格子ゲージ理論

物理学において、格子ゲージ理論は、格子に離散化された時空上のゲージ理論の研究です。

ゲージ理論は素粒子物理学において重要であり、量子電磁力学、量子色力学(QCD)、素粒子物理学の標準モデルといった素粒子の主流の理論が含まれる。連続時空における非摂動的なゲージ理論の計算は、形式的には無限次元の経路積分を評価することを伴うが、これは計算上扱いにくい。離散時空で作業することにより、経路積分は有限次元になり、モンテカルロ法などの確率的シミュレーション技術によって評価できる。格子のサイズを無限大にとり、そのサイト同士を無限小に近づけると、連続ゲージ理論が回復される。^[1]

格子ゲージ理論では、時空はユークリッド空間にウィック回転され、距離で隔てられリンクで接続されたサイトを持つ格子に離散化されます。格子 QCDなどの最も一般的に考えられるケースでは、フェルミオン場は格子サイトで定義され (フェルミオンの倍増につながります)、ゲージ場はリンク上で定義されます。つまり、コンパクトリー群G (代数ではない)の要素Uが各リンクに割り当てられます。したがって、リー群SU(3)を持つ QCD をシミュレートするには、3×3ユニタリ行列が各リンクで定義されます。リンクには方向が割り当てられ、逆要素は反対の方向を持つ同じリンクに対応します。また、各ノードには(カラー 3 ベクトル、SU(3) の基本表現が作用する空間)、ビスピノル(ディラック 4 スピノル)、n _fベクトル、およびグラスマン変数の値が割り当てられます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

したがって、パスに沿ったリンクのSU(3)要素の合成（つまり、それらの行列の順序付けられた乗算）は、パス順序付けされた指数関数（幾何積分）に近似され、そこから閉じたパスのウィルソンループ値を計算できます。

ヤン＝ミルズ作用は、ウィルソンループ（ケネス・G・ウィルソンにちなんで名付けられた）を使用して格子上に記述されるため、極限は元の連続体作用を形式的に再現する。^[1] Gの忠実な既約表現ρ が 与えられた場合、ウィルソン作用として知られる格子ヤン＝ミルズ作用は、ウィルソンループの n個のリンクe ₁、...、e _n上のトレース（の実数成分）のすべての格子サイトにわたる和である。${\displaystyle a\to 0}$

${\displaystyle S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.}$

ここで、χ は指標です。ρ が実数(または擬実数) 表現である場合、ウィルソンループの向きが反転しても、作用への寄与は変わらないため、実数成分を取ることは冗長です。

ウィルソン作用には、作用で使用されるウィルソン ループに応じて、さまざまなものがあります。最も単純なウィルソン作用では、1×1 ウィルソン ループのみが使用され、小さな格子間隔 に比例する「格子アーティファクト」によって連続体作用と異なります。より複雑なウィルソン ループを使用して「改良された作用」を構築することにより、格子アーティファクトを に比例するように削減できるため、計算がより正確になります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{2}}$

粒子の質量などの量は、モンテカルロ法などの手法を使用して確率的に計算されます。ゲージ場構成は、に比例する確率で生成されます。ここで、は格子作用であり、 は格子間隔 に関連しています。関心のある量は各構成について計算され、平均化されます。計算は、結果を連続体 に外挿できるように、異なる格子間隔で繰り返されることがよくあります。 ${\displaystyle e^{-\beta S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\to 0}$

このような計算は、多くの場合、非常に計算負荷が高く、利用可能な最大のスーパーコンピュータの使用が必要になることがあります。計算負荷を軽減するために、いわゆるクエンチ近似を使用できます。この近似では、フェルミオンフィールドは非動的な「凍結」変数として扱われます。これは初期の格子QCD計算では一般的でしたが、「動的」フェルミオンは現在標準となっています。^{[3]これらのシミュレーションでは、通常、}分子動力学またはミクロカノニカルアンサンブルアルゴリズム に基づくアルゴリズムが使用されます。^{[4] [5]}

格子 QCD 計算の結果は、例えば中間子においては粒子 (クォークと反クォーク) だけでなく、グルーオン場の「フラックスチューブ」も重要であることを示しています。 ^{[引用が必要]}

格子ゲージ理論は、実空間くりこみ群による量子自明性の研究にとっても重要である。^[6] RGフローにおける最も重要な情報は、固定点と呼ばれるものである。

大規模スケールにおけるシステムの可能なマクロ的状態は、この固定点の集合によって与えられる。これらの固定点が自由場理論に対応する場合、その理論は自明または非相互作用的であると言われる。格子ヒッグス理論の研究では多数の固定点が現れるが、これらに関連する量子場理論の性質は未解決の問題である。^[7]

自明性は厳密に証明されていないが、格子計算はこれに強力な証拠を提供している^{[要出典] 。この事実は、量子自明性を利用して}ヒッグス粒子の質量などのパラメータを制限したり予測したりできるため重要である。格子計算はこの文脈で有用である。^[8]

もともと、解ける2次元格子ゲージ理論は、相転移の分野で研究していた理論家フランツ・ウェグナーによって、興味深い統計的性質を持つモデルとして1971年にすでに導入されていました。^[9]

1×1ウィルソンループのみが作用に現れる場合、格子ゲージ理論はスピンフォームモデルと正確に双対であることが示されます。^[10]

• ハミルトン格子ゲージ理論
• 格子場理論
• 格子QCD
• 量子の些細さ
• ウィルソンの行動

• Creutz, M., Quarks, gluons and lattices、Cambridge University Press、Cambridge、(1985) 。ISBN 978-0521315357 
• Montvay, I., Münster, G., Quantum Fields on a Lattice、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、(1997)。ISBN 978-0521599177 
• Makeenko, Y., Methods of contemporary gauge theory , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 0-521-80911-8 . 
• Smit, J. ,格子上の量子場入門、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、(2002) 。ISBN 978-0521890519 
• Rothe, H.,格子ゲージ理論入門、World Scientific、シンガポール、 ( 2005)。ISBN 978-9814365857 
• DeGrand, T., DeTar, C., Lattice Methods for Quantum Chromodynamics 、World Scientific、シンガポール、 ( 2006)。ISBN 978-9812567277 
• Gattringer, C., Lang, CB, Quantum Chromodynamics on the Lattice、Springer、(2010)。ISBN 978-3642018497 
• Knechtli, F., Günther, M., Peardon, M., Lattice Quantum Chromodynamics: Practical Essentials、Springer、(2016) 。ISBN 978-9402409970 
• Weisz Peter、Majumdar Pushan (2012)。「格子ゲージ理論」。Scholarpedia。7 (4): 8615。Bibcode : 2012SchpJ ...7.8615W。doi : 10.4249/ scholarpedia.8615。

• 格子場理論のための FermiQCD ライブラリ
• US ラティス量子色力学ソフトウェアライブラリ