初期値定理

数学的解析において、初期値定理は、時間がゼロに近づくにつれて周波数領域の表現と時間領域の挙動を関連付けるために使用される定理です。^[1]

させて

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$

ƒ ( t )の（片側）ラプラス変換とする。 が（または）で有界であり、存在する場合、初期値定理は^{[2]で示す。}${\displaystyle f}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle f(t)=O(e^{ct})}$${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)}$

${\displaystyle \lim _{t\,\to \,0}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

まず、 が有界であると仮定する。すなわち、積分における変数変換は 、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\alpha }$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$

${\displaystyle sF(s)=\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}\,dt}$。

は有界なので、優勢収束定理は以下を意味する。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\int _{0}^{\infty }\alpha e^{-t}\,dt=\alpha .}$

もちろん、ここでは DCT は実際には必要ありません。初等微積分のみを使用して非常に簡単な証明を行うことができます。

まず となるように を選択し、次に に対して一様となることに注意してください。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \int _{A}^{\infty }e^{-t}\,dt<\epsilon }$${\displaystyle \lim _{s\to \infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)=\alpha }$ ${\displaystyle t\in (0,A]}$

を仮定した定理は、有界 の定理から導かれます。 ${\displaystyle f(t)=O(e^{ct})}$${\displaystyle f}$

を定義します。すると は有界なので、 であることが示されました。しかしおよびなので、 ${\displaystyle g(t)=e^{-ct}f(t)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(0^{+})=\lim _{s\to \infty }sG(s)}$${\displaystyle f(0^{+})=g(0^{+})}$${\displaystyle G(s)=F(s+c)}$

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\to \infty }(sc)F(s)=\lim _{s\to \infty }sF(s+c)=\lim _{s\to \infty }sG(s),}$

以来。 ${\displaystyle \lim _{s\to \infty }F(s)=0}$

• 最終値定理