Loading article…
物理学において、ランダウ極（またはモスクワ零点、またはランダウ幽霊）[ 1 ]は、量子場理論の結合定数（相互作用の強さ）が無限大になる運動量（またはエネルギー）スケールである。このような可能性は、1954年に物理学者レフ・ランダウとその同僚によって指摘された。[ 2 ] [ 3 ]結合が運動量（または長さ）スケールに依存するという事実は、繰り込み群の背後にある中心的な考え方である。
ランダウ極は、量子電磁力学（QED）や、ヒッグス粒子を記述する可能性のあるφ4理論（4次相互作用を持つスカラー場）など、漸近的に自由ではない理論に現れる。これらの理論では、繰り込み結合定数はエネルギーとともに増加する。ランダウ極は、有限のエネルギー尺度で結合が無限大になったときに現れる。完全であるとされる理論では、これは数学的な矛盾とみなされる可能性がある。考えられる解決策は、カットオフが取り除かれると繰り込み電荷がゼロになる、つまり電荷が量子ゆらぎ（真空偏極）によって完全に遮蔽されるということである。これは量子自明性の事例であり、カットオフがない場合、量子補正が相互作用を完全に抑制することを意味する。
ランダウ極は通常、摂動論の1ループまたは2ループ計算によって特定されるため、極は単に摂動論近似が強結合で破綻する兆候である可能性がある。非断熱状態が存在する場合、摂動論も無効になる可能性がある。しかし、格子ゲージ理論は摂動論の領域を超えた量子場理論の問題に取り組む手段を提供し、この枠組みで実行された数値計算は、QEDでは無限カットオフで繰り込み電荷が完全に消滅するというランダウの結論を裏付けているように見える。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
Landau、 Alexei Abrikosov、およびIsaak Khalatnikov [ 2 ]によると、Λ ≫ mの場合の繰り込み可能な場の理論における観測可能な電荷g obsと「裸の」電荷g 0の関係は次のように与えられる。
ここで、 mは粒子の質量、Λは運動量カットオフです。g 0 < ∞ かつ Λ → ∞ の場合、g obs → 0となり、理論は自明に見えます。実際、式 1を反転してg 0 (長さスケールΛ −1に関連)にすると、g obsの正確な値が得られます。
Λが大きくなるにつれて、裸の電荷g 0 = g (Λ)は増加し、最終的に繰り込み点で発散する。
この特異点は、負の剰余g (Λ) ≈ −Λ Landau / ( β 2 (Λ − Λ Landau ))を持つランダウ極です。
しかし実際には、 g 0の増加は、g 0 ≈ 1の領域で式1、2を無効にします。なぜなら、これらは g 0 ≪ 1に対して得られたものなので、ランダウ極の非摂動的な存在が疑わしくなります。
運動量スケールμの関数としての電荷g ( μ )の実際の挙動は、ゲルマン-ロウ方程式(マレー・ゲルマンとフランシス・E・ロウにちなんで名付けられた) [ 7 ]によって決定されます。
これは、右辺にβ 2の項のみを残し、μ = m の場合は g ( μ ) = g obs、μ = Λ の場合はg ( μ ) = g 0の条件で積分すると、式1、2を与える。g ( μ )の一般的な挙動は、関数β ( g )の出現に依存する。
ニコライ・ボゴリュボフとドミトリー・シルコフの分類[ 8 ]によれば、質的に異なる3つのケースが存在する。
ランダウとイサーク・ポメランチュク[ 9 ]は、 QEDとφ4理論の場合の可能性(c)を正当化しようと試みた。彼らは、式1のg0の増加が観測可能な電荷gobsを定数極限に導き、それがg0に依存しないことを指摘した。同じ挙動は、作用の2次項を省略した関数積分から得られる。2次項を無視することがg0 ≪ 1の場合にすでに有効であれば、 1以上のオーダーのg0の場合はなおさら有効である。これは、任意のg0に対して式1が有効であると考える理由を与える。定量的レベルでのこれらの考察の妥当性は、 β関数の非2次形式によって排除される。
しかしながら、それらは定性的に正しい可能性がある。実際、関数積分から得られる結果g obs = const( g 0 )はg 0 ≫ 1の場合のみ得られ、式1に基づくg 0 ≪ 1の場合の妥当性は他の理由に関連している可能性がある。g 0 ≈ 1 の場合、この結果はおそらく破られるが、一致条件から、2 つの定数の値が桁違いに一致することが期待できる。モンテカルロの結果[ 10 ]は、ランダウ-ポメランチュクの議論の定性的な妥当性を確認しているように見えるが、異なる解釈も可能である。
ボゴリューボフとシルコフの分類におけるケース(c)は、背理法でわかるように、完全理論(摂動の文脈を超えて)における量子自明性に対応する。実際、g obs < ∞の場合、理論は内部的に矛盾している。これを回避する唯一の方法は、μ 0 → ∞の場合であり、これはg obs → 0の場合にのみ可能である。QEDとφ 4理論の両方が連続極限で自明であるという考えは広く受け入れられている。
結合定数がゼロでないことがわかっている物理的相互作用を表すことを目的とした理論において、ランダウ極または自明性は、その理論の不完全性の兆候とみなされることがある。例えば、QEDは他の基本的な相互作用を記述しておらず、ランダウ極を含んでいるため、それ自体で完全な理論であるとは考えられていない。慣習的に、QEDはより基本的な電弱理論の一部を形成している。電弱理論のU(1) Y群にもランダウ極があり、これは通常、究極的に大統一理論に埋め込む必要性の兆候とみなされている。大統一スケールは、ランダウスケールよりもはるかに低い自然なカットオフを提供し、極が観測可能な物理的結果をもたらすことを防ぐ。
QEDにおけるランダウ極の問題は、以下の理由から純粋に学術的な興味の対象である。式1、2におけるg obsの役割は微細構造定数α ≈ 1/137によって担われ、QEDのランダウスケールは次のように推定される。 10 286 eVは、観測可能な物理学に関連するあらゆるエネルギー尺度をはるかに超えています。比較のために、大型ハドロン衝突型加速器で到達可能な最大エネルギーは、オーダーです。10 13 eVである一方、量子重力が重要になり、量子場理論自体の妥当性が問われるプランクスケールは10 28 eV 。観測可能な宇宙のエネルギーは、 10 88 eV。
素粒子物理学の標準模型におけるヒッグス粒子は、 φ 4理論によって記述される（四次相互作用を参照）。後者がランダウ極を持つ場合、この事実はヒッグス質量の「自明性限界」を設定する際に用いられる。この限界は、新しい物理が出現すると想定されるスケールと、許容される四次結合の最大値（その物理的値は不明）に依存する。大きな結合の場合、非摂動法が必要となる。これにより、漸近的な安全シナリオでは予測可能なヒッグス質量が得られる場合もある。格子計算もこの文脈で有用であった。[ 11 ]
ランダウ極につながる繰り込み過程の物理的意味と一般化についてのより深い理解は、凝縮系物理学から得られます。レオ・P・カダノフは1966年の論文で「ブロックスピン」繰り込み群を提案しました。[ 12 ]ブロッキングのアイデアは、理論の大きな距離にある成分をより短い距離にある成分の集合として定義する方法です。このアプローチはケネス・ウィルソンによって開発されました。[ 13 ]彼はこれらの決定的な貢献により1982年にノーベル賞を受賞しました。
状態変数{ s i }の特定の関数Zと結合定数の集合{ J k }によって記述される理論があると仮定します。この関数は、分配関数、作用、またはハミルトニアンのいずれかです。状態変数{ s i } → { ~ s i }の特定のブロッキング変換を考えます。 ~ s iの数はs iの数よりも少なくなければなりません。次に、 Z を~ s iのみで書き直してみましょう。これがパラメータの特定の変更{ J k } → { ~ J k }によって達成可能であれば、その理論は繰り込み可能であると言われます。RG フローで最も重要な情報は、その固定点です。大規模なスケールでのシステムの可能なマクロ状態は、この固定点の集合によって与えられます。これらの固定点が自由場理論に対応する場合、その理論は量子自明性を示し、ランダウ極を持つと言われます。格子ヒッグス理論の研究では数多くの固定点が現れるが、これらが自由場理論に対応するかどうかは分かっていない。
ランダウ極問題の解決には、任意のgにおけるゲルマン-ロー関数β ( g )の計算、特にg → ∞におけるその漸近挙動の計算が必要です。図式計算では、いくつかの展開係数β 2、β 3、 ...しか得られず、 β関数全体を調査することはできません。摂動論の高次の値を計算するリパトフ法 (レフ・リパトフによる) の開発後、進歩が可能になりました。 [ 14 ]既知の係数β 2、β 3、 ...を高次の挙動で補間し、摂動級数を合計することができます。
この方法によるβ関数の再構成の最初の試みは、φ4理論の自明性に関係している。より高度な総和法を適用すると、指数が得られた 。漸近挙動において どちらの場合も1に近い値 理論と QED [ 15 ] 。[ 16 ] 最初の結果は、小さな値を再現するように調整された高温系列の合計によっても確認されました。 挙動。[ 17 ] 線形強結合漸近の仮説 最近分析的に確認された 理論と QED [ 18 ] [ 19 ] 。[ 20 ] 正値とともに 級数の総和によって得られるこの式は、ボゴリューボフとシルコフの分類のケース(b)に相当し、したがってこれらの理論にはランダウ極は存在しない。
