ゲージ固定

ゲージ理論の物理学において、ゲージ固定（ゲージ選択とも呼ばれる）とは、場変数の冗長な自由度に対処するための数学的手順を指す。定義によれば、ゲージ理論は、系の物理的に異なる各構成を、詳細な局所場構成の同値類として表す。同じ同値類に属する任意の2つの詳細な構成は、構成空間における非物理的な軸に沿ったせん断に相当する、ある特定の変換によって関連付けられる。ゲージ理論の定量的な物理的予測のほとんどは、これらの非物理的な自由度を抑制または無視するための首尾一貫した手順の下でのみ得られる。

詳細配置空間における非物理的な軸は物理モデルの基本的な性質ではあるものの、それらに「垂直」な方向の特別なセットは存在しない。したがって、各物理配置を特定の詳細配置（あるいはそれらの重み付き分布）で表す「断面」を取る際には、膨大な自由度が伴う。適切なゲージ固定は計算を大幅に簡略化できるが、物理モデルがより現実的になるにつれて次第に難しくなる。量子場理論への適用は、特に計算を高次まで続ける場合、繰り込みに関連する複雑な問題に満ちている。歴史的に、論理的に一貫性があり計算上扱いやすいゲージ固定手順の探求と、途方もないほど多様な技術的困難に直面しながらもそれらの等価性を実証しようとする努力は、 19世紀後半から現在に至るまで、数理物理学の主要な推進力となってきた。

典型的なゲージ理論は、電磁四元ポテンシャルを用いた連続体電気力学のヘヴィサイド・ギブス定式化であり、ここでは時空間非対称ヘヴィサイド記法で示されている。マクスウェル方程式の電場Eと磁場Bは、「物理的」自由度のみを含む。つまり、電磁場構成におけるすべての数学的自由度は、近傍の試験電荷の運動に個別に測定可能な影響を与える。これらの「場強度」変数は、電気スカラーポテンシャルを用いて表現できる。${\displaystyle \varphi }$そして、磁気ベクトルポテンシャルAは以下の関係式によって表される。 $${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }。$$

変換が

が作成されると、B は変化しないままになります。なぜなら (恒等式で)${\displaystyle \nabla \times \nabla \psi =0}$） $${\displaystyle {\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

しかし、この変換はEを次のように 変化させる。$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}.}$$

別の変更があった場合

が作成される場合、 Eも同じままです。したがって、任意の関数ψ ( r , t )を取り、変換 ( 1 ) および ( 2 ) を介してAとφ を同時に変換すると、EおよびBフィールドは変化しません。

スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの特定の選択をゲージ（より正確にはゲージポテンシャル）と呼び、ゲージを変更するために用いられるスカラー関数ψをゲージ関数と呼ぶ。任意の数のゲージ関数ψ ( r , t )が存在することは、この理論のU(1)ゲージ自由度に対応する。ゲージ固定は様々な方法で行うことができるが、そのいくつかを以下に示す。

古典電磁気学は現在ではゲージ理論として語られることが多いが、元々はそのような概念として構想されたものではなかった。古典的な点電荷の運動は、その点における電場と磁場の強さのみに影響され、ポテンシャルは証明や計算を簡略化するための単なる数学的道具として扱われる。ポテンシャル自体がシステムの物理的構成の一部であると言えるようになったのは、量子場理論の出現以降である。正確に予測され、実験的に検証された最初の結果は、古典的には対応しないアハロノフ・ボーム効果であった。しかしながら、これらの理論においてもゲージ自由度は依然として成り立つ。例えば、アハロノフ・ボーム効果は閉ループに沿った Aの線積分に依存し、この積分は$${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.}$$

ヤン・ミルズ理論や一般相対性理論などの非可換ゲージ理論におけるゲージ固定は、かなり複雑なトピックです。詳細については、グリボフ曖昧性、ファデエフ・ポポフゴースト、フレームバンドルを参照してください。

イラスト

ゲージ固定の例として、円筒形の棒を見て、それがねじれているかどうかを判断してみましょう。棒が完全に円筒形であれば、断面の円対称性によって、ねじれているかどうかを判断することは不可能です。しかし、棒の長さに沿って直線が引かれていれば、その直線の状態を見ることで、ねじれているかどうかを簡単に判断できます。直線を引くことはゲージ固定です。直線を引くと、ゲージ対称性、つまり棒の各点における断面の円対称性U(1)が損なわれます。この直線はゲージ関数に相当し、必ずしも直線である必要はありません。ほとんどすべての直線が有効なゲージ固定となり、つまり、大きなゲージ自由度が存在します。要約すると、棒がねじれているかどうかを判断するには、ゲージを知る必要があります。ねじれエネルギーなどの物理量はゲージに依存しません。つまり、ゲージ不変です。

クーロンゲージ（横方向ゲージ^{[ 1 ]}または放射ゲージ^{[ 2 ]}とも呼ばれる）は量子化学および凝縮系物理学で使用され、ゲージ条件（より正確にはゲージ固定条件）によって定義されます。 $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.}$$

これは、ベクトルポテンシャルは量子化されているがクーロン相互作用は量子化されていない、量子力学における「半古典的」計算に特に有用である。

クーロンゲージにはいくつかの特性があります。

ローレンツゲージは、SI単位で次のように表されます。 $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$$ガウス単位 では、次のようになります。 $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

これは次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$ どこ${\displaystyle A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]}$は電磁4次元ポテンシャル、∂μ_は4次元勾配（計量記号（+、−、−、−）を使用）です。

これは、拘束ゲージの中で唯一、明白なローレンツ不変性を保持している点が特徴です。ただし、このゲージはもともとデンマークの物理学者ルドヴィグ・ローレンツにちなんで名付けられたものであり、ヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられたものではないことに注意してください。そのため、「ローレンツゲージ」と誤って綴られることがよくあります。（どちらも計算に最初に用いたわけではなく、1888年にジョージ・フランシス・フィッツジェラルドによって導入されました。）

ローレンツゲージを用いると、ポテンシャルに関して以下の非斉次波動方程式が得られる。 $${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J} }$$

これらの式から、電流と電荷が存在しない場合、解は光速で伝播する電位であることがわかる。

ローレンツゲージはある意味で不完全である。制約条件を保持できるゲージ変換の部分空間が残っている。これらの残りの自由度は、波動方程式を満たすゲージ関数に対応する。$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi }$$

これらの残りのゲージ自由度は光速で伝播する。完全に固定されたゲージを得るには、実験領域の光円錐に沿って境界条件を追加する必要がある。

ローレンツゲージにおけるマクスウェル方程式は、以下のように簡略化される。 $${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }}$$ どこ${\displaystyle j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]}$は4つの電流です。

同じ電流構成に対するこれらの方程式の2つの解は、真空波方程式の解によって異なる。 $${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0.}$$ この形式では、ポテンシャルの各成分がそれぞれクライン・ゴルドン方程式を満たすことが明らかであり、したがってローレンツゲージ条件は、4元ポテンシャルにおいて横偏光、縦偏光、および「時間的」偏光波を許容する。横偏光は古典的な放射、すなわち電場強度における横偏光波に対応する。古典的な距離スケールでの実験では観測されない「非物理的な」縦偏光および時間的偏光状態を抑制するには、ワード恒等式として知られる補助的な制約も用いる必要がある。古典的には、これらの恒等式は連続方程式と等価である。$${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0.}$$

古典電磁気学と量子電磁力学の多くの相違点は、微小な距離にある荷電粒子間の相互作用において、縦方向および時間的な分極が果たす役割によって説明できる。

Rξゲージは_、ラグランジアン密度を持つ作用原理で表現される理論に適用可能なローレンツゲージの一般化である。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ゲージ場を補助方程式によって事前に制約することでゲージを固定する代わりに、 「物理的」（ゲージ不変）ラグランジアンに ゲージ破れ項を追加する。$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}}$$

パラメータξの選択によってゲージの選択が決まります。R ξランダウ ゲージは古典的にはローレンツ ゲージと等価です。これはξ  → 0_の極限で得られます が、理論が量子化されるまでその極限を取るのを延期します。これにより、特定の存在証明と等価証明の厳密性が向上します。ほとんどの量子場理論の計算は、 ξ = 1であるファインマン-'t Hooft ゲージで最も簡単に行えます。一部は、ドナルド R. イェニーにちなんで名付けられたイェニー ゲージξ = 3など、他のR _ξゲージで扱いやすいものもあります。

Rξゲージの同等の定式化では、独立したダイナミクスを持たない スカラー場B_という補助場を使用します。$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}}$$

補助場（中西・ラウトラップ場とも呼ばれる）は、「平方完成」によって消去することで、前述の形式を得ることができる。数学的な観点から見ると、補助場はゴールドストーンボソンの一種であり、理論の漸近状態を特定する際、特に量子電磁力学（QED）を超えて一般化する際に、その利用には利点がある。

歴史的に、 R _ξゲージの使用は、量子電磁力学の計算を1 ループの次数を超えて拡張する上で重要な技術的進歩でした。R _ξ処方は、明白なローレンツ不変性を保持するだけでなく、物理的に異なる任意の 2 つのゲージ構成の関数尺度の比を維持しながら、局所ゲージ変換の下での対称性を破ります。これにより、構成空間の「物理的」方向に沿った無限小の摂動が「非物理的」方向に沿った摂動から完全に分離されるような変数変換が可能になり、後者は関数積分の物理的に意味のない正規化に吸収されます。ξ が有限の場合、各物理的構成 (ゲージ変換群の軌道) は、拘束方程式の単一の解ではなく、ゲージ破れ項の極値を中心とするガウス分布によって表されます。ゲージ固定理論のファインマン規則の観点からすると、これは非物理的偏光の仮想光子からの内部線に対する光子プロパゲーターへの寄与として現れます。

QED計算のファインマン図展開における内部光子に対応する乗法因子である光子プロパゲーターには、ミンコフスキー計量に対応する因子gμν_が含まれています。この因子を光子偏光の和として展開すると、4つの可能な偏光すべてを含む項が現れます。横偏光放射は、直線偏光基底または円偏光基底の和として数学的に表現できます。同様に、縦方向および時間的ゲージ偏光を組み合わせて「前方」および「後方」偏光を得ることができます。これらは、計量が非対角である光円錐座標の一種です。円偏光（スピン±1）および光円錐座標によるgμν因子の展開は_、スピン和と呼ばれます。スピン和は、式を簡略化したり、理論計算の異なる項に関連する実験効果の物理的理解を得るのに非常に役立ちます。

リチャード・ファインマンは、電子の異常磁気モーメントなどの重要な観測パラメータについて、一貫性があり、有限で、高精度の結果を生み出す計算手順を正当化するために、おおよそこのような論拠を用いた。彼の論拠は、物理学者の基準から見ても数学的な厳密さに欠ける場合があり、量子論のワード・タカハシ恒等式の導出などの詳細を省略していたものの、彼の計算はうまくいき、フリーマン・ダイソンはすぐに、彼の方法がジュリアン・シュウィンガーや朝永慎一郎の方法と実質的に同等であることを証明した。ファインマンは、1965年のノーベル物理学賞を朝永と共同受賞している。

量子場理論の漸近状態では、前方および後方偏光放射は省略できます（ワード・タカハシ恒等式を参照）。このため、また、スピン和におけるそれらの出現は、QED では単なる数学的装置と見なせるため（古典電磁気学における電磁 4 元ポテンシャルと同様）、それらはしばしば「非物理的」と呼ばれます。しかし、上記の制約に基づくゲージ固定手順とは異なり、R _ξゲージは、 QCDのSU(3)のような非可換ゲージ群によく一般化されます。物理的および非物理的な摂動軸間の結合は、対応する変数変換の下で完全には消滅しません。正しい結果を得るには、詳細構成の空間内へのゲージ自由軸の埋め込みの非自明なヤコビアンを考慮する必要があります。これにより、ファインマン図には前方偏極ゲージボソンと後方偏極ゲージボソンが明示的に現れるとともに、スピン統計定理に違反するという点でさらに「非物理的」なファデエフ・ポポフゴーストも現れる。これらの実体間の関係、そしてそれらが量子力学的な意味で粒子として現れない理由は、BRST形式の量子化においてより明確になる。

非可換ゲージ理論では、任意の最大可換ゲージは、最大可換部分群の外側でゲージ自由度を固定する不完全ゲージである。例は以下のとおりである。

• D次元のSU(2)ゲージ理論では、最大アーベル部分群はU(1)部分群である。これがパウリ行列σ3によって生成されるものとして選択される場合、最大アーベルゲージは関数を最大化するものである_。$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,}$$どこ$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.}$$
• D次元のSU(3)ゲージ理論では、最大アーベル部分群はU(1)×U(1)部分群である。これがゲルマン行列λ3_とλ8によって生成されるものとなるように選択すると、最大アーベルゲージは関数を最大化するゲージと_なる。$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,}$$どこ$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}}$$

これは、例えばクリフォード代数のように、より高次の代数（代数内の群）で定期的に適用され、定期的に適用されます。

文献には、特定の状況で役立つ可能性のあるさまざまなゲージが登場している。^{[ 1 ]}

• ランダウ、レフ；リフシッツ、エフゲニー（2007）。『古典場理論』アムステルダム：エルゼビア・バターワース・ハイネマン。ISBN 978-0-7506-2768-9。
• Jackson, JD (1999).古典電磁気学（第3 版）. ニューヨーク：Wiley. ISBN 0-471-30932-X。