ニュートン力学

物理学において、ニュートン力学（ニュートン力学とも呼ばれる）は、ニュートンの運動法則に従って粒子または小さな物体の力学を研究する学問である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

通常、ニュートン力学は平坦な3次元ユークリッド空間で発生します。しかし、数学ではニュートンの運動法則は多次元空間や曲がった空間にも一般化できます。ニュートン力学という用語は、しばしばニュートンの第二法則に限定して用いられます。${\displaystyle \displaystyle m\,\mathbf {a} =\mathbf {F} }$。

考慮する${\displaystyle \displaystyle N}$質量を持つ粒子${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$正則な3次元ユークリッド空間において。$$\mathbf{r}_1,\,\ldots,\,\mathbf{r}_N$$それらの半径ベクトルを、ある慣性座標系におけるものとする。すると、これらの粒子の運動は、それぞれの粒子に適用されるニュートンの第二法則によって支配される。

3次元半径ベクトル$$\mathbf{r}_1,\,\ldots,\,\mathbf{r}_N$$単一の${\displaystyle \displaystyle n=3N}$次元半径ベクトル。同様に、3次元速度ベクトル$$\mathbf{v}_1,\,\ldots,\,\mathbf{v}_N$$$単一の${\displaystyle \displaystyle n=3N}$-次元速度ベクトル:

多次元ベクトル（ 2 ）に関して、方程式（1）は次のように記述される。

すなわち、それらは単位質量を持つ単一の粒子に適用されるニュートンの第二法則の形をとる。${\displaystyle \displaystyle m=1}$。

定義。式（3 ）は、平坦な多次元ユークリッド空間におけるニュートン力学系の式と呼ばれ、この空間は、この系の構成空間と呼ばれる。その点は、半径ベクトルによって示される。 ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$点がベクトルのペアによってマークされる空間${\displaystyle \displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$これは力学系の位相空間と呼ばれます（ 3）。

力学系（ 3 ）の構成空間と位相空間はどちらもユークリッド空間であり、すなわちユークリッド構造を備えている。これらのユークリッド構造は、単位質量を持つ単一の多次元粒子の運動エネルギーが${\displaystyle \displaystyle m=1}$は、質量を持つ三次元粒子の運動エネルギーの合計に等しい。${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$:

場合によっては、質量を持つ粒子の運動${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$制約が課される可能性がある。典型的な制約は、次の形式のスカラー方程式のように見える。

（ 5）の形式の制約は、ホロノミック制約およびスクレノミック制約と呼ばれます。半径ベクトルに関して言えば、${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$ニュートン力学系（3）は次のように記述される。

このような制約はそれぞれ、ニュートン力学系の自由度を1つ減らします（3）。したがって、制約されたシステムは${\displaystyle \displaystyle n=3\,NK}$自由度。

定義。制約方程式（6）は、${\displaystyle \displaystyle n}$次元多様体${\displaystyle \displaystyle M}$ニュートン力学系の構成空間内（3）。この多様体${\displaystyle \displaystyle M}$制約付きシステムの構成空間と呼ばれる。その接線束${\displaystyle \displaystyle TM}$これは、制約システムの位相空間と呼ばれる。

させて$\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$点の内部座標は${\displaystyle \displaystyle M}$それらの使用法はラグランジュ力学に典型的である。半径ベクトル${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$は、ある特定の関数として表現される。$\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$:

ベクトル関数（7 ）は、（ 7）を（6）に代入すると方程式（ 6 ）が同一に満たされるという意味で、制約方程式（ 6 ）を解決します。$\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$。

拘束されたニュートン力学系の速度ベクトルは、ベクトル関数（ 7）の偏微分によって表される。

数量${\displaystyle \displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}}$これらは速度ベクトルの内部成分と呼ばれます。場合によっては、別の記号を用いて表されます。

そして、独立変数として扱われる。

位相空間内の点の内部座標として使用される。${\displaystyle \displaystyle TM}$制約されたニュートン力学系の。

幾何学的には、ベクトル関数（7）は構成空間の埋め込みを実装する。${\displaystyle \displaystyle M}$制約されたニュートン力学系を${\displaystyle \displaystyle 3\,N}$制約のないニュートン力学系の次元平坦構成空間（3）。この埋め込みにより、周囲空間のユークリッド構造が多様体上にリーマン計量を誘導する。${\displaystyle \displaystyle M}$この誘導計量の計量テンソルの成分は、次の式で与えられる。

どこ${\displaystyle \displaystyle (\ ,\ )}$はユークリッド構造に関連付けられたスカラー積である（4）。

制約のないシステムのユークリッド構造は${\displaystyle \displaystyle N}$粒子は運動エネルギーによって導入され、構成空間上に誘導されるリーマン構造が現れる。${\displaystyle \displaystyle N}$制約されたシステムの運動エネルギーとの関係は、次のようになる。

式（12）は、（8）を（4 ）に代入し、（ 11）を考慮することによって導出される。

制約付きニュートン力学系の場合、式（ 6 ）で記述される制約は通常、何らかの力学的枠組みによって実現されます。この枠組みは、システムをその構成多様体内に維持する力を含む、いくつかの補助力を生成します。${\displaystyle \displaystyle M}$このような維持力は垂直で、${\displaystyle \displaystyle M}$これは垂直抗力と呼ばれます。${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} }$（６）は２つの成分に細分化される

（ １３ ）の最初の成分は構成多様体に接している${\displaystyle \displaystyle M}$2番目の成分は${\displaystyle \displaystyle M}$垂直抗力と一致する${\displaystyle \displaystyle \mathbf {N} }$ 速度ベクトル（8 ）と同様に、接線力も ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$内部プレゼンテーションがあります

数量${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$（１４）式は力ベクトルの内部成分と呼ばれる。

構成多様体に制約されたニュートン力学系（3 ）${\displaystyle \displaystyle M}$制約方程式（6）は微分方程式によって記述される

どこ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{s}}$は、リーマン計量によって生成される計量接続のクリストッフェル記号である（ 11）。

制約条件のある機械システムは通常、ラグランジュ方程式によって記述される。

どこ${\displaystyle T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})}$は、式（12）で与えられる拘束された動的システムの運動エネルギーである。${\displaystyle Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}}$（１６ ）は接線力ベクトルの内部共変成分である。${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$（（13）および（14）を参照）。これらは内部反変成分から生成される。${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$ベクトルの${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$標準的な指標低下手順（11）を用いて、

式（16）は式（15）と等価である。ただし、計量（11）および構成多様体のその他の幾何学的特徴は異なる。${\displaystyle \displaystyle M}$（16）には明示されていない。計量（11）は運動エネルギーから復元できる。${\displaystyle \displaystyle T}$式を用いて

• 修正ニュートン力学