継続返済型住宅ローン

継続的複利に類似して、継続年金^[1]は、支払い間隔が無期限に狭められる通常の年金です。（理論上の）継続返済住宅ローンは、継続年金によって支払われる住宅ローンです。

住宅ローン（つまり、住宅ローン）は、一般的に年金と呼ばれる一連の固定定期支払いによって、数年にわたって返済されるのが一般的です。各支払いには、預金時から住宅ローンの期間の終了時まで複利が蓄積されます。その時点で、支払いの合計と累積利息は、期間全体にわたって複利計算されたローンの価値と等しくなります。ローンP ₀、期間ごとの金利 i、期間数n 、および期間ごとの固定支払いxを考えると、期間終了時の均衡方程式は次のようになります。

${\displaystyle P_{0}(1+i)^{n}=\sum _{k=1}^{n}x(1+i)^{nk}={\frac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}}$

和は等比数列の和の標準公式を使用して計算できます。

(理論上の) 継続返済型住宅ローンでは、支払い間隔は、離散間隔プロセスが連続的になるまで無期限に狭められ、固定間隔支払いは、事実上、固定年率の文字通りのキャッシュ「フロー」になります。この場合、ローンP ₀、年利率r、ローン期間T (年)、年利率M _aが与えられ、微小キャッシュフロー要素M _a δt は、時刻 t からローン期間の終了時まで連続的に複利で蓄積され、その時点でのバランス方程式は次のようになります。

${\displaystyle P_{0}e^{rT}=\int \limits _{0}^{T}M_{a}e^{r(Tt)}\,dt={\frac {M_{a}(e^{rT}-1)}{r}}.}$

キャッシュフロー要素と累積利息の合計は、図に示すように積分によって計算されます。複利計算の間隔と支払い間隔は等しいと仮定します。つまり、利息の複利計算は常に支払いが差し引かれるのと同時に発生します。^[2]

ローンの期間中、時間連続住宅ローン残高関数は一次線形微分方程式（LDE）^{[3]に従い、}ラプラス変換法を使用してLDEを解くことによってその別の導出を得ることができます。

この方程式を適用すると、それが示す金融プロセスに関連するいくつかの結果が得られます。この記事は主に住宅ローンに焦点を当てていますが、ここで採用されている方法は、支払いまたは貯蓄が固定間隔の支払い (年金) の定期的な流れによって行われるあらゆる状況に関連します。

月利i % で投資されたn 回の固定月額支払い額xの現在価値の古典的な式は次のとおりです。

${\displaystyle P_{v}(n)={\frac {x(1-(1+i)^{-n})}{i}}}$

この式を変形すると、月利 i % でnか月間借り入れた金額P ₀のローンの月々の支払額x を次のように求めることができます。

${\displaystyle x={\frac {P_{0}\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}}}$

まず、式を少し調整します。i を r / N に置き換えます。ここで、rは年利、 Nは複利計算の年間頻度 (月払いの場合はN = 12) です。また、 n をNTに置き換えます。ここで、T は年数で表した総ローン期間です。この式のより一般的な形式では、頻度Nに対応する固定支払いとしてx ( N ) を計算します。たとえば、N  = 365 の場合、x は毎日の固定支払いに相当します。N が増加すると、 x ( N )は減少しますが、積N · x ( N ) は次に示すように限界値に近づきます。

${\displaystyle x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{N(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT})}}}$

${\displaystyle N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}}$

N · x ( N ) は単に年間に支払われる金額、つまり実質的には年間返済率M _{a で}あることに注意してください。

次のことはよく知られています。

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {r}{N}}\right)^{Nt}=e^{rt}}$ ^{[4] [5]}

同じ原則を年間返済額の計算式に適用すると、制限値を決定できます。

${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}.}$ ^[6]

この時点で、現在価値の正統的な公式は、年次複利頻度Nと時間 tの関数としてより適切に表されます。

${\displaystyle P_{v}(N,t)={\frac {N\cdot x(N)(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-Nt})}{r}}}$

上で展開した制限式を適用すると、現在価値を純粋に時間に依存する関数として記述することができます。

${\displaystyle P_{v}(t)=\lim _{N\to \infty }P_{v}(N,t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})}$^[7]

ローンの開始からt年後の未払い残高P ( t )は、残りの期間（つまりT  -  t）の拠出金の現在価値にすぎないことに注目して、次のように決定します。

${\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(Tt)})={\frac {P_{0}(1-e^{- r(Tt)})}{1-e^{-rT}}}}$ ^[8]

図のグラフは、まず上記の時間連続モデルに従って計算し、次に Excel PV 関数を使用して計算した住宅ローン (100 万、20 年、r = 10%) の未払い残高の比較です。ご覧のとおり、曲線は事実上区別がつきません。モデルを使用して行った計算と Excel PV 関数を使用して行った計算の差は、わずか 0.3% (最大) です。グラフの元になったデータは、こちらでご覧いただけます。

「逆時間」変数z = T  −  tを定義します( t  = 0、z  =  Tおよびt  =  T、z  = 0)。次に、次の式を実行します。

${\displaystyle P(z)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rz})。}$

これは、「逆時間」微分方程式の解として認識されるかもしれません。

${\displaystyle {\frac {M_{a}}{r}}={\frac {1}{r}}{\frac {dP(z)}{dz}}+P(z).}$

電気/電子技術者や物理学者なら、この種の方程式はよくご存知でしょう。これは、たとえば RC 回路内のコンデンサの充電を制御する微分方程式の正確な類似物です。

${\displaystyle V_{0}=RC{\frac {dV(t)}{dt}}+V(t).}$

このような方程式の主な特徴は、 RC 回路で詳しく説明されています。住宅ローンを組んでいる住宅所有者にとって、覚えておくべき重要なパラメータは、方程式の時間定数です。これは、単に年利率 rの逆数です。したがって、（たとえば）金利が 10% の場合の時間定数は 10 年であり、住宅ローンの期間は、返済可能な範囲内で、目的がローンの支払利息を最小限に抑えることである場合、この最小倍数として決定する必要があります。

住宅ローンの従来の差分方程式は、比較的簡単に導出できます。つまり、各期間の未払い残高は、前の残高に期間ごとの利息を加算し、期間ごとの固定支払額を差し引いたものになります。

年利rと、年間支払い能力M _N （ Δ t  = 1/ N年の間隔で行われるN回の均等な支払いに分割）を持つ借り手を考えると、次の ように書くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{t+\Delta t}&=P_{t}+(rP_{t}-M_{N})\Delta t\\[12pt]{\dfrac {P_{t+\Delta t}-P_{t}}{\Delta t}}&=rP_{t}-M_{N}\end{aligned}}}$

N を無限に増加させて Δ t → 0 とすると 、連続時間微分方程式が得られます。

${\displaystyle {\operatorname {d} P(t) \over \operatorname {d} t}=rP(t)-M_{a}}$ ^{[9] [10]}

住宅ローンの残高が継続的に減少するには、次の不等式が成立する必要があることに注意してください。

${\displaystyle P_{0}\leqslant {\frac {M_{a}}{r}}}$^[11]

P _0はP (0)と同じです。つまり、 t = 0の時点での元の融資額または融資残高です  。

まず、差分方程式を再帰形式で書き直します。

${\displaystyle P_{t+\Delta t}=P_{t}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\;}$

P _{n という}表記を使用してn期間後の住宅ローン残高を示し、再帰関係を反復的に適用してP ₁とP _{2 を}決定することができます。

${\displaystyle P_{1}=P_{0}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\;}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=[P_{0}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t](1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{2}-M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\end{aligned}}}$

M _{N を}含む項は、公比 1 + r Δ  tを持つ等比級数を形成すること がすでにわかっています。これにより、 P _nの一般的な式を書くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=P_{0}(1+r\Delta t)^{n}-\sum _{k=1}^{n}M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)^{n-k}\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{n}-{\dfrac {M_{N}\Delta t[(1+r\Delta t)^{n}-1]}{r\Delta t}}\end{aligned}}}$

最後に、r  Δ  t  =  iが期間ごとの利子率と期間ごとの支払額であることに注目すると、この式は従来の形式で次のように表すことができます。 ${\displaystyle M_{N}\Delta t=x}$

${\displaystyle P_{n}=P_{0}(1+i)^{n}-{\dfrac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}}$

ローンの期間がm期間の場合、P _m  = 0となり、標準的な現在価値の式が得られます。

${\displaystyle P_{0}={\dfrac {x[1-(1+i)^{-m}]}{i}}}$

${\displaystyle {\operatorname {d} P(t) \over \operatorname {d} t}=rP(t)-M_{a}}$

この方程式を解く一つの方法は、ラプラス変換 P ( s )を得ることである。

${\displaystyle P(s)={\frac {M_{a}}{s(r-s)}}={\frac {M_{a}}{r}}\times {\frac {(-r)}{s(s-r)}}.}$

ラプラス変換とそれに相当する時間領域の表を使用して、 P ( t ) を決定できます。

${\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{rt}).}$

このソリューションを住宅ローン関数の特定の開始点と終了点に適合させるには、ローン期間の終了時に関数がゼロになることを保証するために、 T年 ( T = ローン期間) の時間シフトを導入する必要があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{r(t-T)})\\[8pt]&P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})\Rightarrow {\frac {M_{a}}{r}}={\frac {P_{0}}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\Rightarrow &P(t)={\frac {P_{0}(1-e^{-r(T-t)})}{1-e^{-rT}}}\end{aligned}}}$

元の解と「時間シフト」バージョンの両方が、両方が導出された元の微分方程式を満たしていることに注意してください。

差分方程式のP _nに対して上で導出された式と同様に、 P ( t )の式は次のように代数的に同等な形式で表すことができます。

${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)}$

元の微分方程式を整理すると次のようになります。

${\displaystyle M_{a}=rP(t)-{\frac {dP(t)}{dt}}}$

方程式の両辺を積分すると次のようになります。

${\displaystyle M_{a}.t=\int _{0}^{t}rP(t)\,dt\,-\int _{0}^{t}{\frac {dP(t)}{dt}}\,dt\,}$

右辺の最初の積分は、開始時から t 時点までの累積利息支払いを決定し、2 番目の積分は同じ期間の累積元本支払いを決定します。これらの利息支払いと元本支払いの合計は、t時点の累積固定支払い、つまりM _a tと等しくなければなりません。右辺の最初の積分を評価すると、支払われる利息 I ( t )の式が得られます。

${\displaystyle I(t)=M_{a}t-{\frac {M_{a}(e^{rt}-1)}{re^{rT}}}}$

当然のことながら、2番目の積分はP ₀  −  P ( t )となり、次のようになります。

${\displaystyle I(t)=M_{a}t-P_{0}+P(t)\,}$

読者は、この表現が代数的に上記の表現と同一であることを簡単に確認できます。

ローンのコストは、単純に年利率とローン期間を掛け合わせたものです。

${\displaystyle C=M_{a}T={\frac {P_{0}rT}{1-e^{-rT}}}}$

s  =  rTとします。すると、ローンコスト係数C ( s )をC = P ₀ C ( s ) と定義できます。つまり、C ( s ) は貸し出される通貨の単位あたりのコストです。

${\displaystyle C(s)={\frac {rT}{1-e^{-rT}}}={\frac {s}{1-e^{-s}}}}$

関数C ( s ) は、 s がゼロに近いときに極限値が 1 になることが特徴です。これは、 sの値が小さい場合、 exp(− s ) ≈ 1 −  sとなり、分母が sに簡略化されるためです。また、 sが非常に大きい場合、 exp(− s ) は小さいため、C ( s ) ≈  sとなり、ローンコストC  ≈  P ₀ rT ( rT  >> 0) となります。

例として、1000000 円を 20 年間で 10% 返済するローンを考えてみましょう。この場合、s  = 0.1 × 20 = 2 となります。

${\displaystyle C=1000000\times {\frac {2}{1-e^{-2}}}\approx 2.313\times 10^{6}}$

_{積rTは簡単に得られますが、式C=P 0} xC(s)に従ってローンコストを決定する上で重要なパラメータです。これは、領域[0;5]のs値に対するコスト係数関数をプロットすることで最もよく示されます。sの値が大きい場合の関数の線形動作は明らかです。

t 年の固定期間ローンの場合、上記のローンコスト係数を同等の単利コスト係数1+s _eと比較することができます。ここで、s _e =r _e tであり、r _eは同等の単利率です。

${\displaystyle {\frac {s}{1-e^{-s}}}=1+s_{e}}$

s に関してs _{e を}決定するのは簡単です。ローン期間 t で割ると、同等の単利率が得られます。より難しいのは、 s _eが与えられた場合に s を逆に決定することです。

BDハーン博士は著書「True Basicによる問題解決」^[12]の中で、利息が事前に一括して計算され、元金に加算され、返済期間にわたって均等に分割される特定の「分割払い」スキームについて短いセクションを設けています。しかし、購入者は、利息が減少残高に基づいて計算されているという印象をしばしば持っています。

上記の例は、ハーン博士の著書に掲載されている例を改変したものです。ハーン博士は、ニュートン・ラプソン法を使用して、同じ期間 (3 年間) にわたる離散間隔 (つまり月単位) 返済ローンの同じ問題を解いています。多くの類似例と同様に、離散間隔の問題とその解決法は、連続返済モデルに基づく計算によってほぼ近似されます。ハーン博士の金利の解は、上で計算した 41.6% に対して 40.8% です。

借り手が年間返済率M _{a を}支払う余裕がある場合、 M _aを計算する式を変形して、特定のローンP ₀の期間Tの式を得ることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{a}={\frac {P_{0}r}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\Rightarrow &T={\frac {1}{r}}\ln {\frac {M_{a}}{M_{a}-P_{0}r}}=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)\end{aligned}}}$

ローンの最低支払率は、最低可能支払率と実際の支払率の比率です。最低可能支払率は、ローンの利息をまかなうだけの率です。ローンの元金が減ることはないので、借り手は理論上この金額を永久に支払うことになります。最低支払率を表すために 文字k を使用します。

${\displaystyle k={\frac {M_{\min }}{M_{a}}}={\frac {P_{0}r}{M_{a}}}}$

ここで、ローン期間Tの式を少し変形して考えてみましょう 。

${\displaystyle T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)}$

${\displaystyle rT=s(k)=-\ln(1-k)\;}$

s ( k ) をkに対してプロットすると、k値をk  = 1の漸近線より十分に下に保つことがなぜ良い考えなのかが非常にわかりやすく示されます。なぜなら、その付近ではs ( k ) が急激に増加し、したがって、パラメータs ( rT積)の増加関数であるローン コストも増加するからです。

住宅ローン モデルの便利なパラメータは、ローンの「半減期」です。これは、ローンの残高が元の価値の半分に達するまでの時間です。「半減期」を決定するには、次のように記述します。

${\displaystyle {\frac {P(t)}{P_{0}}}={\frac {1}{2}}={\frac {1-e^{-r(T-t)}}{1-e^{-rT}}}}$

tについて解くと次のようになります。

${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)}$ ^[13]

たとえば、この式をテスト データ (100 万のローンを 20 年間 10% で借りる) に適用すると、半減期は 14.34 年になります。実際にローンを月々の分割払いで返済する場合は、小数点以下の部分を月数に変換して四捨五入すると、この答えは 172 か月になります。

離散時間間隔モデルでは、残りのパラメータを前提とした住宅ローン金利の計算は、分析手法では不可能でした。Excel の「レート」関数などの実装では、数値的な「試行と改善」手法を使用して金利を決定します。一見すると、これは継続返済モデルにも当てはまるように見えます。次のようになります。

${\displaystyle P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})}$

次のように書くこともできる。

${\displaystyle rP_{0}=M_{a}(1-e^{-rT})\,}$

${\displaystyle \Rightarrow rP_{0}-M_{a}+M_{a}e^{-rT}=0}$

上記をrの関数として視覚化するには(ゼロを決定したい)、P ₀、M _a、Tの数値をそれぞれ 10000、6000、3 として選択し、右に示すようにプロットすると便利です。関数には、微分によって決定できる最小値があります。

${\displaystyle f'(r)=0\,}$

${\displaystyle \Rightarrow P_{0}-M_{a}Te^{-rT}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow r={\frac {1}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}$

この関数はr = 0の根 と求める値の間でほぼ放物線を描くため、必要な根は次のように推定できます。

${\displaystyle r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}$

これを出発点として、ニュートン・ラプソン法を繰り返し実行することで、より正確な根の値を決定することができる。^[14]

${\displaystyle r_{1}=r_{0}-{\frac {f(r_{0})}{f'(r_{0})}}.\,\!}$

Wolfram Alpha でのいくつかの実験により、 Lambert-Wまたは「積対数」関数を使用した正確な解析解が得られることがわかりました。s = M _a T / P ₀と設定すると、次のようになります。

${\displaystyle r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right)}$

関心領域では、W (− se ^{− s} ) は 2 値関数です。最初の値は − sであり、自明な解r  = 0 が得られます。上記の式のコンテキスト内で評価される 2 番目の値は、必要な金利を提供します。

次の表は、利率の初期推定値の計算と、それに続くニュートン・ラプソン法の数回の反復を示しています。Wolfram Alpha の Lambert Wまたは「productlog」関数を使用した解析解と照合すると、小数点以下数桁の精度の解に急速に収束することが確認できます。

ニュートン・ラプソン反復法

一連の固定月額支払いの現在価値の標準的な式に対応して、時間連続アナログはすでに確立されています。

${\displaystyle P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt}).}$

同様の方法で、将来価値の式を決定することができます。

${\displaystyle F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).}$ ^[15]

この場合、年利率M _{a は}、指定された（将来の）貯蓄または減債基金目標P _Tから次のように決定されます。

${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{T}\cdot r}{(1+{\frac {r}{N}})^{NT}-1}}={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}.}$ ^[16]

予想通り、次の点に留意してください。

${\displaystyle F_{v}(t)=P_{v}(t)\times e^{rt}.\,}$

継続返済型ローンの未払い残高P ( t ) を計算する別の方法は、支払いストリームの将来価値 ( t時点 ) をローンの将来価値 ( t時点 ) から差し引くことです。

${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).}$ ^[17]

学校の教科書^[18]に掲載されている次の例は、離散的な時間間隔（この場合は月単位）に基づく貯蓄年金と、上記の将来価値の式を用いた継続的な支払いに基づく貯蓄年金の概念的な違いを示しています。

投資家は 30 歳の誕生日に、40 歳の誕生日までに 500,000 ランドを貯めようと決意しました。1 か月後から、年利 12% の利息が毎月複利で支払われる口座に毎月同額を入金することにしました。毎月いくら支払う必要があるでしょうか。

簡潔にするために、Excel PMT 関数を使用して「離散間隔」問題を解決します。

${\displaystyle x(12)=PMT(1\%,120,500000)=2173.55}$

したがって、年間支払われる金額は 26082.57 になります。

理論上の継続支払貯蓄年金の場合、年間支払率のみを計算できます。

${\displaystyle M_{a}={\frac {500000\times 12\%}{e^{0.12\cdot 10}-1}}=25860.77}$

この時点で、単純に 12 で割って月々の支払額を算出したくなるかもしれません。しかし、これは「継続支払」モデルが基づいている主な前提、つまり年間支払率が次のように定義されるという前提に反します。

${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)\,}$

もちろん、投資家が年間に無限回、無限に小額の支払いを行うことは不可能なので、「継続支払い」年金または住宅ローンを提供したい銀行やその他の貸付機関は、実際には、継続時間の式が常に事前に指定された最小の誤差範囲内で正確になるように、 N (年間支払い頻度) の大きいが有限の値を選択する必要があります。たとえば、この例では、時間ごとの固定支払い (従来の式を使用して計算) は、年間支払い 25861.07 に累積され、誤差は 0.02% 未満になります。誤差が許容範囲内であれば、時間ごとの支払い率は、M _{a を}365×24 で割ることで簡単に決定できます。次に、(仮想の) 貸付機関は、(必要な場合に) 顧客口座から時間ごとに控除を行うのに十分な計算リソースがあることを確認する必要があります。つまり、継続支払い年金のキャッシュ「フロー」は、言葉の文字通りの意味で理解する必要があります。

「金融の世​​界では、基金に支払われる金銭は、暦上の特定の時点、通常は等間隔で支払われる。継続的なプロセスでは、ある容器から別の容器に液体を注ぐのと同じように、支払いは継続的に行われ、支払い率が基本的な量となる。」^[19]

次の表は、N (年間複利頻度) が増加するにつれて、年間支払額が年間支払率M _aの制限値に近づく様子を示しています。年間支払額と制限値の差 (誤差) が計算され、制限値のパーセンテージとして表されます。

^{[20] [21]}

上記から、「継続返済」住宅ローンの概念は、ある程度理論的な概念であることがわかります。それが実用的な価値があるかどうかは、経済学者や保険数理士が慎重に検討する必要がある問題です。特に、上記の例で示されているように、年間返済率の意味を明確に理解する必要があります。

しかし、「継続的支払い」モデルは、離散的住宅ローン残高関数の挙動について、特に、それが主に名目年利率 r の逆数に等しい時間定数によって支配されるという点について、有意義な洞察を提供します。また、住宅ローンが固定額で毎日返済される場合、モデルを使用して実行される未払い残高計算は、一般に、1 パーセント未満のわずかな範囲内で正確になります。最後に、モデルは、実際に可能な場合は支払い頻度を増やすことが住宅ローン所有者にとって多少有利であることを示しています。

年間支払率（住宅ローン）：       ${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}}$

年間支払率（償却基金）：       ${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}}$

将来価値:       ${\displaystyle F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)}$

現在の価値:       ${\displaystyle P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})}$

ローン残高:       ${\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(T-t)})}$

貸出期間:              ${\displaystyle T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)}$

ローンの半減期:       ${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)}$

金利：           ${\displaystyle r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}$              ${\displaystyle r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right){\text{ with }}s={\frac {M_{a}t}{P_{0}}}}$

ユニバーサル住宅ローン計算機。4 つの変数のうち 3 つを指定すると、4 番目 (不明) の値が計算されます。

住宅ローンのグラフ。これは、特定のローン期間における住宅ローン残高と時間の特性曲線を示します。ローン金額とローン金利 (年利)も指定できます。離散間隔ローンも非常によく似た特性を持ちます。

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