ゲージ理論

ゲージ理論の「ゲージ共変」バージョンは、ゲージ場（数学的にはエーレスマン接続）を導入し、すべての変化率をこの接続に関する共変微分で定式化することによって、この効果を説明します。ゲージ場は、数学的構成の記述の不可欠な部分となります。ゲージ変換によってゲージ場を消去できる構成は、その場の強度（数学的には曲率）が至るところでゼロになるという性質を持ちます。ゲージ理論は、このような構成に限定されません。言い換えれば、ゲージ理論の特徴は、ゲージ場が単に不適切な座標系の選択を補償するのではなく、一般にゲージ場を消滅させるゲージ変換が存在しないことです。

ゲージ理論のダイナミクスを解析する際には、ゲージ場は、物理的状況を記述する他の対象と同様に、動的変数として扱われなければなりません。ゲージ場は、共変微分を介して他の対象と相互作用するだけでなく、通常、「自己エネルギー」項の形でエネルギーを寄与します。ゲージ理論の方程式は、次のようにして得られます。

• ゲージ場を用いない素朴な仮説（導関数が「裸の」形で現れる）から出発する。
• 連続的なパラメータ（一般的には回転角の抽象的な等価物）によって特徴付けられる、理論のグローバルな対称性を列挙する。
• 対称性パラメータが場所によって変化することを許容することによって生じる補正項を計算すること。
• これらの補正項を1つ以上のゲージ場との結合として再解釈し、これらの場に適切な自己エネルギー項と動的挙動を与える。

これは、ゲージ理論がグローバルな対称性をローカルな対称性に「拡張」するという意味であり、一般相対性理論として知られる重力のゲージ理論の歴史的発展と非常によく似ている。

物理実験の結果をモデル化するために使用されるゲージ理論は、以下のことを行う。

• 可能な構成の宇宙を、実験の設定に使用された情報と矛盾しないものに限定し、
• 実験が測定しようとしている可能性のある結果の確率分布を計算する。

特定の座標系（ゲージの選択を含む）を参照せずに、「セットアップ情報」や「測定結果の可能性」、あるいは実験の「境界条件」を数学的に表現することはできません。外部からの影響から隔離された適切な実験を前提としていますが、これはそれ自体がゲージに依存する記述です。境界条件におけるゲージ依存性の計算を誤ると、異常が発生することが多く、異常を回避するためのアプローチによってゲージ理論が分類されます。

上述の2つのゲージ理論、連続体電磁気学と一般相対性理論は、連続体場理論である。連続体理論における計算手法は、暗黙のうちに以下のことを前提としている。

• ゲージの選択が完全に固定されている場合、個々の構成の境界条件は完全に記述される。
• 完全に固定されたゲージと完全な境界条件が与えられた場合、最小作用は一意の数学的構成を決定し、したがってこれらの境界と整合する一意の物理的状況を決定する。
• ゲージを固定しても、境界条件に関する部分的な情報を記述する際のゲージ依存性や、理論の不完全性に起因する異常は計算に生じない。

測定結果の可能性を判断する手順は以下のとおりです。

• 設定情報と一致する境界条件によって決定されるすべての物理的状況に対する確率分布を確立する
• 考えられるあらゆる物理的状況における測定結果の確率分布を確立する
• これら2つの確率分布を畳み込むことで、設定情報と一致する測定結果の分布が得られる。

これらの仮定は、幅広いエネルギー規模と実験条件において十分な妥当性を持ち、光、熱、電気、日食、宇宙飛行など、日常生活で遭遇するほぼすべての現象について正確な予測を可能にします。これらの理論が破綻するのは、理論自体の欠陥や、乱流やその他の混沌とし​​た現象など、数学的手法自体が破綻する場合など、最小規模と最大規模の場合に限られます。

これらの古典的な連続場理論を除けば、最も広く知られているゲージ理論は量子場理論であり、量子電磁力学や素粒子物理学の標準模型などが含まれる。量子場理論の出発点は、連続体理論の出発点とよく似ている。すなわち、最小作用の原理に従って「許容される」物理的状況を特徴付けるゲージ共変作用積分である。しかし、連続体理論と量子理論は、ゲージ変換によって表される余剰自由度の扱い方において大きく異なる。連続体理論、および最も単純な量子場理論のほとんどの教育的解説では、ゲージ固定処方を使用して、特定の物理的状況を表す数学的構成の軌道を、より小さなゲージ群（大域対称群、あるいは自明群）によって関連付けられたより小さな軌道に縮小する。

より高度な量子場理論、特に非可換ゲージ群を含む理論では、摂動論の手法において、追加の場（ファデエフ・ポポフのゴースト）と異常相殺を動機とする対項を導入することでゲージ対称性を破り、 BRST量子化と呼ばれる手法が用いられる。これらの問題は、ある意味では高度に技術的なものであるが、測定の性質、物理的状況に関する知識の限界、不完全に指定された実験条件と不完全に理解された物理理論との相互作用にも密接に関係している。ゲージ理論を扱いやすくするために開発された数学的手法は、固体物理学や結晶学から低次元トポロジーに至るまで、他の多くの分野で応用されている。

静電気学では、電場Eまたはそれに対応する電位Vのいずれかについて議論することができます。一方が分かれば他方も求めることができますが、定数だけ異なる電位は例外です。${\displaystyle V\mapsto V+C}$これらは同じ電場に対応します。これは、電場が空間のある点から別の点への電位の変化に関係しており、電位の変化を求めるために引き算をすると定数Cが相殺されるためです。ベクトル解析の観点から言えば、電場は電位の勾配です。${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$静電気から電磁気学に一般化すると、2番目の電位、ベクトル電位Aが得られ、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

一般的なゲージ変換は、単に${\displaystyle V\mapsto V+C}$しかし

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &\mapsto \mathbf {A} +\nabla f\\V&\mapsto V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{aligned}}}$

ここで、fは位置と時間に依存する任意の2回連続微分可能な関数である。電磁場はゲージ変換後も変化しない。

このセクションの残りの部分を理解するには、古典場理論または量子場理論、およびラグランジアンの使用法についてある程度の知識が必要です。

このセクションの定義:ゲージ群、ゲージ場、相互作用ラグランジアン、ゲージボソン。

以下では、局所ゲージ不変性が、大域的な対称性から出発してどのように経験的に「動機づけられる」か、そしてそれがどのようにして元々相互作用しない場間の相互作用につながるかを説明する。

一連の${\displaystyle n}$質量が等しい実数スカラー場（相互作用なし）からなる系。この系は、各スカラー場に対する（通常の）作用の和である作用によって記述される。$\displaystyle \varphi _{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]}$

ラグランジアン（密度）は、次のように簡潔に記述できます。

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

場のベクトルを導入することによって

${\displaystyle \ \Phi ^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})}$

用語${\displaystyle \partial _{\mu }\Phi }$は、​${\displaystyle \Phi }$寸法に沿って${\displaystyle \mu }$。

ラグランジアンが変換の下で不変であることは明らかです

${\displaystyle \ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi }$

G がn × n直交群O( n )に属する定数行列である場合。これは、導関数がラグランジアンを保存することがわかります。${\displaystyle \Phi '}$と全く同じように変換する${\displaystyle \Phi }$そして、両方の量はラグランジアンのドット積の中に現れる（直交変換はドット積を保存する）。

${\displaystyle \ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi }$

これは、この特定のラグランジアンのグローバル対称性を特徴づけるものであり、この対称群はしばしばゲージ群と呼ばれます。数学用語では構造群と呼ばれ、特にG構造の理論において用いられます。ちなみに、ノーターの定理は、この変換群の下での不変性が電流の保存につながることを示唆しています。

${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi }$

ここで、T ^a行列はSO​​( n ) 群の生成元である。各生成元に対して保存電流が 1 つ存在する。

さて、このラグランジアンが局所的なO( n ) 不変性を持つように要求するには、G行列 (以前は定数であった) が時空座標xの関数になることを許容する必要がある。

この場合、G = G ( x )のとき、 G行列は導関数を「通過」しません。

${\displaystyle \ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )}$

導関数が「G」と可換でないと、（積の法則に従って）追加の項が生じ、ラグランジアンの不変性が損なわれます。これを修正するために、導関数が${\displaystyle \Phi '}$再び同じように変換します${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \(D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi }$

この新しい「導関数」は（ゲージ）共変導関数と呼ばれ、次の形式をとる。

${\displaystyle \ D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }}$

ここで、gは結合定数と呼ばれ、相互作用の強さを定義する量である。簡単な計算の後、ゲージ場A ( x )は次のように変換されなければならないことがわかる。

${\displaystyle \ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}}$

ゲージ場はリー代数の要素であり、したがって次のように展開できる。

${\displaystyle \ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}}$

したがって、ゲージ場の数はリー代数の生成子の数と同じである。

最後に、局所的にゲージ不変なラグランジアンが得られました。

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

パウリは、第1種のゲージ変換という用語を、${\displaystyle \Phi }$補償変換は${\displaystyle A}$これは第二種ゲージ変換と呼ばれる。

このラグランジアンと元のグローバルゲージ不変ラグランジアンとの差は、相互作用ラグランジアンであることがわかる。

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{\mathsf {T}}A_{\mu }^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi }$

この項は、局所ゲージ不変性の要求の結果として、n 個のスカラー場間の相互作用を導入します。しかし、この相互作用を物理的で完全に恣意的でないものにするためには、媒介関数A ( x ) が空間を伝播する必要があります。これは次のセクションで、さらに別の項を追加することによって対処されます。${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }}$ラグランジアンに。得られた古典場理論の量子化バージョンでは、ゲージ場A ( x ) の量子はゲージボソンと呼ばれます。量子場理論における相互作用ラグランジアンの解釈は、これらのゲージボソンの交換によって相互作用するスカラーボソンです。

前節で展開した古典ゲージ理論の図はほぼ完成しているが、共変微分Dを定義するにはゲージ場の値を知る必要があるという点だけは例外である。${\displaystyle A(x)}$すべての時空点において。この場の値を手動で指定する代わりに、場の方程式の解として与えることができる。さらに、この場の方程式を生成するラグランジアンも局所的にゲージ不変である必要があるため、ゲージ場のラグランジアンの可能な形式の一つは次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{gf}}=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}}$

どこで${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$電位から得られる${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$の構成要素である${\displaystyle A(x)}$、 による

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

そして${\displaystyle f^{abc}}$はゲージ群の生成子のリー代数の構造定数である。このラグランジアンの定式化はヤン・ミルズ作用と呼ばれる。他にもゲージ不変な作用が存在する（例えば、非線形電磁気学、ボーン・インフェルド作用、チャーン・サイモンズ模型、シータ項など）。

このラグランジュ項には、変換が の 変換と釣り合う場は存在しない。${\displaystyle A}$ゲージ変換の下でのこの項の不変性は、先験的な古典的（幾何学的）対称性の特殊なケースである。量子化を実行するにはこの対称性を制限する必要があり、その手順はゲージ固定と呼ばれるが、制限後でもゲージ変換は可能である可能性がある。^{[ 12 ]}

ゲージ理論の完全なラグランジアンは次のようになります。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}={\mathcal {L}}_{\text{global}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}}$

前節で展開した形式論の簡単な応用例として、電子場のみを含む電磁気学の場合を考えてみましょう。電子場のディラック方程式を生成する基本的な作用は次のとおりです。

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi \,\mathrm {d} ^{4}x}$

このシステムのグローバル対称性は

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\theta }\psi }$

ここでのゲージ群はU(1)であり、場の位相角の回転のみであり、特定の回転は定数θによって決定されます。

この対称性を「局所化」するとは、 θをθ ( x )に置き換えることを意味する。適切な共変微分は次のようになる。

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }}$

「電荷」e （対称性記述における数学定数eとは混同しないように）を通常の電荷（これがゲージ理論におけるこの用語の使用の起源である）と同一視し、ゲージ場A ( x )を電磁場の4元ベクトルポテンシャルと同一視すると、相互作用ラグランジアンが得られる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)}$

どこ${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$はディラック場における電流の4元ベクトルである。したがって、ゲージ原理は電磁場と電子場のいわゆる最小結合を自然に導入するものと見なせる。

ゲージ場のラグランジアンを追加する${\displaystyle A_{\mu }(x)}$電場強度テンソルに関して、電気力学の場合と全く同じように、量子電気力学の出発点として使用されるラグランジアンが得られる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

最初に量子化されたゲージ理論は量子電磁力学（QED）でした。このために開発された最初の方法は、ゲージ固定を行い、その後正準量子化を適用するというものでした。グプタ・ブロイラー法もこの問題に対処するために開発されました。現在では、非可換ゲージ理論はさまざまな方法で扱われています。量子化の方法については、量子化に関する記事で解説されています。

量子化の主な目的は、理論で許容される様々な過程における量子振幅を計算できるようにすることである。厳密に言えば、これは真空状態における特定の相関関数の計算に帰着する。これには理論の再規格化が伴う。

理論のランニング結合定数が十分に小さい場合、必要な量はすべて摂動論で計算できる。このような計算を簡略化するための量子化手法（正準量子化など）は、摂動量子化手法と呼ばれる。現在、これらの手法の中には、ゲージ理論の最も精密な実験的検証につながるものもある。

しかし、ほとんどのゲージ理論には、摂動論に基づかない興味深い問題が数多く存在する。これらの問題に適した量子化スキーム（格子ゲージ理論など）は、非摂動量子化スキームと呼ばれることがある。このようなスキームにおける精密な計算にはスーパーコンピューティングが必要となることが多く、そのため現状では他のスキームに比べて開発が進んでいない。

古典理論の対称性の一部は量子理論では成り立たないことがわかっています。これは異常現象と呼ばれます。最もよく知られている例としては、次のようなものがあります。

• スケール異常は、ランニング結合定数を生み出す。量子電磁力学（QED）では、これはランダウ極の現象を引き起こす。量子色力学（QCD）では、これは漸近的自由につながる。
• フェルミオンを含むカイラル場理論またはベクトル場理論におけるカイラル異常。これはインスタントンの概念を通してトポロジーと密接な関係がある。QCDでは、この異常によりパイ中間子が2つの光子に崩壊する。
• ゲージ異常は、あらゆる整合性のある物理理論において必ず相殺されなければならない。電弱理論では、この相殺にはクォークとレプトンの数が等しいことが必要となる。