ゲージ重力理論

量子場の理論において、ゲージ重力理論は、基本的な相互作用の普遍的な記述を提供するヤン＝ミルズ理論を重力を記述するために拡張する試みである。

ゲージ重力理論は、似た名前のゲージ理論重力と混同してはならない。ゲージ理論重力は、（古典的な）重力を幾何代数の言語で定式化したものだ。また、ゲージ場は重力そのものではなく、粒子場を記述するために使用されるカルツァ＝クラインの理論とも混同してはならない。

最初の重力ゲージ模型は、ゲージ理論の誕生からわずか2年後の1956年に内山良雄（1916–1990）によって提案されました。^{[1 ] [2]しかし、内部対称性のゲージ模型からの類推によって重力ゲージ理論を構築しようとする初期の試みは、一般共変変換の扱いと}擬リーマン計量（四元体） のゲージ状態を確立するという問題に直面しました。

この欠点を克服するために、テトラッド場を並進群のゲージ場として表すことが試みられた。^[3]一般共変変換の無限小生成元は並進ゲージ群のものと見なされ、テトラッド（コフレーム）場は世界多様体上のアフィン接続の並進部分と同一視された。このような接続はいずれも、非ホロノミックフレームである線形世界接続とはんだ付け形式の和である。たとえば、 がカルタン接続である場合、 は上の標準はんだ付け形式である。アフィン接続の並進部分には、さまざまな物理的解釈がある。転位のゲージ理論では、場は歪みを記述する。^[4]同時に、線形フレーム が与えられた場合、分解は多くの著者がコフレームを並進ゲージ場として扱う動機となっている。^[5] ${\displaystyle X}$${\displaystyle K=\Gamma +\Theta }$ ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Theta =\Theta _{\mu }^{a}dx^{\mu }\otimes \vartheta _{a}}$${\displaystyle \vartheta _{a}=\vartheta _{a}^{\lambda }\partial _{\lambda }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Theta =\theta =dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Theta}$${\displaystyle \Theta}$${\displaystyle \vartheta _{a}}$${\displaystyle \theta =\vartheta ^{a}\otimes \vartheta _{a}}$${\displaystyle \vartheta ^{a}}$

ヤン＝ミルズ理論からの類推でゲージ重力理論を構築することの難しさは、これらの理論が異なるクラスに属することから生じる。内部対称性の場合、ゲージ変換は、基底を固定したままの主バンドル の垂直自己同型にすぎない。一方、重力理論は、への接フレームの主バンドル上に構築される。これは、基底の微分同相写像が標準的にTの自己同型を生み出す自然なバンドルのカテゴリに属する​​。^{[6]これらの自己同型は一般共変変換と呼ばれる。一般共変変換は、アインシュタインの}一般相対性理論と計量アフィン重力理論をゲージ変換として言い換えるのに十分である。 ${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\to X}$${\displaystyle X}$

自然束上のゲージ理論では、ゲージ場は世界多様体上の線型接続であり、線型フレーム束上の主接続として定義され、計量（テトラッド）重力場は一般共変変換の自発的対称性の破れを担うヒッグス場の役割を果たす。^[7]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle FX}$

自発的対称性の破れは、真空が変換群の下で不変でないときの量子効果です。古典的なゲージ理論では、主バンドルの構造群 が閉じた部分群 に還元可能である場合、つまり、構造群 を持つの主サブバンドルが存在する場合に、自発的対称性の破れが発生します。^[8]よく知られた定理により、構造群 を持つの還元された主サブバンドルと商バンドルP / H → Xのグローバルセクションの間には1対1の対応があります。これらのセクションは古典的なヒッグス場として扱われます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H}$

ヒッグス場としての擬リーマン計量の考え方は、ローレンツ群がカルタン部分群である一般線型群GL(4, R )の非線型（誘導）表現を構築するときに現れた。 ^[9]ローレンツ不変量が世界多様体全体で定義されている参照フレームの存在を仮定する幾何学的同値原理は、線型フレームバンドルFXの構造群GL(4, R )をローレンツ群に還元することの理論的根拠である。すると、商バンドルFX / O(1, 3) → Xの大域セクションとして多様体上の擬リーマン計量を定義すること自体が、ヒッグス場としてのその物理的解釈につながる。世界対称性の破れの物理的な理由は、対称群が制限ローレンツ群SO ⁺ (1, 3)の普遍的な2シート被覆SL(2, C )であるディラックフェルミオン物質の存在である。^[10]${\displaystyle X}$

• Kirsch, I. (2005). 「重力のヒッグス機構」. Phys. Rev. D. 72 : 024001. arXiv : hep-th/0503024 .

• Sardanashvily, G. (2011). 「古典ゲージ重力理論」. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 8 : 1869–1895. arXiv : 1110.1176 .

• Obukhov, Yu. (2006). 「ポアンカレゲージ重力: 選択されたトピック」. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 3 : 95–138. arXiv : gr-qc/0601090 .