サンプリング（信号処理）

信号処理において、サンプリングとは連続時間信号を離散時間信号に縮小することです。一般的な例としては、音波を一連の「サンプル」に変換することが挙げられます。サンプルとは、時間や空間のある時点での信号の値です。この定義は、このような値の集合を指す統計学における用語の用法とは異なります。 ^[A]

サンプラーは、連続信号からサンプルを抽出するサブシステムまたは操作です。理論上理想的なサンプラーは、目的のポイントで連続信号の瞬間値に相当するサンプルを生成します。

サンプルのシーケンスを再構成フィルタに通すことによって、ナイキスト限界までのサンプルのシーケンスから元の信号を再構成できます。

空間、時間、またはその他の次元の関数をサンプリングすることができ、同様に 2 次元以上でも可能です。

時間とともに変化する関数の場合、をサンプリングする連続関数（または「信号」）とし、サンプリングは連続関数の値を毎秒測定することによって実行されます。これをサンプリング間隔またはサンプリング期間と呼びます。^{[1] [2]}すると、サンプリングされた関数は次のシーケンスで与えられます。 ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle s(nT)}$の整数値の場合。${\displaystyle n}$

サンプリング周波数またはサンプリングレートは、1 秒間に取得されるサンプルの平均数です。単位はサンプル/秒で、ヘルツと呼ばれることもあります。たとえば、48 kHz は 48,000サンプル/秒です。 ${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s}=1/T}$

サンプルから連続関数を再構築するには、補間アルゴリズムを使用します。ウィテカー・シャノン補間式は、サンプル値で変調（乗算）された一連のディラックデルタ関数を入力とする理想的なローパスフィルタと数学的に同等です。隣接するサンプル間の時間間隔が定数 の場合、デルタ関数のシーケンスはディラックコームと呼ばれます。数学的には、変調されたディラックコームは、コーム関数と の積に相当します。この数学的抽象化は、インパルスサンプリングと呼ばれることもあります。^[3]${\displaystyle (T)}$${\displaystyle s(t)}$

サンプリングされた信号のほとんどは、単純に保存され、再構築されるわけではありません。理論的な再構築の忠実度は、サンプリングの有効性を測る一般的な指標です。忠実度は、にサイクル長（周期）が 2 サンプル間隔未満の周波数成分が含まれている場合に低下します（エイリアシングを参照）。対応する周波数制限は、1 秒あたりのサイクル数（ヘルツ）で、サイクル/サンプル ×サンプル/秒 = で、サンプラーのナイキスト周波数と呼ばれます。したがって、は通常、ローパス フィルターの出力であり、機能的にはアンチエイリアシングフィルターと呼ばれます。アンチエイリアシング フィルターがないと、ナイキスト周波数よりも高い周波数がサンプルに影響を与え、補間プロセスによって誤って解釈されることになります。^[4]${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle 0.5}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s}/2}$${\displaystyle s(t)}$

実際には、連続信号は、さまざまな物理的制限のあるデバイスであるアナログ-デジタル コンバータ(ADC) を使用してサンプリングされます。これにより、理論的に完璧な再構成からの偏差が生じ、これを総称して歪みと呼びます。

次のようなさまざまな種類の歪みが発生する可能性があります。

• エイリアシング。ナイキスト周波数を超える周波数成分を持たないのは理論上の無限に長い関数だけなので、ある程度のエイリアシングは避けられません。エイリアシングは、アンチエイリアシング フィルタの十分大きな次数を使用することで、任意に小さくすることができます。
• アパーチャ誤差は、サンプルがサンプリング領域内の時間平均として取得されるという事実から生じ、サンプリングの瞬間の信号値に等しいだけではない。^[5]コンデンサベースのサンプルアンドホールド回路では、アパーチャ誤差は複数のメカニズムによって導入される。たとえば、コンデンサは入力信号を瞬時に追跡できず、コンデンサを入力信号から瞬時に分離することもできない。
• 正確なサンプルタイミング間隔からのジッターまたは偏差。
• ノイズには、熱センサーノイズ、アナログ回路ノイズなどがあります。
• ADC 入力値が十分に急速に変化できないために発生するスルー レート制限エラー。
• 変換された値を表すワードの精度が有限であることの結果としての量子化。
• 入力電圧を変換された出力値にマッピングする際のその他の非線形効果（量子化の影響に加えて）による誤差。

オーバーサンプリングを使用すると、アパーチャ エラーとエイリアシングを通過帯域外に移動することで完全に排除できますが、この手法は数 GHz を超える周波数では実際には使用できず、はるかに低い周波数では法外に高価になる可能性があります。さらに、オーバーサンプリングは量子化誤差と非線形性を低減できますが、これらを完全に排除することはできません。その結果、オーディオ周波数での実用的な ADC では、エイリアシング、アパーチャ エラーは通常発生せず、量子化誤差によって制限されることもありません。代わりに、アナログ ノイズが支配的になります。オーバーサンプリングが非実用的でフィルターが高価な RF およびマイクロ波周波数では、アパーチャ エラー、量子化誤差、エイリアシングが大きな制限となる可能性があります。

ジッタ、ノイズ、量子化は、サンプル値に追加されたランダム エラーとしてモデル化して分析されることがよくあります。積分とゼロ次ホールド効果は、ローパス フィルタリングの形式として分析できます。ADC または DAC の非線形性は、理想的な線形関数マッピングを提案された非線形関数に置き換えることによって分析されます。

デジタル オーディオでは、音声再生にパルス コード変調(PCM) とデジタル信号を使用します。これには、アナログからデジタルへの変換 (ADC)、デジタルからアナログへの変換 (DAC)、保存、および送信が含まれます。実際、一般にデジタルと呼ばれるシステムは、以前の電気アナログの離散時間、離散レベルのアナログです。現代のシステムはその方法が非常に微妙ですが、デジタル システムの主な有用性は、品質を損なうことなく信号を保存、取得、および送信できることです。

音楽や多くの種類の音響イベントを録音するときなど、人間の聴覚範囲である20～20,000 Hz全体をカバーするオーディオをキャプチャする必要がある場合^{[6] 、オーディオ波形は通常、44.1 kHz（} CD）、48 kHz、88.2 kHz、または96 kHzでサンプリングされます。^[7]約2倍のレート要件は、ナイキスト定理の結果です。約50 kHz～60 kHzより高いサンプリングレートでは、人間のリスナーにとってより有用な情報を提供できません。初期のプロ用オーディオ機器メーカーは、この理由から40～50 kHzの範囲のサンプリングレートを選択しました。

業界では、96kHzや192kHzなど、基本要件をはるかに超えるサンプリングレートに向かう傾向があります^[8]。超音波周波数は人間には聞こえませんが、より高いサンプリングレートで録音およびミキシングを行うと、フォールドバックエイリアシングによって発生する可能性のある歪みを効果的に排除できます。逆に、超音波は周波数スペクトルの可聴部分と相互作用して変調し（相互変調歪み）、忠実度を低下させる可能性があります。 ^{[9]より高いサンプリングレートの利点の1つは、} ADCとDACのローパスフィルタの設計要件を緩和できることですが、最新のオーバーサンプリングデルタシグマコンバータではこの利点はそれほど重要ではありません。

オーディオエンジニアリング協会は、ほとんどのアプリケーションで48 kHzのサンプリングレートを推奨していますが、CDやその他の民生用途では44.1 kHz、伝送関連のアプリケーションでは32 kHz、より高い帯域幅や緩和されたアンチエイリアシングフィルタリングでは96 kHzを認めています。^[10] Lavry EngineeringとJ. Robert Stuartはどちらも、理想的なサンプリングレートは約60 kHzであると述べていますが、これは標準周波数ではないため、録音目的では88.2 kHzまたは96 kHzを推奨しています。^{[11] [12] [13] [14]}

一般的なオーディオ サンプル レートのより完全なリストは次のとおりです。

オーディオは通常、8、16、24ビットの深度で録音され、純粋な正弦波の理論上の最大信号対量子化雑音比（SQNR）は、それぞれ約49.93  dB、98.09 dB、122.17 dBになります。^[22] CD品質のオーディオでは16ビットのサンプルが使用されます。熱雑音により、量子化に使用できる実際のビット数が制限されます。信号対雑音比（SNR）が120 dBを超えるアナログシステムはほとんどありません。ただし、デジタル信号処理操作では非常に高いダイナミックレンジを使用できるため、ミキシングとマスタリング操作を32ビットの精度で実行し、配信用に16ビットまたは24ビットに変換するのが一般的です。

音声信号、つまり人間の音声のみを伝送することを目的とした信号は、通常、はるかに低いレートでサンプリングできます。ほとんどの音素では、エネルギーのほぼすべてが 100 Hz ～ 4 kHz の範囲に含まれるため、8 kHz のサンプリング レートが可能です。これは、 G.711サンプリングおよび量子化仕様を使用するほぼすべての電話システムで使用されるサンプリング レートです。^{[引用が必要]}

標準画質テレビ(SDTV)では、可視画像領域として 720 x 480ピクセル(米国NTSC 525 ライン) または 720 x 576 ピクセル (英国PAL 625 ライン) を使用します。

高精細テレビ(HDTV)では、 720p (プログレッシブ)、1080i (インターレース)、1080p (プログレッシブ、フル HD とも呼ばれる) が使用されます。

デジタル ビデオでは、時間サンプリング レートは、概念的なピクセル クロックではなく、フレーム レート (またはフィールド レート ) として定義されます。画像サンプリング周波数は、センサーの積分期間の繰り返しレートです。積分期間は繰り返し間の時間よりも大幅に短い場合があるため、サンプリング周波数はサンプル時間の逆数と異なる場合があります。

• 50 Hz – PALビデオ
• 60 / 1.001 Hz ~= 59.94 Hz – NTSCビデオ

ビデオデジタル - アナログ コンバーターは、メガヘルツ範囲で動作します (初期のゲーム コンソールの低品質複合ビデオ スケーラーの場合は約 3 MHz から、最高解像度の VGA 出力の場合は 250 MHz 以上)。

アナログ ビデオがデジタル ビデオに変換されるとき、今度はピクセル周波数で、スキャン ラインに沿った空間サンプリング レートに対応する異なるサンプリング プロセスが発生します。一般的なピクセル サンプリング レートは次のとおりです。

• 13.5 MHz – CCIR 601、D1 ビデオ

他方向の空間サンプリングは、ラスター内の走査線の間隔によって決まります。両方の空間方向のサンプリング レートと解像度は、画像の高さあたりのライン単位で測定できます。

高周波の輝度または彩度のビデオ成分の空間エイリアシングは、モアレ パターンとして現れます。

ボリューム レンダリングのプロセスでは、ボクセルの 3D グリッドをサンプリングして、スライスされた (断層) データの 3D レンダリングを作成します。3D グリッドは、3D 空間の連続領域を表すものと想定されます。ボリューム レンダリングは医療用画像処理でよく使用され、X 線コンピューター断層撮影(CT/CAT)、磁気共鳴画像(MRI)、陽電子放出断層撮影(PET) などがその例です。また、地震断層撮影やその他のアプリケーションにも使用されます。

バンドパス信号がナイキスト周波数よりも遅くサンプリングされると、サンプルは高周波信号の低周波エイリアスのサンプルと区別がつかなくなります。これは多くの場合、最低周波エイリアスがナイキスト基準を満たすように意図的に行われます。なぜなら、バンドパス信号は依然として一意に表現され、回復可能であるためです。このようなアンダーサンプリングは、バンドパスサンプリング、高調波サンプリング、IFサンプリング、および直接IFからデジタルへの変換としても知られています。 ^[23]

オーバーサンプリングは、ウィテカー・シャノン補間式のような理想化の代わりに、ゼロ次ホールドなどの実際のデジタル-アナログ変換器によってもたらされる歪みを減らすために、ほとんどの現代のアナログ-デジタル変換器で使用されています。^[24]

複素サンプリング（またはI/Q サンプリング）は、2 つの異なるが関連のある波形を同時にサンプリングすることで、その後複素数として扱われるサンプルのペアを生成します。^[C]一方の波形 がもう一方の波形 のヒルベルト変換である場合、複素数値関数 は解析信号と呼ばれ、そのフーリエ変換は周波数のすべての負の値に対してゼロになります。その場合、周波数 ≥ Bのない波形の ナイキスト レートは、(実数サンプル/秒) ではなく、B (複素サンプル/秒)にまで削減できます。^[D]より明らかなのは、同等のベースバンド波形のナイキスト レートも になります。これは、その非ゼロ周波数コンテンツがすべて間隔 にシフトされるためです。 ${\displaystyle {\hat {s}}(t)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s_{a}(t)\triangleq s(t)+i\cdot {\hat {s}}(t)}$${\displaystyle 2B}$${\displaystyle s_{a}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {B}{2}}t}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [-B/2,B/2]}$

複素数値サンプルは上記のように取得できますが、実数値波形のサンプルを操作することによっても作成できます。たとえば、積シーケンス、^[E]をカットオフ周波数が であるデジタルローパスフィルタで処理することによって、 を明示的に計算せずに同等のベースバンド波形を作成できます。^[F]出力シーケンスのサンプルを 1 つおきに計算するだけで、ナイキスト周波数の低減に応じてサンプルレートが低下します。結果として、複素数値サンプルの数は元の実数サンプル数の半分になります。情報は失われず、必要に応じて元の波形を復元できます。 ${\displaystyle {\hat {s}}(t)}$${\displaystyle \left[s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {B}{2}}Tn}\right]}$${\displaystyle B/2}$${\displaystyle s(t)}$

• 水晶発振器の周波数
• ダウンサンプリング
• アップサンプリング
• 多次元サンプリング
• 同相および直交成分とI/Qデータ
• サンプルレート変換
• デジタル化
• サンプルアンドホールド
• ベータエンコーダ
• ケル係数
• ビットレート
• 正規化された周波数

• Matt Pharr、Wenzel Jakob、Greg Humphreys、『Physically Based Rendering: From Theory to Implementation』、第 3 版、Morgan Kaufmann、2016 年 11 月。ISBN 978-0128006450 。サンプリングに関する章 (オンラインで入手可能)は、図、コア理論、コード サンプルを使用してわかりやすく書かれています。 

• サンプリング理論に特化したジャーナル
• I/Q Data for Dummies – 「なぜ I/Q データなのか?」という疑問に答えるページです。
• アナログ信号のサンプリング - シュトゥットガルト大学電気通信研究所のウェブデモでのインタラクティブなプレゼンテーション