再生理論

再生理論は、任意の保持時間に対してポアソン過程を一般化した確率論の一分野です。指数分布に従う保持時間の代わりに、再生過程は有限の期待値を持つ任意の独立同分布（IID）の保持時間を持つことができます。さらに、再生報酬過程では、各保持時間で発生する報酬のランダムな系列があり、これはIIDですが、保持時間と独立である必要はありません。

再生過程は、大数の強法則や中心極限定理に類似した漸近的性質を持つ。再生関数${\displaystyle m(t)}$（到着予定人数）と報酬関数${\displaystyle g(t)}$（期待報酬値）は再生理論において極めて重要である。再生関数は再帰積分方程式、再生方程式を満たす。重要な再生方程式は、畳み込みの極限値を与える。${\displaystyle m'(t)}$適切な非負関数を用いる。再生過程の重ね合わせは、マルコフ再生過程の特殊な場合として研究することができる。

応用例としては、工場で老朽化した機械を交換するための最適な戦略を計算すること、さまざまな保険契約の長期的なメリットを比較すること、感染症の伝播をモデル化することなどが挙げられます。感染症の伝播をモデル化する際には、「再生数の推論に最も広く採用されている方法の1つは、再生方程式によるものである」とされています。^{[ 1 ]}検査のパラドックスは、時刻tで再生間隔を観測すると、平均再生間隔よりも平均値が大きい間隔が得られるという事実に関連しています。

させて${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$を満たすIID確率変数 (報酬)のシーケンス

${\displaystyle \operatorname {E} |W_{i}|<\infty .\,}$

次にランダム変数

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{i=1}^{X_{t}}W_{i}}$

これは更新報酬プロセスと呼ばれます。${\displaystyle S_{i}}$、 それぞれ${\displaystyle W_{i}}$正の値だけでなく負の値も取る可能性があります。

確率変数${\displaystyle Y_{t}}$2つのシーケンスに依存します: 保持時間${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$そして報酬 ${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$これら2つのシーケンスは独立している必要はありません。特に、${\displaystyle W_{i}}$関数である可能性がある${\displaystyle S_{i}}$。

再生関数は、ある時点までに観測されたジャンプの数の期待値として定義される。${\displaystyle t}$:

${\displaystyle m(t)=\operatorname {E} [X_{t}].\,}$

X を再生関数を持つ再生過程とする${\displaystyle m(t)}$更新間隔平均${\displaystyle \mu }$。 させて${\displaystyle g:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$次の条件を満たす関数とする。

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)\,dt<\infty }$
• gは単調かつ非増加関数である

重要な再生定理は、${\displaystyle t\rightarrow \infty }$: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{t}g(t-x)m'(x)\,dx\rightarrow {\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }g(x)\,dx}$

再生過程と再生報酬過程は、同じ定理から導き出せる大数の強法則に類似した性質を持つ。${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$更新プロセスであり、${\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}$つまり、更新報酬プロセスということになる。

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}X_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}}$^{[ 7 ]}

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}\operatorname {E} [W_{1}]}$

ほぼ間違いなく。

再生過程には、中心極限定理に類似した性質も備わっている。^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {X_{t}-t/\mu }{\sqrt {t\sigma ^{2}/\mu ^{3}}}}\to {\mathcal {N}}(0,1)}$

再生過程の興味深い特徴は、あらかじめ決められた時間tを待ってから、 tを含む再生区間の大きさを観察すると、通常は平均的な大きさの再生区間よりも大きくなることが予想される点である。

数学的に言えば、検査のパラドックスは、任意の t > 0 に対して、t を含む再生区間は最初の再生区間よりも確率的に大きい、と述べている。つまり、すべてのx > 0 およびすべてのt > 0 に対して、次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)\geq \operatorname {P} (S_{1}>x)=1-F_{S}(x)}$

ここでF _Sは IID の保持時間S _iの累積分布関数です。バスの待ち時間のパラドックスは分かりやすい例です。バスの到着のランダムな分布が与えられた場合、バス停の平均的な乗客は、バスの平均的な運転手よりも多くの遅延を目撃します。

このパラドックスの解決策は、時刻tにおける標本分布がサイズバイアス（標本バイアスを参照）を持つ、つまり、ある区間が選択される確率がそのサイズに比例するという点にある。しかし、平均サイズの再生区間はサイズバイアスを持たない。

再生過程がポアソン過程でない限り、2 つの独立した再生過程の重ね合わせ (和) は再生過程ではありません。^{[ 8 ]}ただし、このような過程は、マルコフ再生過程と呼ばれるより大きなクラスの過程内で記述できます。^{[ 9 ]}ただし、重ね合わせ過程における最初のイベント間隔時間の累積分布関数は次のように与えられます。 ^{[ 10 ]}

${\displaystyle R(t)=1-\sum _{k=1}^{K}{\frac {\alpha _{k}}{\sum _{l=1}^{K}\alpha _{l}}}(1-R_{k}(t))\prod _{j=1,j\neq k}^{K}\alpha _{j}\int _{t}^{\infty }(1-R_{j}(u))\,{\text{d}}u}$

ここで、R _k ( t ) とα _k  > 0 は、プロセスk のイベント間隔時間と到着率の CDF です。^{[ 11 ]}

起業家のエリックはn台の機械を所有しており、各機械の稼働寿命は0年から2年の間で均等に分布している。エリックは各機械が故障するまで稼働させ続けることができ、その場合の交換費用は2600ユーロである。あるいは、機械がまだ稼働しているうちにいつでも交換することができ、その場合の費用は200ユーロである。

彼の最適な代替政策とは何か？

• コックス、デイヴィッド（1970）。『再生理論』ロンドン：メシュエン社、 142ページ。ISBN 0-412-20570-X。
• Doob, JL (1948). 「確率論の観点から見た再生理論」(PDF) .アメリカ数学会紀要. 63 (3): 422– 438. doi : 10.2307/1990567 . JSTOR 1990567 . 
• フェラー、ウィリアム（1971）。確率論とその応用入門。第 2巻（第2 版）。ワイリー。
• Grimmett, GR ; Stirzaker, DR (1992).確率とランダム過程（第2 版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-857222-0。
• Smith, Walter L. (1958). "再生理論とその影響". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 20 ( 2): 243–302 . doi : 10.1111/j.2517-6161.1958.tb00294.x . JSTOR 2983891 . 
• Wanli Wang、Johannes HP Schulz、Weihua Deng、Eli Barkai (2018)。「裾の重い分布の滞在時間を持つ再生理論：典型的と稀なケース」。Phys . Rev. E . 98 (4 ) 042139。arXiv : 1809.05856。Bibcode : 2018PhRvE..98d2139W。doi : 10.1103/ PhysRevE.98.042139 。S2CID 54727926。 {{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)