非線形実現

数理物理学において、カルタン部分群H を持つリー群Gの非線形実現は、 Gの特定の誘導表現である。実際、それはリー代数の表現である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Gの原点近傍における表現。非線形実現は、部分群Hに制限すると線形表現に還元される。

非線形実現技術は、自発的対称性の破れを伴う多くの場の理論、例えば、カイラルモデル、カイラル対称性の破れ、ゴールドストーンボソン理論、 古典的ヒッグス場理論、ゲージ重力理論、超重力理論に不可欠な要素である。

Gをリー群、 H をベクトル空間Vにおける線形表現を許容するカルタン部分群とする。リー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Gの は合計に分割されます${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {f}}}$カルタン部分代数の${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ Hとそのサプリメント${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$、したがって

${\displaystyle [{\mathfrak {f}},{\mathfrak {f}}]\subset {\mathfrak {h}},\qquad [{\mathfrak {f}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {f}}.}$

（例えば物理学では、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ベクトル生成器に相当し、${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$（軸方向のものへ。）

Gの単位の開近傍 Uが存在し 、任意の要素が${\displaystyle g\in U}$ 独自の形で

${\displaystyle g=\exp(F)\exp(I),\qquad F\in {\mathfrak {f}},\qquad I\in {\mathfrak {h}}.}$

させて${\displaystyle U_{G}}$Gの単位の開近傍であって 、 ${\displaystyle U_{G}^{2}\subset U}$、そして${\displaystyle U_{0}}$H不変中心の開いた近傍である $\displaystyle \sigma _{0}}$ 要素からなる商G/Hの

${\displaystyle \sigma =g\sigma _{0}=\exp(F)\sigma _{0},\qquad g\in U_{G}.}$

それから、ローカルセクションがあります${\displaystyle s(g\sigma _{0})=\exp(F)}$の${\displaystyle G\to G/H}$ 以上${\displaystyle U_{0}}$。

この局所的なセクションを用いることで、要素の誘導表現（非線形実現と呼ばれる）を定義することができる。${\displaystyle g\in U_{G}\subset G}$の上${\displaystyle U_{0}\times V}$式で与えられる

${\displaystyle g\exp(F)=\exp(F')\exp(I'),\qquad g:(\exp(F)\sigma _{0},v)\to (\exp(F')\sigma _{0},\exp(I')v).}$

対応するリー代数の非線形実現 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Gの形式は次のようになります。

させて${\displaystyle \{F_{\alpha }\}}$、${\displaystyle \{I_{a}\}}$基礎となる${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$それぞれ、交換関係とともに

${\displaystyle [I_{a},I_{b}]=c_{ab}^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },F_{\beta }]=c_{\alpha \beta }^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },I_{b}]=c_{\alpha b}^{\beta }F_{\beta }.}$

次に、望ましい非線形実現${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ で${\displaystyle {\mathfrak {f}}\times V}$ 読む

${\displaystyle F_{\alpha }:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },F_{\alpha }(v)),\qquad I_{a}:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (I_{a}(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },I_{a}v),}$、

${\displaystyle F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })=\delta _{\alpha }^{\gamma }+{\frac {1}{12}}(c_{\alpha \mu }^{\beta }c_{\beta \nu }^{\gamma }-3c_{\alpha \mu }^{b}c_{\nu b}^{\gamma })\sigma ^{\mu }\sigma ^{\nu },\qquad I_{a}(\sigma ^{\gamma })=c_{a\nu }^{\gamma }\sigma ^{\nu },}$

2次まで $\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$。

物理モデルでは、係数$\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$これらはゴールドストーン場として扱われる。同様に、リー超代数の非線形実現も 考慮される。

• 誘導表現
• キラルモデル

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