積分記号公式による微分
微積分学 において 、 ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ にちなんで名付けられた、積分記号の下での微分に対する
ライプニッツ の積分則 は、積分 の形式
に対して 、 被積分関数が この積分の導関数
に依存する 関数 である
場合、積分は と表すことができることを述べています。ここで 偏導関数 は、積分内では、の 変動のみが 導関数を取る際に考慮されることを示しています。 [1]
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
,
{\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}
−
∞
<
a
(
x
)
,
b
(
x
)
<
∞
{\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty }
x
,
{\displaystyle x,}
d
d
x
(
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
⋅
d
d
x
b
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
⋅
d
d
x
a
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)\\&=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}
∂
∂
x
{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
x
{\displaystyle x}
関数 とが 定数であり 、 値が に依存しない特殊なケースでは、 これは次のように単純化されます。
a
(
x
)
{\displaystyle a(x)}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)}
a
(
x
)
=
a
{\displaystyle a(x)=a}
b
(
x
)
=
b
{\displaystyle b(x)=b}
x
,
{\displaystyle x,}
d
d
x
(
∫
a
b
f
(
x
,
t
)
d
t
)
=
∫
a
b
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}
が定数で の 場合 、これはもう 1 つの一般的な状況です (たとえば、 コーシーの反復積分公式 の証明)、ライプニッツの積分則は次のようになります。
a
(
x
)
=
a
{\displaystyle a(x)=a}
b
(
x
)
=
x
{\displaystyle b(x)=x}
d
d
x
(
∫
a
x
f
(
x
,
t
)
d
t
)
=
f
(
x
,
x
)
+
∫
a
x
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}
この重要な結果は、特定の条件下では、積分演算子と偏微分 演算子 を交換するために使用でき、 積分変換 の微分に特に役立ちます。そのような例としては、 確率論 における モーメント生成関数があります。これは ラプラス変換 のバリエーションであり、微分して ランダム変数 の モーメント を生成することができます。ライプニッツの積分規則が適用されるかどうかは、本質的には 極限 の交換に関する問題です 。
定理 — 関数を 、その偏導関数がともに 、およびを含む平面 のある領域で 連続であると する 。 また、関数 とが ともに連続であり、ともにについて連続導関数を持つとする。 すると、について
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
f
x
(
x
,
t
)
{\displaystyle f_{x}(x,t)}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
x
t
{\displaystyle xt}
a
(
x
)
≤
t
≤
b
(
x
)
,
{\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}
x
0
≤
x
≤
x
1
.
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}.}
a
(
x
)
{\displaystyle a(x)}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)}
x
0
≤
x
≤
x
1
.
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}.}
x
0
≤
x
≤
x
1
,
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1},}
d
d
x
(
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
⋅
d
d
x
b
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
⋅
d
d
x
a
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}
右辺は ラグランジュ記法 を使って次のように書くこともできます。
f
(
x
,
b
(
x
)
)
b
′
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
a
′
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
x
(
x
,
t
)
d
t
.
{\textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}
より強力な定理は、偏微分が ほぼどこにでも 存在することだけを要求し、それが連続的であることは要求しない。 [2]この公式はライプニッツの積分則の一般形であり、 微積分学の基本定理 を使って導くことができる 。微積分学の基本定理（第一）は、上記の公式の特殊なケースであり、が 定数であり 、 に依存しない。
a
(
x
)
=
a
∈
R
{\displaystyle a(x)=a\in \mathbb {R} }
b
(
x
)
=
x
,
{\displaystyle b(x)=x,}
f
(
x
,
t
)
=
f
(
t
)
{\displaystyle f(x,t)=f(t)}
x
.
{\displaystyle x.}
上限と下限の両方を定数とすると、式は 演算子 方程式の形をとります。
ここ で、 は に関する 偏微分 で あり 、は 固定 区間 上の に関する積分演算子です。つまり、これは 第 2 導関数 の対称性 と関連していますが、導関数だけでなく積分も関係しています。このケースは、ライプニッツの積分則としても知られています。
I
t
∂
x
=
∂
x
I
t
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}}
∂
x
{\displaystyle \partial _{x}}
x
{\displaystyle x}
I
t
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}}
t
{\displaystyle t}
極限の交換 に関する次の 3 つの基本定理は 本質的に同等です。
微分と積分の交換（積分記号の下での微分、すなわちライプニッツの積分則） 偏導関数の順序の変更。 積分順序の変更（積分記号の下での積分、すなわち フビニの定理 ）。
3次元、時間依存のケース 図1: 空間全体に定義されたベクトル場 F ( r , t ) と、速度 v で動く曲線 ∂Σ で囲まれた表面 Σ とその上で場が積分されます。 3次元空間を移動する2次元面に対するライプニッツの積分則は [3] [4]
d
d
t
∬
Σ
(
t
)
F
(
r
,
t
)
⋅
d
A
=
∬
Σ
(
t
)
(
F
t
(
r
,
t
)
+
[
∇
⋅
F
(
r
,
t
)
]
v
)
⋅
d
A
−
∮
∂
Σ
(
t
)
[
v
×
F
(
r
,
t
)
]
⋅
d
s
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}
どこ：
F ( r , t )は、時刻 t における 空間位置r のベクトル場であり 、 Σ は 閉曲線 ∂Σ で囲まれた面であり、 d A は 曲面 Σ のベクトル要素であり、 d s は 曲線 ∂Σ のベクトル要素であり、 v は 領域Σ の移動速度であり 、 ∇⋅は ベクトル 発散 であり、 × は ベクトルの外積 であり 、 二重積分は 曲面 Σ上 の面積分 であり、 線積分は 境界曲線 ∂Σ 上の積分です。
高次元 ライプニッツの積分則は多次元積分に拡張できる。2次元および3次元では、この規則は 流体力学の分野では レイノルズ輸送定理 としてよく知られている 。
d
d
t
∫
D
(
t
)
F
(
x
,
t
)
d
V
=
∫
D
(
t
)
∂
∂
t
F
(
x
,
t
)
d
V
+
∫
∂
D
(
t
)
F
(
x
,
t
)
v
b
⋅
d
Σ
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}
ここで、 はスカラー関数、 D ( t ) と ∂ D ( t ) はそれぞれ R 3 とその境界の時間変動接続領域を表し 、 は境界のオイラー速度（ ラグランジュ座標とオイラー座標 を参照）、 d Σ = n dS は 表面 要素 の単位法線成分です 。
F
(
x
,
t
)
{\displaystyle F(\mathbf {x} ,t)}
v
b
{\displaystyle \mathbf {v} _{b}}
ライプニッツの積分則の一般的な記述には、 微分幾何学 の概念、具体的には 微分形式 、 外微分 、 くさび積 、 内積が必要です。これらのツールを使用すると、 n 次元 におけるライプニッツの積分則は [4] となり
、ここで Ω( t ) は時間変動積分領域、 ω は p 形式、 は速度のベクトル場、 と の 内積 、 d x ω は 空間変数のみに関する ω の 外微分、 は ω の時間微分です 。
d
d
t
∫
Ω
(
t
)
ω
=
∫
Ω
(
t
)
i
v
(
d
x
ω
)
+
∫
∂
Ω
(
t
)
i
v
ω
+
∫
Ω
(
t
)
ω
˙
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},}
v
=
∂
x
∂
t
{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}}
i
v
{\displaystyle i_{\mathbf {v} }}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
ω
˙
{\displaystyle {\dot {\omega }}}
上記の式は、リー導関数が
時空多様体 の 微分形式の積分とうまく相互作用する
という事実から直接導き出されます。 ここで、 の時空外導関数は で あり 、表面は 時空速度場 を持ちます 。 は空間成分のみを持つため、リー導関数は カルタンの魔法の公式 を使用して簡略化できます 。
これを 上で積分し 、第 2 項に 一般化ストークスの定理 を使用すると、必要な 3 つの項に簡略化されます。
d
d
t
∫
Ω
(
t
)
ω
=
∫
Ω
(
t
)
L
Ψ
ω
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,}
M
=
R
×
R
3
{\displaystyle M=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}}
ω
{\displaystyle \omega }
d
ω
=
d
t
∧
ω
˙
+
d
x
ω
{\displaystyle d\omega =dt\wedge {\dot {\omega }}+d_{x}\omega }
Ω
(
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
Ψ
=
∂
∂
t
+
v
{\displaystyle \Psi ={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} }
ω
{\displaystyle \omega }
L
Ψ
ω
=
L
v
ω
+
L
∂
∂
t
ω
=
i
v
d
ω
+
d
i
v
ω
+
i
∂
∂
t
d
ω
=
i
v
d
x
ω
+
d
i
v
ω
+
ω
˙
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ={\mathcal {L}}_{\mathbf {v} }\omega +{\mathcal {L}}_{\frac {\partial }{\partial t}}\omega =i_{\mathbf {v} }d\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +i_{\frac {\partial }{\partial t}}d\omega =i_{\mathbf {v} }d_{x}\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +{\dot {\omega }}}
Ω
(
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
測度論の声明 を の開集合とし 、 を 測度空間 とする 。 が 以下の条件を満たすと仮定する: [5] [6] [2]
X
{\displaystyle X}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
Ω
{\displaystyle \Omega }
f
:
X
×
Ω
→
R
{\displaystyle f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R} }
f
(
x
,
ω
)
{\displaystyle f(x,\omega )}
は各 に対して のルベーグ積分可能な関数です 。
ω
{\displaystyle \omega }
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
ほとんどすべて の に対して 、偏微分は すべての に対して存在します 。
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
f
x
{\displaystyle f_{x}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
すべての およびほぼすべてのに対して となるような 積分可能な関数が存在します 。
θ
:
Ω
→
R
{\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }
|
f
x
(
x
,
ω
)
|
≤
θ
(
ω
)
{\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
そして、すべての に対して 、
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
d
d
x
∫
Ω
f
(
x
,
ω
)
d
ω
=
∫
Ω
f
x
(
x
,
ω
)
d
ω
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .}
証明は 優勢収束定理 と 平均値定理 に依存します(詳細は下記)。
証明
まず積分限界 a と b が 一定である場合を証明します。
積分の順序を変更するには、 フビニの定理 を使用します。h > 0 であり、 x と x + h の 両方が [ x 0 、 x 1 ] の範囲内にあるすべての x と h に対して、次の式が成り立ちます。
∫
x
x
+
h
∫
a
b
f
x
(
x
,
t
)
d
t
d
x
=
∫
a
b
∫
x
x
+
h
f
x
(
x
,
t
)
d
x
d
t
=
∫
a
b
(
f
(
x
+
h
,
t
)
−
f
(
x
,
t
)
)
d
t
=
∫
a
b
f
(
x
+
h
,
t
)
d
t
−
∫
a
b
f
(
x
,
t
)
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}
は閉じた長方形で連続しており 、したがってそこで一様連続でもあるため、 ここでの積分は明確に定義されていることに注意してください。したがって、 dt または dx による積分は他の変数で連続しており、それによって積分可能です (基本的に、一様連続関数の場合、以下で詳しく説明するように、積分符号を通過できる限界があるためです)。
f
x
(
x
,
t
)
{\displaystyle f_{x}(x,t)}
[
x
0
,
x
1
]
×
[
a
,
b
]
{\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}
したがって：
∫
a
b
f
(
x
+
h
,
t
)
d
t
−
∫
a
b
f
(
x
,
t
)
d
t
h
=
1
h
∫
x
x
+
h
∫
a
b
f
x
(
x
,
t
)
d
t
d
x
=
F
(
x
+
h
)
−
F
(
x
)
h
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}}
ここで次のように定義しました:
(ここで x 0 を x 0 と x の間の任意の点に置き換えることができます )
F
(
u
)
:=
∫
x
0
u
∫
a
b
f
x
(
x
,
t
)
d
t
d
x
{\displaystyle F(u):=\int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}
F は 導関数 で微分可能なので、 h が ゼロに近づく極限を取ることができます 。左辺の場合、この極限は次のようになります。
∫
a
b
f
x
(
x
,
t
)
d
t
{\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}
d
d
x
∫
a
b
f
(
x
,
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}
右側については、次のようになります。
そして、望ましい結果が証明されます。
F
′
(
x
)
=
∫
a
b
f
x
(
x
,
t
)
d
t
{\displaystyle F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}
d
d
x
∫
a
b
f
(
x
,
t
)
d
t
=
∫
a
b
f
x
(
x
,
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}
有界収束定理を用いた別の証明 手元の積分が ルベーグ積分 である場合、限界が積分符号を通過できることを示すために、 有界収束定理 （これらの積分には有効ですが、 リーマン積分 には有効ではありません）を使用できます。
この証明は、 f x ( x , t ) がルベーグ積分可能であることを示しているだけで、リーマン積分可能であることは示していない という意味で弱いことに注意してください。前者の（より強い）証明では、 f ( x , t ) がリーマン積分可能である場合、 f x ( x , t ) も積分可能です（したがって、明らかにルベーグ積分も可能です）。
させて
微分の定義によれば、
式( 1 )を式( 2 )に代入する。2つの積分の差は差の積分に等しく、1/ h は定数なので、
u
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
∫
a
b
f
(
x
+
h
,
t
)
d
t
−
∫
a
b
f
(
x
,
t
)
d
t
h
=
lim
h
→
0
∫
a
b
(
f
(
x
+
h
,
t
)
−
f
(
x
,
t
)
)
d
t
h
=
lim
h
→
0
∫
a
b
f
(
x
+
h
,
t
)
−
f
(
x
,
t
)
h
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}}
ここで、極限が積分記号を通過できることを示します。
積分符号の下の極限を通過することは、有界収束定理（ 優勢収束定理 の系）によって有効であると主張する。各 δ > 0 について、 差分商を考えます 。t を固定した
場合 、 平均値定理 は、区間 [ x , x + δ ]
に次の条件を満たす z が 存在することを意味します 。f x ( x , t )
の連続性 と定義域のコンパクトさは、 f x ( x , t ) が有界であることを意味します。したがって、上記の平均値定理の適用により、 上の均一な（ に依存しない ）境界が得られます。差分商は 、偏微分が存在するという仮定により、
点ごとに偏微分 f xに収束します。
f
δ
(
x
,
t
)
=
f
(
x
+
δ
,
t
)
−
f
(
x
,
t
)
δ
.
{\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.}
f
δ
(
x
,
t
)
=
f
x
(
z
,
t
)
.
{\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}
t
{\displaystyle t}
f
δ
(
x
,
t
)
{\displaystyle f_{\delta }(x,t)}
上記の議論は、すべてのシーケンス { δ n } → 0について 、シーケンスは 一様有界であり、点ごとに f x に収束することを示しています。有界収束定理は、有限測度の集合上の関数のシーケンスが一様有界であり、点ごとに収束する場合、積分の下での極限の通過が有効であると述べています。特に、極限と積分はすべてのシーケンス { δ n } → 0 で交換できます。したがって、 δ → 0としての極限は 積分符号を通過できます。
{
f
δ
n
(
x
,
t
)
}
{\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}
代わりに、となる 積分可能な関数が存在することだけがわかっている場合は 、 となり 、優勢収束定理によって積分内の極限を移動できるようになります。
θ
:
Ω
→
R
{\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }
|
f
x
(
x
,
ω
)
|
≤
θ
(
ω
)
{\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}
|
f
δ
(
x
,
t
)
|
=
|
f
x
(
z
,
t
)
|
≤
θ
(
ω
)
{\displaystyle |f_{\delta }(x,t)|=|f_{x}(z,t)|\leq \theta (\omega )}
1つの 実変数の 連続 実数値関数 gと 、 1つの実変数の
微分可能な実 数値関数 と に対して、
f
1
{\displaystyle f_{1}}
f
2
{\displaystyle f_{2}}
d
d
x
(
∫
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
g
(
t
)
d
t
)
=
g
(
f
2
(
x
)
)
f
2
′
(
x
)
−
g
(
f
1
(
x
)
)
f
1
′
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}
これは連鎖律 と 微積分学の第一基本定理 から導かれます 。
と を
定義します
(下限は の領域内の任意の数値である必要があります )
G
(
x
)
=
∫
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
g
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,}
Γ
(
x
)
=
∫
0
x
g
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.}
g
{\displaystyle g}
すると、 は 合成 として書くことができます 。 連鎖律 は 、 が成り立つことを意味します
。 微積分学の第一基本定理
により、 となります 。 したがって、この結果を上に代入すると、目的の方程式が得られます。
G
(
x
)
{\displaystyle G(x)}
G
(
x
)
=
(
Γ
∘
f
2
)
(
x
)
−
(
Γ
∘
f
1
)
(
x
)
{\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}
G
′
(
x
)
=
Γ
′
(
f
2
(
x
)
)
f
2
′
(
x
)
−
Γ
′
(
f
1
(
x
)
)
f
1
′
(
x
)
.
{\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).}
Γ
′
(
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \Gamma '(x)=g(x)}
G
′
(
x
)
=
g
(
f
2
(
x
)
)
f
2
′
(
x
)
−
g
(
f
1
(
x
)
)
f
1
′
(
x
)
.
{\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}
注: この形式は、微分する式が次の形式の場合に特に便利です。 は
積分の限界に依存しない
ため、積分記号の下から移動することができ、上記の形式は 積分規則 とともに使用できます。つまり、
∫
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
h
(
x
)
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)\,g(t)\,dt}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
d
d
x
(
∫
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
h
(
x
)
g
(
t
)
d
t
)
=
d
d
x
(
h
(
x
)
∫
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
g
(
t
)
d
t
)
=
h
′
(
x
)
∫
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
g
(
t
)
d
t
+
h
(
x
)
d
d
x
(
∫
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
g
(
t
)
d
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)&={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\\&=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\end{aligned}}}
ここで、 a と bは α の関数であり、 α がΔαだけ増加すると 、 それぞれ Δa とΔbの 増分 を示す 。
すると、
φ
(
α
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
,
{\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}
Δ
φ
=
φ
(
α
+
Δ
α
)
−
φ
(
α
)
=
∫
a
+
Δ
a
b
+
Δ
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
=
∫
a
+
Δ
a
a
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
+
∫
a
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
+
∫
b
b
+
Δ
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
=
−
∫
a
a
+
Δ
a
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
+
∫
a
b
[
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
]
d
x
+
∫
b
b
+
Δ
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}
平均値定理 の一種 、 a < ξ < b は、上記のΔ φ の式の最初と最後の積分に適用することができ 、その結果、
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
(
b
−
a
)
f
(
ξ
)
{\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}
Δ
φ
=
−
Δ
a
f
(
ξ
1
,
α
+
Δ
α
)
+
∫
a
b
[
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
]
d
x
+
Δ
b
f
(
ξ
2
,
α
+
Δ
α
)
.
{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}
Δ α で割り 、 Δ α → 0とします。 ξ 1 → a および ξ 2 → b に注意してください。 積分符号を通過できる極限は、
やはり有界収束定理によります。 これにより、ライプニッツの積分則の一般形が得られます。
lim
Δ
α
→
0
∫
a
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
Δ
α
d
x
=
∫
a
b
∂
∂
α
f
(
x
,
α
)
d
x
,
{\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,}
d
φ
d
α
=
∫
a
b
∂
∂
α
f
(
x
,
α
)
d
x
+
f
(
b
,
α
)
d
b
d
α
−
f
(
a
,
α
)
d
a
d
α
.
{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}
変数の極限を持つライプニッツの積分則の一般形は、ライプニッツの積分則の基本形、 多変数連鎖律 、および 微積分学の第一基本定理 の結果として導くことができます。が平面 上の長方形内で 、 およびに対して定義されているとします 。また、 と偏導関数は 両方ともこの長方形上の連続関数であるとします。 が上で定義され 、 内の値を持つ (つまり、任意の に対して )
微分可能な 実数値関数であると します。ここで、
と を
設定します。
f
{\displaystyle f}
x
−
t
{\displaystyle x-t}
x
∈
[
x
1
,
x
2
]
{\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}
t
∈
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}
f
{\displaystyle f}
∂
f
∂
x
{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
[
x
1
,
x
2
]
{\displaystyle [x_{1},x_{2}]}
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle [t_{1},t_{2}]}
x
∈
[
x
1
,
x
2
]
,
a
(
x
)
,
b
(
x
)
∈
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}
F
(
x
,
y
)
=
∫
t
1
y
f
(
x
,
t
)
d
t
,
for
x
∈
[
x
1
,
x
2
]
and
y
∈
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]}
G
(
x
)
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
,
for
x
∈
[
x
1
,
x
2
]
{\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]}
そして、定積分 の性質により 、次のように書くことができる。
G
(
x
)
=
∫
t
1
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
−
∫
t
1
a
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
=
F
(
x
,
b
(
x
)
)
−
F
(
x
,
a
(
x
)
)
{\displaystyle G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt=F(x,b(x))-F(x,a(x))}
関数は すべて微分可能であるため（証明の最後の注釈を参照）、 多変数連鎖律 により、は微分可能であり、その導関数は公式によって与えられることが
わかります。 ここで、すべての 、およびすべての に対して 、 が成り立つことに注意してください。これは、 について 偏微分を取るときに、 式 を固定 しているためです 。したがって、積分の制限が一定であるライプニッツの積分則の基本形が適用されます。次に、 微積分学の第一基本定理 により、 が成り立ちます。これは、 について 偏微分を取るときに 、最初の変数 が固定されているためです。したがって、基本定理を適用できます。
F
,
a
,
b
{\displaystyle F,a,b}
G
{\displaystyle G}
G
′
(
x
)
=
(
∂
F
∂
x
(
x
,
b
(
x
)
)
+
∂
F
∂
y
(
x
,
b
(
x
)
)
b
′
(
x
)
)
−
(
∂
F
∂
x
(
x
,
a
(
x
)
)
+
∂
F
∂
y
(
x
,
a
(
x
)
)
a
′
(
x
)
)
{\displaystyle G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)}
x
∈
[
x
1
,
x
2
]
{\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}
y
∈
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}
∂
F
∂
x
(
x
,
y
)
=
∫
t
1
y
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
d
t
{\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}
x
{\displaystyle x}
F
{\displaystyle F}
y
{\displaystyle y}
∫
t
1
y
f
(
x
,
t
)
d
t
{\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}
∂
F
∂
y
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
{\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}
y
{\displaystyle y}
F
{\displaystyle F}
x
{\displaystyle x}
これらの結果を上記の式に代入すると 、
期待どおりの結果が得られます。
G
′
(
x
)
{\displaystyle G'(x)}
G
′
(
x
)
=
(
∫
t
1
b
(
x
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
d
t
+
f
(
x
,
b
(
x
)
)
b
′
(
x
)
)
−
(
∫
t
1
a
(
x
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
d
t
+
f
(
x
,
a
(
x
)
)
a
′
(
x
)
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
b
′
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
a
′
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
d
t
,
{\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}
上記の証明には、注目すべき技術的な点があります。連鎖律を に適用するには、が すでに 微分可能で あることが必要になります 。ここで、 についての仮定を使用します 。前述のように、 の偏微分は、 公式 およびで与えられます 。 は連続なので、その積分も連続関数です。 [7] また も連続なので 、これら 2 つの結果は、 の偏微分が両方とも 連続していることを示しています。偏微分が連続であることは関数の微分可能性を意味するので、 [8] は 確かに微分可能です。
G
{\displaystyle G}
F
{\displaystyle F}
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
∂
F
∂
x
(
x
,
y
)
=
∫
t
1
y
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
d
t
{\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}
∂
F
∂
y
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
{\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}
∂
f
∂
x
{\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
時刻t において、 図 1 の面 Σ には、重心 の周囲に点が 1 組配置されています 。関数は、時間に依存しない
と 記述できます
。変数は、原点が にある、移動する面に取り付けられた新しい参照フレームに移動します 。剛体平行移動面の場合、積分限界は時間に依存しないため、次のようになります。ここ
で、積分を領域 Σ に限定する積分限界は時間に依存しないため、微分は積分を通過して被積分関数にのみ作用します。
面の運動速度は次のように定義されます。
C
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {C} (t)}
F
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)}
F
(
C
(
t
)
+
r
−
C
(
t
)
,
t
)
=
F
(
C
(
t
)
+
I
,
t
)
,
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
C
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {C} (t)}
d
d
t
(
∬
Σ
(
t
)
d
A
r
⋅
F
(
r
,
t
)
)
=
∬
Σ
d
A
I
⋅
d
d
t
F
(
C
(
t
)
+
I
,
t
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}
d
d
t
F
(
C
(
t
)
+
I
,
t
)
=
F
t
(
C
(
t
)
+
I
,
t
)
+
v
⋅
∇
F
(
C
(
t
)
+
I
,
t
)
=
F
t
(
r
,
t
)
+
v
⋅
∇
F
(
r
,
t
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),}
v
=
d
d
t
C
(
t
)
.
{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}
この方程式は、場の 物質微分 、つまり、移動する表面に付随する座標系に関する微分を表します。微分がわかれば、変数を元の参照フレームに戻すことができます。( 回転に関する記事 を参照)
、また ストークスの定理 により、 Σ 上の回転の面積分が ∂Σ 上の線積分と等しくなることがわかります。
∇
×
(
v
×
F
)
=
(
∇
⋅
F
+
F
⋅
∇
)
v
−
(
∇
⋅
v
+
v
⋅
∇
)
F
,
{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,}
d
d
t
(
∬
Σ
(
t
)
F
(
r
,
t
)
⋅
d
A
)
=
∬
Σ
(
t
)
(
F
t
(
r
,
t
)
+
(
F
⋅
∇
)
v
+
(
∇
⋅
F
)
v
−
(
∇
⋅
v
)
F
)
⋅
d
A
−
∮
∂
Σ
(
t
)
(
v
×
F
)
⋅
d
s
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .}
線積分の符号は、線要素 d s の方向の選択に関する 右手の法則 に基づきます。この符号を確立するには、たとえば、フィールド F が 正の z 方向を指し、表面 Σ が周囲が∂Σ である xy平面の一部であると仮定します。 Σ の法線が正の z 方向になるようにします 。 ∂Σ の正の横断は反時計回りになります ( z 軸に沿った親指による右手の法則)。次に、左側の積分によって、 Σ を通る F の 正のフラックスが決まります。 Σ が速度 vで正の x 方向 に移動するとします。 y 軸に平行な Σ の境界の要素 、たとえば d s は 、時間 t で領域 v t × d s を掃引します。境界 ∂Σ の周りを反時計回りに積分すると、 v t × d s は 、 ∂Σ の左側（ d s は 下向き）では負の z 方向を指し、 ∂Σ の右側（ d sは上向き）では正の z 方向を指します。これは、 Σ が右に移動し、右側では面積が増え、左側では面積が減るため、理にかなっています。そのことから、 F の流束は ∂Σ の右側で増加し、左側で減少します。ただし、 ドット積 v × F ⋅ d s = − F × v ⋅ d s = − F ⋅ v × d s です。したがって、線積分の符号は負になります。
v が定数である
場合、
これは引用された結果です。この証明では、表面が移動するにつれて変形する可能性を考慮していません。
d
d
t
∬
Σ
(
t
)
F
(
r
,
t
)
⋅
d
A
=
∬
Σ
(
t
)
(
F
t
(
r
,
t
)
+
(
∇
⋅
F
)
v
)
⋅
d
A
−
∮
∂
Σ
(
t
)
(
v
×
F
)
⋅
d
s
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}
代替導出 補題。 次のようになります。
∂
∂
b
(
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
=
f
(
b
)
,
∂
∂
a
(
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
=
−
f
(
a
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}
証明。 微積分学の基本定理の証明 から 、
∂
∂
b
(
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
=
lim
Δ
b
→
0
1
Δ
b
(
∫
a
b
+
Δ
b
f
(
x
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
=
lim
Δ
b
→
0
1
Δ
b
(
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
b
b
+
Δ
b
f
(
x
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
=
lim
Δ
b
→
0
1
Δ
b
∫
b
b
+
Δ
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
Δ
b
→
0
1
Δ
b
[
f
(
b
)
Δ
b
+
O
(
Δ
b
2
)
]
=
f
(
b
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}}
そして
∂
∂
a
(
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
=
lim
Δ
a
→
0
1
Δ
a
[
∫
a
+
Δ
a
b
f
(
x
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
]
=
lim
Δ
a
→
0
1
Δ
a
∫
a
+
Δ
a
a
f
(
x
)
d
x
=
lim
Δ
a
→
0
1
Δ
a
[
−
f
(
a
)
Δ
a
+
O
(
Δ
a
2
)
]
=
−
f
(
a
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}
a と b は定数で、 f ( x ) には積分では定数だが、異なる積分を形成するために変化する パラメータ α が含まれると仮定する。 f ( x , α ) はコンパクト集合 {( x , α ) : α 0 ≤ α ≤ α 1 かつ a ≤ x ≤ b } における x と α の連続関数で あり、偏微分 f α ( x , α ) が存在し、連続していると仮定する。 を定義すると、
積分 符号の下で微分することにより
α に関して微分できる。すなわち、
φ
(
α
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
,
{\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}
φ
{\displaystyle \varphi }
d
φ
d
α
=
∫
a
b
∂
∂
α
f
(
x
,
α
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}
ハイネ・カントール定理 によれば、 その集合内では一様連続である。言い換えれば、任意の ε > 0 に対して、Δ α が存在し、 [ a , b ]
内の x のすべての値に対して、
|
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
|
<
ε
.
{\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}
一方で、
Δ
φ
=
φ
(
α
+
Δ
α
)
−
φ
(
α
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
=
∫
a
b
(
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
)
d
x
≤
ε
(
b
−
a
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}
したがって φ ( α )は連続関数である。
同様に、が存在し、連続している場合 、すべての ε > 0 に対して、次の
Δ α が 存在する:
∂
∂
α
f
(
x
,
α
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )}
∀
x
∈
[
a
,
b
]
,
|
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
Δ
α
−
∂
f
∂
α
|
<
ε
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}
したがって
、
Δ
φ
Δ
α
=
∫
a
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
Δ
α
d
x
=
∫
a
b
∂
f
(
x
,
α
)
∂
α
d
x
+
R
,
{\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,}
|
R
|
<
∫
a
b
ε
d
x
=
ε
(
b
−
a
)
.
{\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}
さて、 ε → 0 は Δ α → 0 なので、
lim
Δ
α
→
0
Δ
φ
Δ
α
=
d
φ
d
α
=
∫
a
b
∂
∂
α
f
(
x
,
α
)
d
x
.
{\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}
これが私たちが証明しようとした公式です。
ここで、
a と bは α の関数であり
、 α が Δα だけ増加する と、それぞれ Δa とΔb だけ 増加すると仮定します。
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
=
φ
(
α
)
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),}
Δ
φ
=
φ
(
α
+
Δ
α
)
−
φ
(
α
)
=
∫
a
+
Δ
a
b
+
Δ
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
=
∫
a
+
Δ
a
a
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
+
∫
a
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
+
∫
b
b
+
Δ
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
=
−
∫
a
a
+
Δ
a
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
+
∫
a
b
[
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
]
d
x
+
∫
b
b
+
Δ
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}
平均値定理 の一種 、 a < ξ < b は、上記のΔ φ の式の最初と最後の積分に適用することができ 、その結果、
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
(
b
−
a
)
f
(
ξ
)
,
{\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}
Δ
φ
=
−
Δ
a
f
(
ξ
1
,
α
+
Δ
α
)
+
∫
a
b
[
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
]
d
x
+
Δ
b
f
(
ξ
2
,
α
+
Δ
α
)
.
{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}
Δ α で割り 、 Δ α → 0 とし、 ξ 1 → a および ξ 2 → b に注意し、上記の導出を用いると
、
d
φ
d
α
=
∫
a
b
∂
∂
α
f
(
x
,
α
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx}
d
φ
d
α
=
∫
a
b
∂
∂
α
f
(
x
,
α
)
d
x
+
f
(
b
,
α
)
∂
b
∂
α
−
f
(
a
,
α
)
∂
a
∂
α
.
{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}
これはライプニッツの積分則の一般的な形です。
例
例1: 固定制限 機能について考える
φ
(
α
)
=
∫
0
1
α
x
2
+
α
2
d
x
.
{\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.}
積分符号の下 の関数は点 ( x , α ) = (0, 0) で連続ではなく、関数 φ ( α ) は α → 0 ± のにつれて± π /2に近づくため、 α = 0 で不連続になり ます 。
φ ( α ) を積分記号の下で
α に関して 微分すると、 α ≠0
に対して次式が得られる。これを ( α に関して ) 積分すると
次式が得られる。
d
d
α
φ
(
α
)
=
∫
0
1
∂
∂
α
(
α
x
2
+
α
2
)
d
x
=
∫
0
1
x
2
−
α
2
(
x
2
+
α
2
)
2
d
x
=
−
x
x
2
+
α
2
|
0
1
=
−
1
1
+
α
2
,
{\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},}
φ
(
α
)
=
{
0
,
α
=
0
,
−
arctan
(
α
)
+
π
2
,
α
≠
0.
{\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}}
例2: 変数制限 変数制限のある例:
d
d
x
∫
sin
x
cos
x
cosh
t
2
d
t
=
cosh
(
cos
2
x
)
d
d
x
(
cos
x
)
−
cosh
(
sin
2
x
)
d
d
x
(
sin
x
)
+
∫
sin
x
cos
x
∂
∂
x
(
cosh
t
2
)
d
t
=
cosh
(
cos
2
x
)
(
−
sin
x
)
−
cosh
(
sin
2
x
)
(
cos
x
)
+
0
=
−
cosh
(
cos
2
x
)
sin
x
−
cosh
(
sin
2
x
)
cos
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}}
アプリケーション
定積分の評価 この式は
、特定の定積分を評価するときに役立ちます。この文脈で使用される場合、積分記号の下で微分するためのライプニッツの積分規則は、積分に関するファインマンのトリックとしても知られています。
d
d
x
(
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
⋅
d
d
x
b
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
⋅
d
d
x
a
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt}
例3 考慮する
φ
(
α
)
=
∫
0
π
ln
(
1
−
2
α
cos
(
x
)
+
α
2
)
d
x
,
|
α
|
≠
1.
{\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\,dx,\qquad |\alpha |\neq 1.}
今、
d
d
α
φ
(
α
)
=
∫
0
π
−
2
cos
(
x
)
+
2
α
1
−
2
α
cos
(
x
)
+
α
2
d
x
=
1
α
∫
0
π
(
1
−
1
−
α
2
1
−
2
α
cos
(
x
)
+
α
2
)
d
x
=
π
α
−
2
α
{
arctan
(
1
+
α
1
−
α
tan
(
x
2
)
)
}
|
0
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}}
は からに変化する ので 、
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
π
{\displaystyle \pi }
{
1
+
α
1
−
α
tan
(
x
2
)
≥
0
,
|
α
|
<
1
,
1
+
α
1
−
α
tan
(
x
2
)
≤
0
,
|
α
|
>
1.
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 0,&|\alpha |<1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,&|\alpha |>1.\end{cases}}}
したがって、
arctan
(
1
+
α
1
−
α
tan
(
x
2
)
)
|
0
π
=
{
π
2
,
|
α
|
<
1
,
−
π
2
,
|
α
|
>
1.
{\displaystyle \left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right|_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |>1.\end{cases}}}
したがって、
d
d
α
φ
(
α
)
=
{
0
,
|
α
|
<
1
,
2
π
α
,
|
α
|
>
1.
{\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\{\frac {2\pi }{\alpha }},&|\alpha |>1.\end{cases}}}
両辺を について積分すると 、次のようになります。
α
{\displaystyle \alpha }
φ
(
α
)
=
{
C
1
,
|
α
|
<
1
,
2
π
ln
|
α
|
+
C
2
,
|
α
|
>
1.
{\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}C_{1},&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |+C_{2},&|\alpha |>1.\end{cases}}}
C
1
=
0
{\displaystyle C_{1}=0}
を評価すると次のようになります 。
φ
(
0
)
{\displaystyle \varphi (0)}
φ
(
0
)
=
∫
0
π
ln
(
1
)
d
x
=
∫
0
π
0
d
x
=
0.
{\displaystyle \varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln(1)\,dx=\int _{0}^{\pi }0\,dx=0.}
同じ方法で決定するには、 に 1 より大きい 値を代入する必要があります 。これは少し不便です。代わりに、 を代入します 。ここ で、 です。すると、
C
2
{\displaystyle C_{2}}
α
{\displaystyle \alpha }
φ
(
α
)
{\displaystyle \varphi (\alpha )}
α
=
1
β
{\textstyle \alpha ={\frac {1}{\beta }}}
|
β
|
<
1
{\displaystyle |\beta |<1}
φ
(
α
)
=
∫
0
π
(
ln
(
1
−
2
β
cos
(
x
)
+
β
2
)
−
2
ln
|
β
|
)
d
x
=
∫
0
π
ln
(
1
−
2
β
cos
(
x
)
+
β
2
)
d
x
−
∫
0
π
2
ln
|
β
|
d
x
=
0
−
2
π
ln
|
β
|
=
2
π
ln
|
α
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}}
したがって、
C
2
=
0
{\displaystyle C_{2}=0}
の定義は これで完了です。
φ
(
α
)
{\displaystyle \varphi (\alpha )}
φ
(
α
)
=
{
0
,
|
α
|
<
1
,
2
π
ln
|
α
|
,
|
α
|
>
1.
{\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |,&|\alpha |>1.\end{cases}}}
もちろん、 微分可能性の条件が満たされていないため、 の場合には前述の議論は適用されません。
α
=
±
1
{\displaystyle \alpha =\pm 1}
例4
I
=
∫
0
π
/
2
1
(
a
cos
2
x
+
b
sin
2
x
)
2
d
x
,
a
,
b
>
0.
{\displaystyle I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.}
まず計算します:
J
=
∫
0
π
/
2
1
a
cos
2
x
+
b
sin
2
x
d
x
=
∫
0
π
/
2
1
cos
2
x
a
+
b
sin
2
x
cos
2
x
d
x
=
∫
0
π
/
2
sec
2
x
a
+
b
tan
2
x
d
x
=
1
b
∫
0
π
/
2
1
(
a
b
)
2
+
tan
2
x
d
(
tan
x
)
=
1
a
b
arctan
(
b
a
tan
x
)
|
0
π
/
2
=
π
2
a
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right|_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}}
積分の極限は に依存しないので 、次の式が得られます。
a
{\displaystyle a}
∂
J
∂
a
=
−
∫
0
π
/
2
cos
2
x
(
a
cos
2
x
+
b
sin
2
x
)
2
d
x
{\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial a}}=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx}
一方で：
∂
J
∂
a
=
∂
∂
a
(
π
2
a
b
)
=
−
π
4
a
3
b
.
{\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.}
これら2つの関係を等しくすると、
∫
0
π
/
2
cos
2
x
(
a
cos
2
x
+
b
sin
2
x
)
2
d
x
=
π
4
a
3
b
.
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.}
同様に、 利回りを
追求する
∂
J
∂
b
{\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial b}}}
∫
0
π
/
2
sin
2
x
(
a
cos
2
x
+
b
sin
2
x
)
2
d
x
=
π
4
a
b
3
.
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.}
2 つの結果を加算すると、
希望どおりに
計算される結果が生成されます 。
I
=
∫
0
π
/
2
1
(
a
cos
2
x
+
b
sin
2
x
)
2
d
x
=
π
4
a
b
(
1
a
+
1
b
)
,
{\displaystyle I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),}
I
{\displaystyle I}
この導出は一般化できる。
これを定義すれば、簡単に証明できる。
I
n
=
∫
0
π
/
2
1
(
a
cos
2
x
+
b
sin
2
x
)
n
d
x
,
{\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,}
(
1
−
n
)
I
n
=
∂
I
n
−
1
∂
a
+
∂
I
n
−
1
∂
b
{\displaystyle (1-n)I_{n}={\frac {\partial I_{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial I_{n-1}}{\partial b}}}
が与えられた場合、この積分簡約公式を使用して、 に対する のすべての値を計算できます 。 や のような積分は 、 ワイエルシュトラスの置換 を使用して処理することもできます 。
I
1
{\displaystyle I_{1}}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
I
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
例5 ここで、積分
I
(
α
)
=
∫
0
π
/
2
ln
(
1
+
cos
α
cos
x
)
cos
x
d
x
,
0
<
α
<
π
.
{\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .}
について積分微分すると 、
α
{\displaystyle \alpha }
d
d
α
I
(
α
)
=
∫
0
π
/
2
∂
∂
α
(
ln
(
1
+
cos
α
cos
x
)
cos
x
)
d
x
=
−
∫
0
π
/
2
sin
α
1
+
cos
α
cos
x
d
x
=
−
∫
0
π
/
2
sin
α
(
cos
2
x
2
+
sin
2
x
2
)
+
cos
α
(
cos
2
x
2
−
sin
2
x
2
)
d
x
=
−
sin
α
1
−
cos
α
∫
0
π
/
2
1
cos
2
x
2
1
1
+
cos
α
1
−
cos
α
+
tan
2
x
2
d
x
=
−
2
sin
α
1
−
cos
α
∫
0
π
/
2
1
2
sec
2
x
2
2
cos
2
α
2
2
sin
2
α
2
+
tan
2
x
2
d
x
=
−
2
(
2
sin
α
2
cos
α
2
)
2
sin
2
α
2
∫
0
π
/
2
1
cot
2
α
2
+
tan
2
x
2
d
(
tan
x
2
)
=
−
2
cot
α
2
∫
0
π
/
2
1
cot
2
α
2
+
tan
2
x
2
d
(
tan
x
2
)
=
−
2
arctan
(
tan
α
2
tan
x
2
)
|
0
π
/
2
=
−
α
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}I(\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}}
したがって：
I
(
α
)
=
C
−
α
2
2
.
{\displaystyle I(\alpha )=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.}
しかし 定義上はそう であり
I
(
π
2
)
=
0
{\textstyle I{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0}
C
=
π
2
8
{\textstyle C={\frac {\pi ^{2}}{8}}}
I
(
α
)
=
π
2
8
−
α
2
2
.
{\displaystyle I(\alpha )={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.}
例6 ここで、積分
∫
0
2
π
e
cos
θ
cos
(
sin
θ
)
d
θ
.
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .}
新しい変数 φ を導入し、積分を次のように書き直す。
f
(
φ
)
=
∫
0
2
π
e
φ
cos
θ
cos
(
φ
sin
θ
)
d
θ
.
{\displaystyle f(\varphi )=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\,d\theta .}
φ = 1のとき、 これは元の積分と等しくなります。ただし、このより一般的な積分は、次のように微分できます 。
φ
{\displaystyle \varphi }
d
f
d
φ
=
∫
0
2
π
∂
∂
φ
[
e
φ
cos
θ
cos
(
φ
sin
θ
)
]
d
θ
=
∫
0
2
π
e
φ
cos
θ
[
cos
θ
cos
(
φ
sin
θ
)
−
sin
θ
sin
(
φ
sin
θ
)
]
d
θ
.
{\displaystyle {\frac {df}{d\varphi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left[e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right]d\theta =\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta .}
ここで、 φ を固定し、によって定義される 上のベクトル場を考えます 。さらに、 、 によって与えられる 単位円 の 正の向きの パラメータ化を選択して、 とします 。すると、上記の最終積分は
上の
の線積分とまったく同じになります 。 グリーンの定理 により、これはが閉じた 単位円
である 二重積分に等しくなります
。その積分関数は恒等的に 0 なので、 も 同様に恒等的に 0 です。これは、 f ( φ ) が定数であることを意味します。定数はで 評価することによって決定できます 。
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
F
(
x
,
y
)
=
(
F
1
(
x
,
y
)
,
F
2
(
x
,
y
)
)
:=
(
e
φ
x
sin
(
φ
y
)
,
e
φ
x
cos
(
φ
y
)
)
{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{\varphi x}\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))}
S
1
{\displaystyle S^{1}}
r
:
[
0
,
2
π
)
→
R
2
{\displaystyle \mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbb {R} ^{2}}
r
(
θ
)
:=
(
cos
θ
,
sin
θ
)
{\displaystyle \mathbf {r} (\theta ):=(\cos \theta ,\sin \theta )}
r
′
(
t
)
=
(
−
sin
θ
,
cos
θ
)
{\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(-\sin \theta ,\cos \theta )}
∫
0
2
π
e
φ
cos
θ
[
cos
θ
cos
(
φ
sin
θ
)
−
sin
θ
sin
(
φ
sin
θ
)
]
d
θ
=
∫
0
2
π
[
e
φ
cos
θ
sin
(
φ
sin
θ
)
e
φ
cos
θ
cos
(
φ
sin
θ
)
]
⋅
[
−
sin
θ
−
cos
θ
]
d
θ
=
∫
0
2
π
F
(
r
(
θ
)
)
⋅
r
′
(
θ
)
d
θ
=
∮
S
1
F
(
r
)
⋅
d
r
=
∮
S
1
F
1
d
x
+
F
2
d
y
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }{\begin{bmatrix}e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta )\\e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\{\hphantom {-}}\cos \theta \end{bmatrix}}\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}}
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
S
1
{\displaystyle S^{1}}
∬
D
∂
F
2
∂
x
−
∂
F
1
∂
y
d
A
,
{\displaystyle \iint _{D}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,dA,}
D
{\displaystyle D}
d
f
/
d
φ
{\displaystyle df/d\varphi }
f
{\displaystyle f}
φ
=
0
{\displaystyle \varphi =0}
f
(
0
)
=
∫
0
2
π
1
d
θ
=
2
π
.
{\displaystyle f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .}
したがって、元の積分も に等しくなります 。
2
π
{\displaystyle 2\pi }
解決すべきその他の問題 積分記号の下での微分法を使って解くことができる積分は他にも無数にあります。たとえば、次の各ケースでは、元の積分を新しいパラメータを持つ同様の積分に置き換えることができます 。
α
{\displaystyle \alpha }
∫
0
∞
sin
x
x
d
x
→
∫
0
∞
e
−
α
x
sin
x
x
d
x
,
∫
0
π
/
2
x
tan
x
d
x
→
∫
0
π
/
2
tan
−
1
(
α
tan
x
)
tan
x
d
x
,
∫
0
∞
ln
(
1
+
x
2
)
1
+
x
2
d
x
→
∫
0
∞
ln
(
1
+
α
2
x
2
)
1
+
x
2
d
x
∫
0
1
x
−
1
ln
x
d
x
→
∫
0
1
x
α
−
1
ln
x
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}}
最初の積分である ディリクレ積分 は、正の α に対して絶対収束します が、 の場合にのみ条件付き収束します 。したがって、 の場合には積分符号の下での微分は簡単に正当化できますが 、 の場合でも結果の式が有効であることを証明するには 注意深い作業が必要です。
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
無限級数 積分記号の下での微分の測度論的バージョンは、総和を 計数測度 と解釈することで、総和（有限または無限）にも適用されます。応用例としては、 べき級数が 収束半径で微分可能であるという事実があります。 [ 要出典 ]
オイラー・ラグランジュ方程式 ライプニッツの積分則は、変分法 における オイラー-ラグランジュ方程式 の導出に使用されます 。
大衆文化において 積分記号による微分については、故 リチャード・ファインマン のベストセラー回想録『 冗談 でしょう、ファインマンさん』の 「別の道具箱」の章で触れられている。彼は、高校 時代に、マサチューセッツ工科大学 の数学教授であった フレデリック・S・ウッズ 著の古い教科書『 上級微積分学』 （1926年）でそれを学んだと述べている。ファインマンが後に 微積分学 の正式な教育を受けたときには、この技法はあまり教えられていなかったが、この技法を使うことで、ファインマンは プリンストン大学 の 大学院に入学したときに、そうでなければ難しかった積分問題を解くことができた 。
私が習わなかったことの一つは、 等高線積分 です。私は高校の物理の先生であるベイダー先生がくれた本に載っているさまざまな方法で積分を習いました。ある日、先生は私に授業のあとも残るように言いました。「ファインマン、君はしゃべりすぎだし、騒ぎすぎている。理由はわかっている。君は退屈しているんだ。だから君に本をあげる。君は後ろの隅っこに行ってこの本を勉強しなさい。この本に書いてあることをすべて理解したら、また話していいよ。」それで、物理の授業のたびに、私はパスカルの法則や彼らがやっていることにまったく注意を払いませんでした。私は後ろのほうで、ウッズ著の「上級微積分学」という本を持っていました。ベイダー先生は私が「実務家のための微積分学」を少し勉強したことを知っていたので、私に本物の本をくれました。それは大学の3年生か4年生向けのものでした。この本 には、 フーリエ級数 、 ベッセル関数 、 行列式 、 楕円関数 など、私が知らなかったすばらしいことがいろいろ載っていました。また、その本には、積分記号の下でパラメータを微分する方法も載っていました。これは特定の操作です。大学ではあまり教えられていないことがわかりました。彼らはそれを重視していません。しかし、私はその方法の使い方を理解し、そのツールを何度も使いました。その本を使って独学だったので、積分を行うための独特な方法を身に付けていました。その結果、MITや プリンストン の人たちがある積分を行うのに苦労していたのは、学校で習った標準的な方法ではできなかったからです。それが等高線積分であれば、彼らはそれを見つけていたでしょうし、単純な級数展開であれば、彼らはそれを見つけていたでしょう。その後、私がやって来て、積分記号の下で微分しようとすると、多くの場合うまくいきました。それで、私が積分を解くのに素晴らしい評判を得たのは、私の道具箱が他の人のものと違っていたからで、彼らは私に問題を渡す前に自分の道具をすべて試していたからです。
参照
数学ポータル
参考文献
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さらに読む
外部リンク Harron, Rob. 「ライプニッツの法則」 (PDF) . MAT-203 . 
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{ \Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf { v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e1920d1765de7da9577a03567e36b3d9d7409e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db6294500e99f5f27fffb98de034435232e2b62)
![{\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3dd2c917fe190a51bf1dc6014ab25c52acebd0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bc4fbdaf4ee242590c8486de47a5040d5b9b00)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f5e20c95bd1d2bbe2a4f2290afb772d4331d8c)
![{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \ alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e36563c2c4e6f252b197fdf0c03db2e68b869c)
![{\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28267d22f13c327a49b44a9cb3f3e4cd38b39d13)
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![{\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c47e98fcb040ce05754e1e93c3342f483b47d5e)
![{\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88125d123e436bb0e6af6f4bed1cd43edf65ff55)
![{\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abae4618d003cc3fd630e8c9f62334f40064bf12)
![{\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3dbc62b50259c75e078c02fbf9d36176b69611)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376ed3e1f8a84c58afabe62aa112e4d7285caded)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1516c15a829156cfd3d8eba75eeee30d949df5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442fbcf1d1b415aa521c6748450d36d3f17b4d8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (ba).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148c148d9df299e782ad4373fb5aa5d637e6b2b9)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c46cc29cd17e5bba84da7e4b546591b803820c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234e65ec4850e0c7fed3946f9d533d7832b25a78)
![{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha + \Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \アルファ)。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c03a4ea6d77c7f3f621471c4d7b1522e9da0f3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b100bb708ad271fdb20541fd748918678c44cc1e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099481733226eedc7a81e2dc53c0a1f125f298f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41dfab8bbdf7b2c5df9f855071714a046443c14)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right|_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf7cfddc39c3413bfff065eaf416eb82e844d0e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}I(\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a56ade83c73dd04d834a219e081bb67953f79a)
![{\displaystyle {\frac {df}{d\varphi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left[e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right]d\theta =\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd54b27116e83a8682777193f77300c17583e5b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )- \sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }{\begin{bmatrix}e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta )\\e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\ end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\{\hphantom {-}}\cos \theta \end{bmatrix}}\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r } (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2 }\,dy,\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5a36bac0f56e22ad8aad215144d127a3bd909f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bfab3abc110729b43f53edc6f6d0b48f45ea0a)
