ランチョステンソル

ランチョステンソルまたはランチョスポテンシャルは、一般相対論における階数3のテンソルであり、ワイルテンソルを生成する。^[1]これは、 1949年にコーネリアス・ランチョス によって初めて導入された。^[2] ランチョステンソルの理論的な重要性は、類推により電磁4元ポテンシャルが電磁場を生成するのと同じように、それが重力場のゲージ場として機能することである。^{[3] [4]}

ランチョステンソルは、いくつかの方法で定義できます。最も一般的な現代の定義は、ランチョステンソルからワイルテンソルを生成することを示すワイル・ランチョス方程式によるものです。^[4] 以下に示すこれらの方程式は、1964 年に Takeno によって与えられました。^[1] ランチョスがテンソルを最初に導入した方法は、一般相対性理論への変分アプローチで研究された制約項に対するラグランジュ乗数^{[2] [5]}でした。^[6] どのような定義でも、ランチョステンソルH は次の対称性を示します。

${\displaystyle H_{abc}+H_{bac}=0,\,}$

${\displaystyle H_{abc}+H_{bca}+H_{cab}=0.}$

ランチョステンソルは常に4次元に存在するが^[7]、より高次元には一般化されない。^[8] これは4次元の特殊性を強調している。^[3] さらに、完全なリーマンテンソルは一般にランチョスポテンシャルの導関数だけでは導出できないことにも注意が必要である。^{[7] [9]} アインシュタイン場の方程式は、リッチ分解の要素を完成させるためにリッチテンソルを提供しなければならない。

カートライト場はランチョステンソルに似たゲージ変換ダイナミクスを持つ。しかしカートライト場は4Dを超える任意の次元に存在する。^[10]

ワイル・ランチョス方程式はワイルテンソルをランチョステンソルの微分として表現する：^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+(H^{e}{}_{(ac);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{bd}+(H^{e}{}_{(bd);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{ac}\\&\quad -(H^{e}{}_{(ad);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{bc}-(H^{e}{}_{(bc);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{ad}-{\frac {2}{3}}H^{ef}{}_{f;e}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})\end{aligned}}}$

ここで、はワイルテンソル、セミコロンは共変微分、添え字の括弧は対称化 を表します。上記の式はランチョステンソルを定義するために使用できますが、ランチョステンソルは一意ではなく、アフィン群の下でゲージ自由度を持つことも示しています。^[12]が任意のベクトル場である 場合、ワイル-ランチョス方程式はゲージ変換の下で不変です。 ${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle \Phi^{a}}$

${\displaystyle H'_{abc}=H_{abc}+\Phi _{[a}g_{b]c}}$

ここで、下付き括弧は反対称化 を表す。しばしば便利な選択は、ランチョス代数ゲージであり、これは を設定する。 ゲージは、ランチョス微分ゲージ によってさらに制限される。これらのゲージの選択により、ワイル・ランチョス方程式はより単純な形に簡約される。 ${\displaystyle \Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b},}$${\displaystyle H'_{ab}{}^{b}=0.}$${\displaystyle H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0}$

${\displaystyle C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+H^{e}{}_{ac;e}g_{bd}+H^{e}{}_{bd;e}g_{ac}-H^{e}{}_{ad;e}g_{bc}-H^{e}{}_{bc;e}g_{ad}.}$

ランチョスポテンソルは波動方程式を満たす^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box H_{abc}=&\;J_{abc}\\&{}-2{R_{c}}^{d}H_{abd}+{R_{a}}^{d}H_{bcd}+{R_{b}}^{d}H_{acd}\\&{}+\left(H_{dbe}g_{ac}-H_{dae}g_{bc}\right)R^{de}+{\frac {1}{2}}RH_{abc},\end{aligned}}}$

ダランベール演算子はどこにあり、 ${\displaystyle \Box}$

${\displaystyle J_{abc}=R_{ca;b}-R_{cb;a}-{\frac {1}{6}}\left(g_{ca}R_{;b}-g_{cb}R_{;a}\right)}$

はコットンテンソルとして知られている。コットンテンソルはリッチテンソルの共変微分のみに依存するため、おそらく一種の物質流として解釈できる。^[14] 追加の自己結合項には直接的な電磁気的等価物はない。しかし、これらの自己結合項は真空解には影響せず、リッチテンソルは消え、曲率はワイルテンソルによって完全に記述される。したがって、真空では、アインシュタイン場の方程式は、電磁4元ポテンシャルの真空波動方程式と完全に類似した同次波動方程式と等価である。これは、重力波と電磁波の形式的な類似性を示しており、ランチョステンソルは重力波の研究に適している。^[15]${\displaystyle \Box H_{abc}=0,}$${\displaystyle \Box A_{a}=0}$

の弱場近似において、ランチョスゲージにおけるランチョステンソルの便利な形は^{[14]である。}${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$

${\displaystyle 4H_{abc}\approx h_{ac,b}-h_{bc,a}-{\frac {1}{6}}(\eta _{ac}{h^{d}}_{d,b}-\eta _{bc}{h^{d}}_{d,a}).}$

ランチョステンソルを表現する最も基本的な非自明なケースは、もちろんシュワルツシルト計量である。^[4]この場合のランチョステンソルの 自然単位 での最も単純で明示的な成分表現は、

${\displaystyle H_{trt}={\frac {GM}{r^{2}}}}$

他のすべての成分は対称性を除いてはゼロである。しかし、この形式はランチョスゲージには存在しない。ランチョスゲージにおけるランチョステンソルのゼロでない項は、

${\displaystyle H_{trt}={\frac {2GM}{3r^{2}}}}$

${\displaystyle H_{r\theta \theta }={\frac {-GM}{3(1-2GM/r)}}}$

${\displaystyle H_{r\phi \phi }={\frac {-GM\sin ^{2}\theta }{3(1-2GM/r)}}}$

さらに、この単純なケースでも、ランチョステンソルは一般にニューマン-ペンローズ形式のスピン係数の線形結合に還元できないことを示すことができ、これはランチョステンソルの基本的な性質を証明している。^{[11]同様の計算は、任意の}ペトロフD型解を 構築するために使用されている。 ^[16]

• バッハテンソル
• リッチ計算
• スハウテンテンソル
• パラティーニ四項作用
• 自己双対パラティーニ作用

• ピーター・オドネル、「一般相対性理論における 2 スピノル入門」、ワールド・サイエンティフィック、2003 年。