }&=\sum _{\mathrm {j} =1}^{\mathrm {M} }(G_{\mathrm {kj} })y_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$

ここで、G _{kj = 入力 y j}から変数 x _kまでのすべてのパスに対して計算されたメイソンのゲイン式の合計です。

_{一般に、 y j}から変数 x _kへのパスは N-1 個あるため、 G _{kj を}計算するための計算量はN-1 に比例します。 y _jの値は M 個あるため、 x _kの単一の値に対してG _{kj を}M 回計算する必要があります。 単一の x _{k変数を計算するための計算量は (N-1)(M) に比例します。 すべての x k}変数を計算するための計算量は(N)(N-1)(M) に比例します。 N 個の方程式と N 個の未知数がある場合、計算量は N ³のオーダーになります。

一部の著者は、線形シグナルフローグラフはブロック線図よりも制約が厳しいと考えている。^[35] SFGは有向グラフで表される線形代数方程式を厳密に記述するからである。

他の著者にとっては、線形ブロック図と線形信号フローグラフはシステムを描写する同等の方法であり、どちらもゲインを解くために使用できます。^[36]

ブロック図とシグナルフローグラフの比較表は、Bakshi & Bakshi ^[37]によって提供されており、別の表はKumar ^{[38]によって提供されています。Barker} et al. ^[39] によると、

「シグナル フロー グラフは、動的システムを表現する最も便利な方法です。グラフのトポロジはコンパクトで、グラフを操作するルールは、ブロック図に適用される対応するルールよりもプログラムしやすいです。」

この図では、フィードバックシステムの簡単なブロック ダイアグラムが、シグナル フロー グラフとして 2 つの解釈が可能に示されています。入力R(s)はラプラス変換された入力信号で、シグナル フロー グラフではソース ノードとして表示されます (ソース ノードには入力エッジはありません)。出力信号C(s)はラプラス変換された出力変数で、フロー ダイアグラムではシンク ノードとして表されます (シンクには出力エッジはありません)。G (s)とH(s) は伝達関数で、H(s)は出力の修正バージョンを入力B(s)にフィードバックする役割を果たします。2 つのフロー グラフ表現は同等です。

「原因と結果」という用語はメイソンによってSFGに適用されました。^[2]

「グラフを作成するプロセスは、物理システムを通じて原因と結果の連続を追跡するプロセスです。 1 つの変数は、特定の原因による明確な効果として表現され、次に、それらはさらに別の原因による効果として認識されます。」

— SJ メイソン: 第 IV 章:フロー グラフ手法の応用例

そして、多くの後代の著者によって繰り返されている。^[40]

「シグナルフローグラフは、システムのコンポーネント間の因果関係を表すもう 1 つの視覚的ツールです。これは、線形システムの因果関係の表現として SJ Mason によって導入されたブロック図の簡略版です。」

— アーサー・GO・ムタンバラ：制御システムの設計と分析、p.238

しかし、メイソンの論文は、方程式のセットがSFGにどのように関連しているかを詳細に示すことに重点を置いており、「原因と結果」という直感的な概念とは無関係です。直感はSFGに到達したり、SFGから洞察を得たりするのに役立ちますが、SFGにとって本質的ではありません。SFGの本質的な接続は、たとえば緒方によって説明されているように、それ自身の方程式のセットです。^[41]

「シグナルフローグラフは、一連の同時代数方程式を表す図です。シグナルフローグラフ法を制御システムの解析に適用する場合、まず線形微分方程式を [ラプラス変換変数]の代数方程式に変換する必要があります。」

— 緒方勝彦:現代制御工学、p. 104

ここでは「原因と結果」については言及されておらず、バルツキーは次のように述べている。^[42]

「ブロック図と同様に、シグナルフローグラフはシステムの物理的構造ではなく計算的構造を表します。」

— ヴォルフガング・ボルツキー『ボンドグラフ手法』 10 ページ

「因果関係」という用語は、SFGに当てはめると誤解される可能性があり、計算に基づく意味ではなく、因果関係のシステム的見方を示唆していると誤解される可能性があります。 ^{[43]議論を明確にするために、}ボンドグラフの場合のように「計算的因果関係」という用語を使用することをお勧めします。^[44]

「ボンドグラフの文献では、直感的な因果関係という意味での解釈を避けるために、シミュレーションにおける計算の順序を示す「計算因果関係」という用語が使用されています。」

「計算上の因果関係」という用語は、抵抗器の電流と電圧の例を使って説明される。^[45]

「したがって、物理法則の計算上の因果関係は事前に決定することはできず、その法則の特定の使用法に依存します。電圧降下を引き起こすのは抵抗器を流れる電流なのか、それとも電流の流れを引き起こすのは抵抗器の両端の電位差なのかを結論付けることはできません。物理的には、これらは単に 1 つの同じ物理現象の 2 つの同時発生の側面です。計算上は、あるときは一方の立場を、またあるときはもう一方の立場を想定する必要があるかもしれません。」

— フランソワ・セリエ & エルネスト・コフマン: §1.5シミュレーションソフトウェアの現在と未来、p. 15

コンピュータ プログラムまたはアルゴリズムは、さまざまな戦略を使用して一連の方程式を解くように構成できます。これらの戦略は、他の変数と比較していくつかの変数を見つける優先順位付けの方法に違いがあり、これらのアルゴリズムの決定は、単にソリューション戦略に関するものであり、ソリューションの初期に従属変数として表現された変数を「効果」として設定し、残りの変数によって決定されます。これらの変数は、「計算上の因果関係」の意味で「原因」になります。

この用語を使用すると、SFGに関連するのはシステム因果関係ではなく計算因果関係である。計算因果関係とシステム因果関係の関係については、SFGに特化していない幅広い哲学的議論が存在する。^[46]

信号フロー グラフは、既存のシステムのモデルを理解するための分析や、設計代替案の特性を決定するための合成に使用できます。

動的システムのモデルを構築する際の手順のリストは、Dorf & Bishopによって提供されています。^[47]

• システムとそのコンポーネントを定義します。
• 数学モデルを定式化し、必要な仮定をリストします。
• モデルを記述する微分方程式を書きます。
• 目的の出力変数について方程式を解きます。
• 解決策と仮定を検討します。
• 必要に応じて、システムを再分析または再設計します。

—RC ドルフと RH ビショップ、現代の制御システム、第 2 章、p. 2

このワークフローでは、物理システムの数学モデルの方程式を使用して、信号フロー グラフ方程式を導出します。

シグナルフローグラフは、設計空間探索（DSE）において、物理的な実装に向けた中間表現として使われてきました。DSEプロセスは、さまざまな選択肢の中から適切なソリューションを探します。一般的な分析ワークフローでは、対象となるシステムが最初にそのコンポーネントの物理方程式でモデル化されますが、設計を合成するための仕様は、望ましい伝達関数である可能性があります。たとえば、異なる戦略では異なるシグナルフローグラフが作成され、そこから実装が導き出されます。^[48] 別の例では、注釈付きSFGを連続時間動作の表現として使用し、アーキテクチャジェネレータへの入力として使用します^[49]

シャノンの公式は、アナログ コンピュータ内の相互接続された一連の増幅器のゲインを計算するための解析式です。第二次世界大戦中、クロード シャノンはアナログ コンピュータの機能的動作を調査しながら、この公式を開発しました。戦時中の制約のため、シャノンの研究は当時は公開されず、1952 年にメイソンが同じ公式を再発見しました。

ウィリアム・W・ハップはシャノンの公式を位相的に閉じたシステムに対して一般化した。^[50]シャノン-ハップの公式は伝達関数、感度、誤差関数を導くために使用できる。^[51]

一貫した線形一元関係の集合に対して、シャノン・ハップの公式は直接置換（非反復）を使用して解を表現します。^{[51] [52]}

NASAの電気回路ソフトウェアNASAPはシャノン・ハップの公式に基づいています。^{[51] [52]}

ゲインa12_の増幅器による信号V1_の増幅は数学的に次のように記述される。

${\displaystyle V_{2}=a_{12}V_{1}\,.}$

図1の信号フローグラフで表されたこの関係は、V _{2 が}V _{1に依存しているが、V 1}がV ₂に依存していないことを意味する。Kou 57ページを参照。^[53]

負帰還増幅器の漸近利得モデルに対する可能なSFGを図3に示し、この増幅器の利得の式を次のように導く。

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$ ${\displaystyle =G_{\infty }\left({\frac {T}{T+1}}\right)+G_{0}\left({\frac {1}{T+1}}\right)\ .}$

パラメータの解釈は次のとおりです: T =リターン比、G _∞ = 直接増幅器ゲイン、G ₀ = フィードフォワード（フィードフォワード補償の場合のように意図的な可能性のある双方向のフィードバックの性質を示します）。図 3 は、追加のフィードバック関係x ₂ = T y ₁が追加された 2 ポート ネットワークの図 2 に似ているという興味深い側面があります。

このゲイン式から、パラメータG ₀とG _∞の解釈は明らかです。

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G\ ;\ G_{0}=\lim _{T\to 0}G\ .}$

特定のゲイン関係に関連する SFG は多数存在します。図 4 は、回路の観点から解釈しやすい漸近ゲイン モデルの別の SFG を示しています。このグラフでは、パラメータ β はフィードバック係数として解釈され、A は「制御パラメータ」として解釈され、回路内の従属ソースに関連する可能性があります。このグラフを使用すると、ゲインは次のようになります。

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$ ${\displaystyle =G_{0}+{\frac {A}{1-\beta A}}\ .}$

漸近ゲインモデルに接続するには、パラメータAと β は任意の回路パラメータではなく、次のようにリターン率Tと関連付ける必要があります。

${\displaystyle T=-\beta A\ ,}$

そして漸近的なゲインは次のようになります。

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G=G_{0}-{\frac {1}{\beta }}\ .}$

これらの結果をゲイン式に代入すると、

${\displaystyle G=G_{0}+{\frac {1}{\beta }}{\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{0}+(G_{0}-G_{\infty }){\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{\infty }{\frac {T}{1+T}}+G_{0}{\frac {1}{1+T}}\ ,}$

これは漸近ゲインモデルの式です。

右の図は、 yパラメータの 2 ポート ネットワークを含む回路を示しています。 V _{in は}回路の入力で、 V ₂は出力です。 2 ポート方程式は、ポートの電圧と電流の間に一連の線形制約を課します。 端子方程式は、その他の制約を課します。 これらすべての制約は、回路の下の SFG (信号フロー グラフ) に表されます。 入力から出力へのパスは 1 つだけであり、別の色で表示され、(電圧) ゲインは -R _L y ₂₁です。 また、ループは 3 つあります: -R _in y ₁₁、 -R _L y ₂₂、 R _in y ₂₁ R _L y ₁₂。 ループは意図的なフィードバックを示す場合もありますが、2 つの変数の関係に対する制約を示す場合もあります。 たとえば、抵抗器を表す方程式では、抵抗器の両端の電圧と抵抗器を流れる電流の比は定数であり、これを抵抗と呼びます。これは、電圧が入力で電流が出力、または電流が入力で電圧が出力、あるいは単に電圧と電流が線形関係にあると解釈できます。回路内のほぼすべての受動的な 2 端子デバイスは、SFG ではループとして表示されます。

SFG と回路図は同じ回路を表していますが、回路図では回路の目的も示されています。回路図と比較すると、SFG は扱いにくいですが、メイソンの法則を使用して検査することで入力から出力までのゲインを書き留めることができるという利点があります。

この例は、サーボ制御システムを表すために使用される SFG (シグナル フロー グラフ) の代表的な例であり、SFG のいくつかの特徴を示しています。一部のループ (ループ 3、ループ 4、ループ 5) は、意図的に設計された外部フィードバック ループです。これらは点線で示されています。また、意図的なフィードバック ループではない内部ループ (ループ 0、ループ 1、ループ 2) もありますが、フィードバック ループであるかのように分析できます。これらのループは実線で示されています。ループ 3 とループ 4 は、より大きなループ内にあるため、マイナー ループとも呼ばれます。

• 順方向パスは、目的の位置コマンドθ _Cから始まります。これは、定数または周波数の関数であるK _{Pで乗算されます。K Pには、DAC の変換ゲインと DAC 出力のフィルタリングが組み込まれています。K P}の出力は速度コマンドV _ωCで、これは定数または周波数の関数である K _Vで乗算されます。K _Vの出力は電流コマンドV _{ICで、これは定数または周波数の関数である K C}で乗算されます。K _Cの出力は、アンプの出力電圧V _Aです。モーター巻線を流れる電流I _Mは、インダクタンスに印加される電圧の積分です。モーターは、I _Mに比例するトルクTを生成します。永久磁石モーターは、電流からトルクへの関数が線形になる傾向があります。電流からトルクへの変換定数は K _Mです。トルクTを負荷慣性モーメント M で割ると加速度αとなり、これを積分すると負荷速度ωが得られ、これを積分すると負荷位置θ _{LC が}得られます。
• ループ 0 の順方向パスは、加速度がトルクに比例し、速度が加速度の時間積分であると主張します。逆方向パスは、速度が増加すると、トルクに対抗する摩擦または抗力が発生すると述べています。負荷のトルクは、すべてのトルクが摩擦を克服するために使用され、加速度がゼロに低下するポイントに達するまで、負荷速度に比例して減少します。ループ 0 は固有です。
• ループ 1 は、インダクタの電流と内部および外部の直列抵抗との相互作用を表します。インダクタンスを流れる電流は、インダクタンスの両端の電圧の時間積分です。電圧が最初に印加されると、そのすべてがインダクタの両端に現れます。これは、を通る順方向パスで示されます。電流が増加すると、インダクタの内部抵抗 R _Mと外部抵抗 R _Sの両端で電圧が低下します。これにより、インダクタの両端の電圧が低下し、フィードバック パス -(R _M + R _{S ) で表されます。電流は増加し続けますが、すべての電圧が (R M} + R _S )にわたって低下するポイントに達するまで、電流は着実に減少します。ループ 1 は固有です。${\displaystyle {\frac {1}{s\mathrm {L} _{\mathrm {M} }}}\,}$
• ループ 2 は、モーターの逆起電力の影響を表します。永久磁石モーターが回転すると、発電機のように動作し、巻線に電圧が発生します。回転の原因が駆動軸に加えられたトルクによるものか、巻線に加えられた電流によるものかは関係ありません。この電圧は逆起電力と呼ばれます。回転速度から逆起電力への変換ゲインは G _Mです。逆起電力の極性は、巻線インダクタンスの電圧を減少させるものです。ループ 2 は固有です。
• ループ 3 は外在的です。モーター巻線の電流はセンス抵抗器を通過します。センス抵抗器の両端に発生する電圧V _{IMは、パワー アンプ K C}の負の端子にフィードバックされます。このフィードバックにより、電圧アンプは電圧制御電流源のように動作します。モーター トルクはモーター電流に比例するため、出力トルクに対するサブシステムV _{IC は}電圧制御トルク源のように動作します。このサブシステムは、「電流ループ」または「トルク ループ」と呼ばれることがあります。ループ 3 は、ループ 1 とループ 2 の影響を効果的に軽減します。
• ループ 4 は外在的です。タコメータ (実際には低電力 DC ジェネレータ) は、角速度に比例する出力電圧V _{ωM を生成します。この電圧は、K Vの負の入力に供給されます。このフィードバックにより、} V _ωCから負荷角速度までのサブシステムは、電圧から速度へのソースのように動作します。このサブシステムは、「速度ループ」と呼ばれることがあります。ループ 4 は、ループ 0 とループ 3 の影響を効果的に軽減します。
• ループ 5 は外部ループです。これは全体的な位置フィードバック ループです。フィードバックは、デジタル出力を生成する角度エンコーダから来ます。出力位置は、K _{P を}駆動する DAC を駆動するデジタル ハードウェアによって目的の位置から減算されます。SFG では、DAC の変換ゲインが K _Pに組み込まれます。

この例のメイソンのゲイン公式の開発については、 メイソンのルールを参照してください。

シグナルフローグラフとは何かについて文献では混乱が見られます。ボンドグラフの発明者であるヘンリー・ペインターは次のように書いています。「しかしシグナルフローグラフの衰退の多くは、枝は線形でなければならない、ノードは総和的でなければならないという誤った考えに一部起因しています。どちらの仮定もメイソン自身は受け入れませんでした！」^[55]

• IEEE Std 155-1960、回路に関する IEEE 標準: 線形信号フロー グラフの用語の定義、1960 年。

この IEEE 標準では、信号フロー グラフを、従属信号と独立信号をノードとして表す有向ブランチのネットワークとして定義しています。入力ブランチは、ブランチ信号を従属ノード信号に伝えます。従属ノード信号は、そのノードでの入力ブランチ信号の代数和です。つまり、ノードは合計的です。

状態遷移SFGまたは状態図は、状態の初期条件を含む方程式系のシミュレーション図です。^[56]

クローズドフローグラフは閉じたシステムを記述し、回路解析のトポロジカル手法に厳密な理論的基礎を提供するために利用されてきた。^[50]

• 閉じたフローグラフ理論の用語には以下が含まれます。
  • 寄与ノード。2 つ以上の入力信号を合計して 1 つの出力信号のみを生成するポイント。
  • 分散ノード。1つの入力信号から生成される 2 つ以上の出力信号のサンプリング ポイント。
  • 複合ノード。寄与ノードと分配ノードの縮約。
  • 厳密に従属するノードと厳密に独立したノード。厳密に独立したノードは独立したソースを表し、厳密に従属するノードはメーターを表します。
  • オープンフローグラフとクローズドフローグラフ。オープンフローグラフには、厳密に依存するノードまたは厳密に独立したノードが含まれます。それ以外の場合はクローズドフローグラフです。

メイソンは非線形フローグラフと線形フローグラフの両方を導入しました。この点を明確にするために、メイソンは次のように書いています。「線形フローグラフとは、関連する方程式が線形であるグラフです。」^[2]

ノードjの信号をx _jで表すと、線形時間不変システムに関係しないノード関数の例は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {k} }\times x_{\mathrm {l} }\\x_{\mathrm {k} }&=abs(x_{\mathrm {j} })\\x_{\mathrm {l} }&=\log(x_{\mathrm {k} })\\x_{\mathrm {m} }&=t\times x_{\mathrm {j} }{\text{ ,where }}t{\text{ represents time}}\\\end{aligned}}}$

• 一般的に、古典的な制御理論の解析では時間領域と周波数領域の表現間で変換することはできませんが、非線形信号フローグラフは電気工学の文献で見つけることができます。^{[57] [58]}
• 非線形信号フローグラフは生命科学の分野でも見られ、例えばアーサー・ガイトン博士の心血管系モデルなどがその例である。^[59]

• 電子回路
  • ムーアとミーリー型の順序回路を特徴付け、状態図から正規表現を得る。^[60]
  • 非線形データ変換器の合成^[58]
  • 制御とネットワーク理論
  • 確率的信号処理^[61]
  • 電子システムの信頼性^[62]
• 生理学と生物物理学
  • 心拍出量の調節^[63]
• シミュレーション
  • アナログコンピュータによるシミュレーション^[64]
• 神経科学と組合せ論
  • ポリクロニーの研究^{[65] [66]}

• 漸近的ゲインモデル
• ボンドグラフ
• コーツグラフ
• 制御システムWikibookの制御システム/信号フロー図
• フローグラフ（数学）
• 信号フローグラフを使用したフィルタ設計の例として、リープフロッグフィルタ
• メイソンのゲイン公式
• マイナーループフィードバック
• 非可換信号フローグラフ

• アーネスト J. ヘンリー & RA ウィリアムズ (1973)。現代工学におけるグラフ理論、コンピュータ支援設計、制御、最適化、信頼性分析。アカデミック プレス。ISBN 978-0-08-095607-7。この本はほぼ完全にこのテーマに捧げられています。
• コウ、ベンジャミン C. (1967)、「自動制御システム」、プレンティス ホール
• Robichaud, Louis PA; Maurice Boisvert; Jean Robert (1962)。シグナルフローグラフとその応用。Prentice-Hall 電気工学シリーズ。Englewood Cliffs、NJ: Prentice Hall。pp. xiv、214 ページ。
• Deo, Narsingh (1974)、「グラフ理論と工学およびコンピュータサイエンスへの応用」、PHI Learning Pvt. Ltd.、p. 418、ISBN 978-81-203-0145-0
• K Thulasiramen、MNS Swarmy (2011)。「§6.11 Coates グラフと Mason グラフ」。グラフ: 理論とアルゴリズム。John Wiley & Sons。163 ページ以降。ISBN 9781118030257。
• 緒方 勝彦 (2002)。「セクション 3-9 シグナルフローグラフ」。現代制御工学第 4 版。Prentice- Hal。ISBN 978-0-13-043245-2。
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• ワイカイ・チェン (1976)。応用グラフ理論。ノースホランド出版社。ISBN 978-0720423624。基本的な内容は第 3 章に記載されていますが、応用内容は本書全体に散りばめられています。
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• K. Thulasiraman & MNS Swamy (1992)。グラフ: 理論とアルゴリズム。John Wiley & Sons。6.10-6.11 に基本的な数学的概念が記載されています。ISBN 978-0-471-51356-8。
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• ML Edwards: Sパラメータ、シグナルフローグラフ、その他の行列表現 All Rights Reserved
• H Schmid: 12 の短いレッスンで学ぶシグナルフロー グラフ
• Wikibooks の制御システム/信号フロー図
• ウィキメディア・コモンズのシグナルフローグラフに関連するメディア