ウィルソンループ

量子場の理論において、ウィルソンループは、閉ループの周りのゲージ変数の平行移動から生じるゲージ不変演算子である。これらは理論のすべてのゲージ情報をエンコードし、これらのループに関してゲージ理論を完全に記述するループ表現の構築を可能にする。純粋ゲージ理論では、これらは閉じ込めに対する順序演算子の役割を果たし、面積法則として知られるものを満たす。 1974年にケネス・G・ウィルソンによって最初に定式化され、格子ゲージ理論の基本パラメータであるリンクとプラケットを構築するために使用された。^[1]ウィルソンループは、より広いクラスのループ演算子に分類され、他の注目すべき例としては、ウィルソンループの磁気双対であるトホーフトループや、ウィルソンループの熱バージョンであるポリアコフループがある。

ゲージ理論でウィルソンループを適切に定義するには、ゲージ理論のファイバー束の定式化を考慮する必要があります。 ^[2]ここで、次元時空内の各点に対して、ゲージ群のコピーがあり、ファイバー束のファイバーと呼ばれるものを形成します。これらのファイバー束は主束と呼ばれます。局所的には結果として生じる空間はのように見えますが、全体的には、異なるファイバーがどのように接着されているかに応じて、ねじれた構造を持つことがあります。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\times G}$

ウィルソン線が解決する問題は、2 つの異なる時空点にあるファイバー上の点をどのように比較するかということです。これは、異なる点の接空間にある接ベクトルを比較する一般相対性理論における平行輸送に類似しています。主バンドルの場合、ゲージ場を導入することと同等の接続を導入することで、異なるファイバー点を比較する自然な方法があります。これは、接続が主バンドルの接空間を垂直部分空間と水平部分空間と呼ばれる 2 つの部分空間に分離する方法であるためです。^[3]前者はファイバーに沿うすべてのベクトルで構成され、後者はファイバーに垂直なベクトルで構成されます。これにより、異なる時空点のファイバー値を、接ベクトルが常に水平部分空間にある主バンドル内の曲線で接続することにより比較することができ、曲線は常に任意のファイバーに対して垂直になります。 ${\displaystyle G}$

開始ファイバーが恒等式の開始点の座標にある場合、別の時空座標に移動したときにこれがどのように変化するかを見るには、と間の時空曲線を考慮する必要があります。主バンドル内の対応する曲線は、の水平リフトとして知られ、であり、その接線ベクトルが常に水平部分空間内にあるような曲線です。ゲージ理論のファイバーバンドル定式化により、リー代数値のゲージ場は水平部分空間を定義する接続と同等であることがわかり、これにより水平リフトの 微分方程式が導かれます。${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle g_{i}=e}$${\displaystyle x_{f}}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{f}}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle {\チルダ {\gamma }}(t)}$${\displaystyle {\チルダ {\gamma }}(0)=g_{i}}$${\displaystyle A_{\mu}(x)=A_{\mu}^{a}(x)T^{a}}$

${\displaystyle i{\frac {dg(t)}{dt}}=A_{\mu }(x){\frac {dx^{\mu }}{dt}}g(t).}$

これには、 2点間の ウィルソン線と呼ばれる唯一の形式解がある。

${\displaystyle g_{f}(t_{f})=W[x_{i},x_{f}]={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int _{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu }\,dx^{\mu }{\bigg )},}$

ここで、は経路順序付け演算子であり、アーベル理論では不要です。恒等ファイバー点以外の初期ファイバー点から始まる水平リフトは、元の水平リフトの初期要素による乗算のみを必要とします。より一般的には、であれば、すべての に対してが成り立ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\チルダ {\gamma }}'(0)={\チルダ {\gamma }}(0)g}$${\displaystyle {\チルダ {\ガンマ }}'(t)={\チルダ {\ガンマ }}(t)g}$${\displaystyle t\geq 0}$

局所ゲージ変換の もとでウィルソン線は次のように変換される。 ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle W[x_{i},x_{f}]\rightarrow g(x_{f})W[x_{i},x_{f}]g^{-1}(x_{i}).}$

このゲージ変換特性は、ゲージ群の基本表現において変換する物質場がある場合にウィルソン線を直接導入するためによく使用され、ウィルソン線は組み合わせゲージを不変にする演算子です。^[4]これにより、ゲージ不変な方法で異なる点における物質場の比較が可能になります。 あるいは、ゲージ群の下で荷電された無限に重いテスト粒子を追加することによってウィルソン線を導入することもできます。その電荷は量子化された内部ヒルベルト空間を形成し、これを積分すると、テスト粒子の世界線としてウィルソン線が得られます。^[5]これは、理論に実際に物質内容があるかどうかに関係なく、量子場の理論で機能します。 ただし、完全性予想として知られるスワンプランド予想は、量子重力の一貫した理論では、ディラックの量子化条件と一致する特定の電荷のすべてのウィルソン線とトホーフト線には、その電荷の対応する粒子が理論に存在しなければならないと主張しています。^[6]無限質量限界をとることでこれらの粒子を切り離すとブラックホールが形成されるため、もはや機能しません。 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi (x_{i})^{\dagger }W[x_{i},x_{f}]\phi (x_{f})}$

閉じたウィルソン線の軌跡は、ウィルソンループとして知られるゲージ不変量である。

数学的には、トレース内の項はホロノミーとして知られており、これは、閉じたループに沿った水平方向のリフトによるファイバーのそれ自体へのマッピングを記述する。すべてのホロノミーの集合自体はグループ を形成し、主バンドルについてはゲージ群のサブグループでなければならない。ウィルソンループは再構成特性を満たし、すべての可能なループに対するウィルソンループの集合を知ることで、ゲージ接続に関するすべてのゲージ不変情報を再構成することができる。 ^[7]正式には、すべてのウィルソンループの集合は、ガウスの法則の制約に対する解の 過剰完備 基底を形成します。

すべてのウィルソン線の集合はゲージ群の表現と一対一に対応している。これはゲージ群の重み格子を用いてリー代数言語で再定式化することができる。この場合、ウィルソンループの型はワイル群と一対一に対応している。^[8]${\displaystyle \Lambda _{w}}$${\displaystyle \Lambda _{w}/W}$${\displaystyle W}$

ウィルソンループの別の見方は、ミンコフスキーシグネチャのヒルベルト空間の状態に対して作用する演算子として考えることである。^[5]ヒルベルト空間は単一の時間スライス上に存在するため、この空間に対して演算子として作用できるウィルソンループは、空間的ループを使用して形成されたものだけである。このような演算子は、電場演算子がループ上ではゼロではないが、他の場所ではゼロになることに注目するとわかる、電束の閉ループを作成する。ストークスの定理を使用すると、空間ループはループを通る磁束を測定することになる。^[9]${\displaystyle W[\gamma ]}$${\displaystyle E^{i}}$${\displaystyle E^{i}W[\gamma ]|0\rangle \neq 0}$

時間的なウィルソン線は、無限に重い静止クォークによって生成される構成に対応するため、長さ の 2 つの時間成分と長さ の 2 つの空間成分を持つ長方形のループに関連付けられたウィルソンループは、固定された距離にあるクォーク-反クォーク対として解釈できます。長時間にわたって、ウィルソンループの真空期待値は、クォーク間のポテンシャルである最小エネルギーの状態を投影します。 ^[10]エネルギー の励起状態は時間とともに指数関数的に抑制されるため、期待値は次のように表されます。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle T}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle V(r)+\Delta E}$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-TV(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-T\Delta E})),}$

ウィルソンループはクォーク対間のポテンシャルを計算するのに有用である。このポテンシャルは必然的にクォーク間隔の単調増加かつ凹関数でなければならない。 ^{[11] [12]}空間的ウィルソンループは時間的ウィルソンループと根本的に異なるものではないため、クォークポテンシャルは純粋なヤン＝ミルズ理論の構造に直接関連しており、物質の内容とは無関係な現象である。^[13]

エリツァーの定理は、局所非ゲージ不変演算子が非ゼロの期待値を持つことがないことを保証する。代わりに、非局所ゲージ不変演算子を閉じ込めの秩序パラメータとして使用する必要がある。ウィルソンループは、純粋なヤン・ミルズ理論におけるまさにそのような秩序パラメータであり、閉じ込めフェーズではその期待値は面積法則に従う^[14]

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-aA[\gamma ]}}$

領域を囲むループの場合。これは、無限に重いテストクォーク間のポテンシャルから生まれたもので、閉じ込め段階では弦の張力として知られている線形に増加すると予想されます。一方、ヒッグス段階では、期待値は周囲の法則に従います。 ${\displaystyle A[\gamma ]}$${\displaystyle V(r)\sim \sigma r}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-bL[\gamma ]},}$

ここで はループの周囲の長さ、は定数である。ウィルソンループの面積法則は、例えば閉じ込めがインスタントンによって駆動されるシュウィンガーモデルのような低次元理論における閉じ込めを直接示すために使用できる。^[15]${\displaystyle L[\gamma ]}$${\displaystyle b}$

格子場理論では、ウィルソン線とループは格子上のゲージ場を定式化する上で基本的な役割を果たす。格子上の最小のウィルソン線、すなわち隣接する2つの格子点間の線はリンクと呼ばれ、1つのリンクは格子点から始まって で示される方向に進む。1つの正方形の周りの4つのリンクはプラケットと呼ばれ、その軌跡が最小のウィルソンループを形成する。^{[16]これらのプラケットは、}ウィルソン作用として知られる格子ゲージ作用を構成するために使用される。より大きなウィルソンループは、あるループに沿ったリンク変数の積として表され、 ^[17]で表される。${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle U_{\mu }(n)}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L[U]={\text{tr}}{\bigg [}\prod _{n\in \gamma }U_{\mu }(n){\bigg ]}.}$

これらのウィルソンループは、閉じ込めとクォークポテンシャルを数値的に研究するために使用されます。ウィルソンループの線形結合は、グルーボール状態を生み出す補間演算子としても使用されます。^[18]グルーボールの質量は、これらの補間子間の相関関数から抽出できます。 ^[19]

ウィルソンループの格子定式化により、クォークループを無視したクエンチ近似を仮定して、強結合相における閉じ込めの解析的実証も可能になる。 ^[20]これは、ウィルソン作用をプラケットのトレースの冪級数として展開することによって行われ、ゲージ理論におけるウィルソンループの期待値の最初のゼロでない項は、次の形式の弦張力を持つ面積法則を生み出す。^{[21] [22]}${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$

${\displaystyle \sigma =-{\frac {1}{a^{2}}}\ln {\bigg (}{\frac {\beta }{18}}{\bigg )}(1+{\mathcal {O}}(\beta )),}$

ここで、は逆結合定数、 は格子間隔である。この議論はアーベル的および非アーベル的両方の場合に当てはまるが、コンパクト電気力学は強い結合でのみ閉じ込めを示し、 でクーロン位相への相転移があり、弱い結合では理論が非閉じ込めのままになる。^{[23] [24]}このような相転移は、ゲージ理論ではゼロ温度では存在しないと考えられており、代わりに結合定数のすべての値で閉じ込めを示す。 ${\displaystyle \beta =6/g^{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \beta \sim 1.01}$${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

関数 の関数に作用する関数微分と同様に、ループ の関数には面積微分と周長微分と呼ばれる2 種類の微分があります。前者を定義するには、輪郭と、同じ輪郭ですが面積 の-平面にの余分な小さなループがある別の輪郭を考えます。次に、ループ関数の面積微分は、通常の微分と同じ考え方で、2 つのループの関数間の正規化された差として定義されます^[25]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \delta \sigma _{\mu \nu }=dx_{\mu }\wedge dx_{\nu }}$${\displaystyle F[\gamma ]}$

${\displaystyle {\frac {\delta F[\gamma ]}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}={\frac {1}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}[F[\gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}]-F[\gamma ]].}$

周微分も同様に定義され、ここで は輪郭のわずかな変形であり、位置 には方向の長さと面積がゼロの小さな押し出しループがあります。ループ関数の周微分は次のように定義されます。 ${\displaystyle \gamma _{\delta x_{\mu }}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta x_{\mu }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}F[\gamma ]={\frac {1}{\delta x_{\mu }}}[F[\gamma _{\delta x_{\mu }}]-F[\gamma ]].}$

大きなN極限では、ウィルソンループの真空期待値はマケエンコ・ミグダル方程式と呼ばれる閉じた関数型方程式を満たす^[26]

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}{\frac {\delta }{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}\langle W[\gamma ]\rangle =g^{2}N\oint _{\gamma }dy_{\nu }\delta ^{(D)}(x-y)\langle W[\gamma _{yx}]\rangle \langle W[\gamma _{xy}]\rangle .}$

ここではからまで閉じない直線ですが、2 つの点は互いに近いです。この方程式は有限の についても書くことができますが、この場合は因数分解されず、代わりにウィルソンループの期待値の積ではなく、ウィルソンループの積の期待値につながります。^{[27]これにより、}シュウィンガー–ダイソン方程式に類似した、異なるウィルソンループ期待値に対する結合方程式の無限連鎖が発生します。マケンコ–ミグダル方程式は、2 次元理論で正確に解かれています。^[28]${\displaystyle \gamma =\gamma _{xy}\cup \gamma _{yx}}$${\displaystyle \gamma _{xy}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\text{U}}(\infty )}$

行列による基本表現が許されるゲージ群は、マンデルシュタム恒等式と呼ばれる一連の恒等式を満たすウィルソンループを持ち、これらの恒等式は基礎となるゲージ群の特定の性質を反映している。^[29]これらの恒等式は、2つ以上のサブループから形成されるループに適用され、 は最初に を周回し、次に を周回することで形成されるループである。 ${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle \gamma =\gamma _{2}\circ \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$

第一種のマンデルシュタム恒等式は であり、これは任意の次元の任意のゲージ群に対して成り立つ。第二種のマンデルシュタム恒等式は、次元において完全に反対称なインデックスを持つ任意のオブジェクトが消えることに注目することで得られる。つまり である。基本表現では、ウィルソンループを形成するために使用されるホロノミーは、ゲージ群の行列表現である。ホロノミーをデルタ関数で縮約すると、ウィルソンループ間の恒等式の集合が得られる。これらは、反復的に定義されるオブジェクトの観点から記述することができ、 ${\displaystyle W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]=W[\gamma _{2}\circ \gamma _{1}]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \delta _{[b_{1}}^{a_{1}}\delta _{b_{2}}^{a_{2}}\cdots \delta _{b_{N+1}]}^{a_{N+1}}=0}$${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N+1}$${\displaystyle M_{K}}$${\displaystyle M_{1}[\gamma ]=W[\gamma ]}$

${\displaystyle (K+1)M_{K+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K+1}]=W[\gamma _{K+1}]M_{K}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K}]-M_{K}[\gamma _{1}\circ \gamma _{K+1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}]-\cdots -M_{K}[\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}\circ \gamma _{K+1}].}$

この記法では、第2種のマンデリシュターム恒等式は^[30]

${\displaystyle M_{N+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{N+1}]=0.}$

たとえば、ゲージ群の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]}$

基本表現が単位行列式の行列である場合、 も成り立ちます。たとえば、この恒等式を に適用すると、 ${\displaystyle M_{N}(\gamma ,\dots ,\gamma )=1}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$

${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}^{-1}]+W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}].}$

ユニタリ行列からなる基本表現はを満たします。さらに、この等式は基本表現のすべてのゲージ群に対して成り立ちますが、ユニタリ群に対してはさらに も成り立ちます。 ${\displaystyle W[\gamma ]=W^{*}[\gamma ^{-1}]}$${\displaystyle W[I]=N}$${\displaystyle |W[\gamma ]|\leq N}$

ウィルソンループはゲージ場の作用素であるため、基礎となるヤン＝ミルズ理論の場と結合の正規化と繰り込みによって、ウィルソンループが追加の繰り込み補正を必要とすることが妨げられることはない。繰り込みヤン＝ミルズ理論では、ウィルソンループが繰り込まれる特定の方法は、検討中のループの幾何学に依存する。主な特徴は以下の通りである^{[31] [32] [33] [34]}

• 滑らかな交差しない曲線: 輪郭に比例した線形発散のみを持つことができますが、これは乗法再正規化によって除去できます。
• 尖端を持つ交差しない曲線: 各尖端は、尖端角度に依存する追加の局所乗法再正規化係数をもたらします。${\displaystyle Z[\phi ]}$${\displaystyle \phi }$
• 自己交差: これにより、完全なループとサブループに関連付けられた Wilson ループ間で演算子が混合されます。
• 光のようなセグメント: これらは追加の対数発散を引き起こします。

ウィルソンループは散乱振幅の理論において役割を果たしており、特殊なタイプの散乱振幅との間に一連の双対性が見つかっている。^{[35]これらは、} AdS/CFT 対応を用いた強結合で初めて示唆された。^[36]たとえば、超対称ヤン＝ミルズ理論では、最大ヘリシティ違反振幅はツリーレベルのコンポーネントとループレベルの補正に因数分解される。^[37]このループレベルの補正は粒子のヘリシティに依存しないが、有限項までの大きな極限では特定の多角形ウィルソンループと双対であることが判明した。この双対性は当初、最大ヘリシティ違反のケースでのみ示唆されていたが、ウィルソンループの適切な超対称一般化を定義することで、すべてのヘリシティ構成に拡張できるという議論がある。 ^[38]${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ ${\displaystyle N}$

コンパクト化された理論では、局所的には純粋なゲージ構成であるが大域的には真空と等価でないゼロモードゲージ場状態は、コンパクト方向の閉じたウィルソン線によってパラメータ化される。コンパクト化された開弦 理論におけるこれらの存在は、T-双対性の下では、ウィルソン線によって分離が決定される非一致Dブレーンを持つ理論と等価である。 ^{[39]ウィルソン線は、}オービフォールドコンパクト化においても役割を果たし、その存在によりゲージ対称性の破れをより細かく制御できるようになり、最終的な破断していないゲージ群をより適切に制御できるほか、コンパクト化後に残る物質多重項の数を制御するメカニズムも提供される。^[40]これらの特性により、ウィルソン線は超弦理論のコンパクト化において重要になる。^{[41] [42]}

位相的な場の理論では、ウィルソンループの期待値はループの滑らかな変形の下では変化しない。なぜなら場の理論は計量に依存しないからである。^[43]このため、ウィルソンループはこれらの理論における重要な観測量であり、多様体の大域的特性を計算するために使用される。次元において、それらは結び目理論と密接に関連しており、ループの積の期待値は多様体構造とループがどのように結び付けられているかにのみ依存する。これはエドワード・ウィッテンによる有名な関係につながり、彼はチャーン・サイモンズ理論におけるウィルソンループを使用して、その分配関数を結び目理論のジョーンズ多項式に関連付けた。^[44]${\displaystyle 2+1}$

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