ハンバーガーモーメント問題

数学において、ハンス・ルートヴィヒ・ハンブルガーにちなんで名付けられたハンブルガー モーメント問題は、次のように定式化される。数列（m 0 、m 1 、m 2 、...）が与えられたとき、 実数直線上_に正の_ボレル測度μ _（例えば、確率変数の累積分布関数によって決定される測度）が存在し、

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x){\text{ ?}}}$

言い換えれば、問題に対する肯定的な答えは、( m ₀、m ₁、m ₂ 、...) が何らかの正のボレル測度 μのモーメントのシーケンスであることを意味します。

スティルチェス モーメント問題、ボロビエフ モーメント問題、ハウスドルフ モーメント問題は似ていますが、実数直線を(スティルチェスとボロビエフ。ただし、ボロビエフは行列理論の観点から問題を定式化します)、または有界区間(ハウスドルフ) に置き換えます。 ${\displaystyle [0,+\infty )}$

ハンバーガーモーメント問題が解ける（つまり、（m _n ）はモーメントの列である）のは、非負整数上の対応するハンケル核が

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)}$

は正定値である、すなわち、

${\displaystyle \sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}\geq 0}$

有限である複素数の任意のシーケンス ( c _j ) _{j ≥ 0に対して (つまり、} j の値が有限個である場合を除いて c _j = 0 )。

主張の「もしあれば」の部分については、単に次の点に留意してください。

${\displaystyle \sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left |\sum _{j\geq 0}c_{j}x^{j}\right|^{2}\,d\mu (x)}$

が非負であれば、これは非負です。 ${\displaystyle \mu}$

逆の議論を概説する。Z ^{+ を}非負整数とし、F ₀ ( Z ⁺ ) を有限台を持つ複素数値列の族とする。正のハンケル核Aは有限台を持つ複素数値列の族に（おそらく退化した）セクリニア積を誘導する。これはヒルベルト空間を与える。

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$

その代表的な要素は[ f ]で表される同値類である。

e _{n を}F ₀ ( Z ⁺ )の要素とし、e _n ( m ) = δ _nmで定義されるものとする。

${\displaystyle \langle [e_{n+1}],[e_{m}]\rangle =A_{m,n+1}=m_{m+n+1}=\langle [e_{n}], [e_{m+1}]\rangle .}$

したがって、T [ e _n ] = [ e _{n  + 1} ]のときのシフト演算子 T は対称です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

一方、望ましい表現

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$

は、 μ が自己随伴演算子のスペクトル測度であることを示唆しています。（より正確に言えば、μ は、以下に定義される演算子とベクトル [1] のスペクトル測度です（Reed & Simon 1975、p. 145）。対称演算子Tがxによる乗算で あるような「関数モデル」を見つけることができれば、 Tの自己随伴拡張のスペクトル分解によって主張が証明されます。 ${\displaystyle {\overline {T}}}$

関数モデルは、 F ₀ ( Z ^{+ ) から}多項式族への自然同型写像によって、1つの実変数と複素係数で与えられます。n  ≥ 0 の場合、e _{n を}x ⁿと同一視します。このモデルでは、演算子T はxの乗算と密に定義された対称演算子です。Tには常に自己随伴拡張があることが示されます。そのうちの1つを とし、そのスペクトル測度をμとします。したがって、 ${\displaystyle {\overline {T}}}$

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\int x^{n}d\mu (x).}$

一方で、

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_ {n}。}$

スティルチェス積分のみを用いた存在の別の証明については、^[1]の特に定理3.2も参照。

解は凸集合を形成するため、問題には無限の数の解が存在するか、または唯一の解が存在するかのいずれかになります。

( n  + 1) × ( n  + 1)ハンケル行列を考える

${\displaystyle \Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right].}$

Aが正であるということは、各nに対してdet(Δ _n ) ≥ 0 であることを意味する。もし det(Δ _n ) = 0 ならば、ある nに対して、

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$

は有限次元であり、T は自己随伴です。したがって、この場合、ハンバーガーモーメント問題の解は一意であり、Tのスペクトル測度であるμ は有限の台を持ちます。

より一般的には、定数CとDが存在し、すべてのnに対して、| m _n | ≤ CD ⁿ n !が成立する場合、解は一意です(Reed & Simon 1975、p. 205)。これは、より一般的なCarleman の条件に従います。

解が一意ではない例もある。例えば^{[2]を参照。}

ハンバーガーモーメントの問題は、実数直線上の直交多項式と密接に関係していることがわかります。グラム・シュミット法は、演算子が三角ヤコビ行列表現を持つ直交多項式の基底を与えます。これは、今度は正のハンケル核の 三角対角モデルにつながります。${\displaystyle {\overline {T}}}$

Tのケイリー変換の明示的な計算は、左半平面上の解析関数のネヴァンリンナクラスと呼ばれるものとの関連を示します。非可換設定に移ると、これは部分等長変換の拡張をパラメータ化するクラインの公式の根拠となります。

累積分布関数と確率密度関数は、モーメント生成関数に 逆ラプラス変換を適用することで見つけられることが多い。

${\displaystyle m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}},}$

この関数は収束することを条件とする。

• カールマン病
• ハンバーガー

• 千原, TS (1978)、「直交多項式入門」、ゴードン・アンド・ブリーチ、サイエンス出版社、ISBN 0-677-04150-0
• リード、マイケル、サイモン、バリー（1975）、フーリエ解析、自己随伴性、現代数理物理学の方法、第2巻、アカデミックプレス、pp. 145、205、ISBN 0-12-585002-6
• ショハット、JA; タマルキン、JD (1943)、モーメントの問題、ニューヨーク：アメリカ数学協会、ISBN 0-8218-1501-6。