標準モデルの数学的定式化

この記事では、素粒子物理学の標準モデル、つまりユニタリー積群SU (3) × SU(2) ×  U(1)の内部対称性を含むゲージ量子場理論の数学について説明します。この理論は、レプトン、クォーク、ゲージ粒子、ヒッグス粒子といった基本的な粒子セットを記述するものと一般的に考えられています。

標準モデルは繰り込み可能で数学的に自己矛盾がないが^[1]、実験予測を提供することで大きな成功を収め続けているにもかかわらず、説明できない現象がいくつか残っている。^[2]特に、特殊相対性理論の物理学は組み込まれているものの、一般相対性理論は組み込まれておらず、標準モデルは重力子が出現すると予想されるエネルギーや距離では機能しない。そのため、現代の場の理論の文脈では、有効場の理論と見なされている。

標準モデルは量子場理論であり、その基本対象は時空内のすべての点で定義される量子場である。QFTは粒子を、粒子よりも基本的な基礎となる量子場の励起状態（量子とも呼ばれる）として扱う。これらの場は

• 「物質粒子」を説明するフェルミオン場ψ 。
• 電弱ボソン 場、、、B ;​${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle W_{2}}$${\displaystyle W_{3}}$
• グルーオン場G _a ;そして
• ヒッグス場φ。​

これらが古典場ではなく量子場であることから、これらは演算子値を持つという数学的な帰結があります。特に、場の値は一般に交換しません。演算子として、これらは量子状態 (ケット ベクトル) に作用します。

量子論ではよくあることですが、物事を見る方法は複数あります。一見すると、上記の基本フィールドは、上の表の「基本粒子」とあまり一致していないように思えるかもしれませんが、特定の状況では、上記のものよりも適切な代替表現がいくつかあります。

フェルミオン場ψ は1 つではなく、粒子の種類ごとに別々の要素に分割できます。これは量子場理論の歴史的発展を反映しており、電子要素ψ _e (電子とその反粒子である陽電子を記述) は量子電気力学の元のψ場であり、後にミューオンとタウオン(およびその反粒子) に対してそれぞれψ _{μ 場}とψ _τ場が伴いました。電弱理論では、対応するニュートリノに対して、およびが追加されました。クォークによって、さらに多くの要素が追加されます。電子や他のレプトン要素のような4 スピノルであるためには、フレーバーとカラーの組み合わせごとに 1 つのクォーク要素が必要であり、合計は 24 になります (荷電レプトンの場合は 3、ニュートリノの場合は 3、クォークの場合は 2·3·3 = 18)。これらはそれぞれ 4 つの成分からなるビスピノルであり、フェルミオン場には合計 96 個の複素数値成分があります。 ${\displaystyle \psi _{\nu _{\mathrm {e} }},\psi _{\nu _{\mu }}}$${\displaystyle \psi _{\nu _{\tau }}}$

重要な定義は、 と定義される棒フェルミオン場です。ここで、 はψのエルミート随伴行列、γ ⁰はゼロ番目のガンマ行列です。ψ がn  × 1行列であると考えられる場合、 は1 ×  n行列であると考えられます。 ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$${\displaystyle \dagger }$${\displaystyle {\bar {\psi }}}$

ψの独立した分解は、キラリティー成分 への分解である。

ここで は5 番目のガンマ行列です。これは標準モデルでは非常に重要です。なぜなら、左と右のカイラリティ成分はゲージ相互作用によって異なる扱いを受けるからです。 ${\displaystyle \gamma _{5}}$

特に、弱いアイソスピン SU(2)変換では、左巻き粒子は弱いアイソスピン二重項であるのに対し、右巻き粒子は一重項です。つまり、ψ _Rの弱いアイソスピンはゼロです。もっと簡単に言えば、弱い相互作用は、例えば左巻き電子を左巻きニュートリノに回転させることができますが ( W ⁻を放出します)、同じ右巻き粒子では回転させることができません。余談ですが、右巻きニュートリノは元々標準モデルには存在しませんでしたが、ニュートリノ振動の発見は、ニュートリノが質量を持つ必要があることを意味し、また、質量のある粒子の伝播中にカイラリティが変化する可能性があるため、右巻きニュートリノは現実に存在するに違いありません。ただし、これによって弱い相互作用の (実験的に証明された) カイラル性質が変わることはありません。

さらに、U(1)はとに対して異なる作用をする（それらは異なる弱超電荷を持つため）。 ${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}}$

例えば、ニュートリノの質量と相互作用の固有状態を区別することができます。前者は自由空間を伝播する状態であり、後者は相互作用に参加する別の状態です。どちらが「基本」粒子でしょうか? ニュートリノの場合、「フレーバー」(
ν
_e、
ν
_μ、 または
ν
_τ) は相互作用固有状態によって定義されますが、クォークの場合は、質量状態によってフレーバー (アップ、ダウンなど) を定義します。クォークの場合はCKM 行列、ニュートリノの場合はPMNS 行列を使用して、これらの状態を切り替えることができます(一方、荷電レプトンは質量とフレーバーの両方の固有状態です)。

余談ですが、これらの行列のいずれかに複雑な位相項が存在する場合、直接的なCP 対称性の破れが生じ、現在の宇宙で物質が反物質よりも優勢である理由を説明できます。これは CKM 行列で証明されており、PMNS 行列でも期待されています。

最後に、量子場は「正」と「負」のエネルギー部分に分解されることがあります: ψ = ψ ⁺ + ψ ⁻。これは量子場理論が構築されている場合にはそれほど一般的ではありませんが、場の理論を量子化するプロセスでは重要な位置を占めることが多いです。

ヒッグス機構により、電弱ボソン場、、、が「混合」されて物理的に観測可能な状態が作られます。ゲージ不変性を保つためには、基礎となる場は質量がゼロでなければなりませんが、観測可能な状態はその過程で質量を獲得することができます。これらの状態は次のとおりです。 ${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle W_{2}}$${\displaystyle W_{3}}$${\displaystyle B}$

質量を持つ中性(Z) ボソン: 質量を持たない中性ボソン: 質量を持つ荷電W ボソン: ここでθ _Wはワインベルグ角です。 $${\displaystyle Z=\cos \theta _{\rm {W}}W_{3}-\sin \theta _{\rm {W}}B}$$$${\displaystyle A=\sin \theta _{\rm {W}}W_{3}+\cos \theta _{\rm {W}}B}$$$${\displaystyle W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(W_{1}\mp iW_{2}\right)}$$

Aフィールドは光子であり、これは古典的にはよく知られている電磁気の 4 元ポテンシャル 、つまり電場と磁場に対応します。Zフィールドは実際には光子が行うすべてのプロセスに寄与しますが、その質量が大きいため、寄与は通常は無視できます。

「粒子」と「力」に関する標準モデルの定性的な説明の多くは、モデルの摂動量子場理論の視点から来ています。このモデルでは、ラグランジアンは自由場ラグランジアンと相互作用ラグランジアンに分解されます。自由場は粒子を孤立して扱いますが、複数の粒子が関与するプロセスは相互作用を通じて発生します。状態ベクトルは粒子が相互作用するときにのみ変化するという考えです。つまり、自由粒子とは量子状態が一定である粒子のことです。これは量子力学における 相互作用図に対応します。${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {I} }}$

より一般的なシュレーディンガー描像では、自由粒子の状態さえも時間とともに変化します。通常、位相はエネルギーに依存する速度で変化します。もう1つのハイゼンベルク描像では、状態ベクトルは一定に保たれますが、演算子（特に観測可能量）が時間依存になります。相互作用描像は2つの中間を構成し、演算子（量子場）にいくらかの時間依存性が置かれ、状態ベクトルにいくらかの時間依存性が置かれます。QFTでは、前者はモデルの自由場部分と呼ばれ、後者は相互作用部分と呼ばれます。自由場モデルは正確に解くことができ、その後、完全なモデルの解は、たとえばダイソン級数を使用して、自由場解の摂動として表現できます。

自由場と相互作用への分解は、原理的には任意であることに注意すべきである。例えば、QEDにおける繰り込みは、自由場電子の質量を物理的な電子 (電磁場を持つ) の質量と一致するように変更し、その際に自由場ラグランジアンに項を追加するが、この項は相互作用ラグランジアン内の対抗項によってキャンセルされ、ファインマン図では 2 本の線の頂点として現れる。これは、ヒッグス場が粒子に質量を与えると考えられている方法でもある。つまり、ヒッグス場の非ゼロの真空期待値に対応する相互作用項の部分は、相互作用から自由場ラグランジアンへと移動され、そこではヒッグス場とは何の関係もない質量項のように見える。

低エネルギーに適した通常の自由/相互作用分解では、自由場は次の式に従います。

• フェルミオン場ψ は、フェルミオンの種類ごとにディラック方程式を満たします。${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0}$${\displaystyle f}$
• 光子場A は波動方程式 を満たします。${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0}$
• ヒッグス場φ はクライン・ゴルドン方程式を満たす。
• 弱い相互作用場Z、W ^±はProca方程式を満たします。

これらの方程式は正確に解くことができます。通常は、まず各空間軸に沿って周期L を持つ周期的な解を考え、次にL → ∞ の極限をとることでこの周期性の制限を解除します。

周期的なケースでは、フィールドF (上記のいずれか)の解は、次の形式の フーリエ級数として表すことができます 。 $${\displaystyle F(x)=\beta \sum _{\mathbf {p} }\sum _{r}E_{\mathbf {p} }^{-{\frac {1}{2}}}\left(a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} )e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}+b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} )e^{\frac {ipx}{\hbar }}\right)}$$

• βは正規化係数です。フェルミオン場の場合は、ここで は考慮される基本セルの体積です。光子場A ^μの場合はです。${\displaystyle \psi _{\rm {f}}}$${\textstyle {\sqrt {m_{\rm {f}}c^{2}/V}}}$${\displaystyle V=L^{3}}$${\displaystyle \hbar c/{\sqrt {2V}}}$
• p上の和は、周期Lと一致するすべての運動量、つまり、が整数であるすべてのベクトル上の和です。${\displaystyle {\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})}$${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$
• rの合計は、分極やスピンなど、場特有の他の自由度もカバーし、通常は1から2または1から3 の合計として表されます。
• E _{p は}、静止質量がmのときの、場の運動量p量子に対する相対論的エネルギーです。${\textstyle ={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}}$
• a _r ( p )と は、それぞれ運動量pの「a 粒子」と「b 粒子」に対する消滅演算子と生成演算子です「b 粒子」は「a 粒子」の反粒子です。異なるフィールドには異なる「a 粒子」と「b 粒子」があります。一部のフィールドでは、 aとb は同じです。${\displaystyle b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$
• u _r ( p )とv _r ( p )は、（関連する場合）場のベクトルまたはスピノルの側面を運ぶ非演算子です。
• ${\displaystyle p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )}$は、運動量pを持つ量子に対する4 元運動量です。4元ベクトルの内積を表します。${\displaystyle px=p_{\mu }x^{\mu }}$

L → ∞ の極限では、 β内に隠れたVの助けを借りて、和は積分になります。 βの数値は、およびに対して選択された正規化にも依存します。 ${\displaystyle u_{r}(\mathbf {p} )}$${\displaystyle v_{r}(\mathbf {p} )}$

技術的には、はケットベクトルの内積空間における演算子a _r ( p )のエルミート随伴演算子です。およびa _r ( p )を生成演算子および消滅演算子として識別することは、これらのいずれかが作用する前と後の状態の保存量を比較することから来ています。たとえば、は粒子を 1 つ追加すると見ることができます。これは、a 粒子数演算子の固有値に1 を追加するためです。また、ベクトル値運動量演算子の固有値がその分増加するため、その粒子の運動量はpであるはずです。これらの導出では、量子場に関する演算子の表現から始めます。を持つ演算子が生成演算子で、を持たない演算子が消滅演算子であるというのは、それらに仮定された交換関係の符号によって課せられた慣例です。 ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$${\displaystyle \dagger }$

摂動的な量子場理論で計算を行うための重要な準備ステップは、上記の「演算子」因子aおよびb を、対応するベクトル因子またはスピノル因子uおよびvから分離することです。ファインマン グラフの頂点は、相互作用ラグランジアン内の異なる因子のuとv が互いに適合する方法から生じますが、エッジは、ダイソン級数の項を正規形に配置するために aとbを移動させる方法から生じます。

ラグランジアンは、生成演算子と消滅演算子 (「標準」形式) を使用せずに、ディラックの初期の成果を基にしてファインマンが開拓した経路積分定式を使用して導出することもできます。ファインマン図は、相互作用項を図式で表したものです。簡単な導出は、ファインマン図に関する記事で紹介されています。

ここで、標準モデルのラグランジアン密度に現れる前述の自由項と相互作用項について、もう少し詳しく説明します。このような項は、ゲージ不変量と基準フレーム不変量の両方でなければなりません。そうでないと、物理法則が任意の選択や観測者のフレームに依存することになります。したがって、特殊相対性理論の中心となる、並進対称性、回転対称性、慣性基準フレーム不変性からなるグローバルな ポアンカレ対称性を適用する必要があります。ローカルなSU(3) × SU(2) × U(1)ゲージ対称性は、内部対称性です。後で説明するように、適切な関係が定義された後、ゲージ対称性の 3 つの要素が一緒になって 3 つの基本的な相互作用を引き起こします。

自由粒子は、質量項と、場の「動き」に関連する 運動項によって表すことができます。

ディラック フェルミオンの運動項は、 この記事の前半から引用した表記法です。ψ は、標準モデル内の任意の、またはすべてのディラック フェルミオンを表すことができます。一般に、以下のように、この項は結合内に含まれます (全体的な「動的」項を作成します)。 $${\displaystyle i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$$

スピン 1 場の場合、まず、ゲージ結合定数gを持つ、 与えられたゲージ場 (ここではAを使用) の場の強度テンソル を定義します。量f ^abcは、特定のゲージ群の構造定数であり、交換子によって定義されます 。 ここで、t _iは群の生成元です。アーベル (可換) 群(ここで使用するU(1)など) では、生成元t _{a が}すべて互いに交換するため、構造定数はゼロになります。もちろん、これは一般に当てはまるわけではありません。標準モデルには、非アーベルSU(2)群とSU(3)群が含まれています (このような群は、ヤン–ミルズ ゲージ理論と呼ばれるものにつながります)。 $${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$$ $${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c},}$$

SU(3) × SU(2) ×  U(1)の各サブグループに対応する3つのゲージ場を導入する必要があります。

• グルーオン場テンソルは で表され、指数aは色SU(3)の8表現の要素を表します。強い結合定数は慣例的にg _s (または曖昧さがない場合は単にg ) で表されます。標準モデルのこの部分の発見につながった観察については、量子色力学の論文で説明されています。${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$
• SU(2)のゲージ場テンソルには、この表記法が使用されます。ここで、aはこの群の3つの生成元を横切ります。結合はg _wまたは単にgと表記されます。ゲージ場は と表記されます。${\displaystyle W_{\mu \nu }^{a}}$${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$
• 弱い超電荷のU(1)のゲージ場テンソルはB _μν、結合はg ′、ゲージ場はB _μで表されます。

運動項は次のように記述できます 。 ここで、トレースはそれぞれWとGに隠されたSU(2)とSU(3)インデックス上にあります。2 つのインデックス オブジェクトは、ベクトル場WとGから導出された場の強度です。さらに、 SU(2)とSU(3)のシータ角という 2 つの追加の隠しパラメーターもあります。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }}$$

次のステップは、ゲージ場をフェルミオンに「結合」して相互作用を可能にすることです。

電弱セクターは対称群U(1) × SU(2) _Lと相互作用します。ここで、下付き文字 L は左手フェルミオンのみとの結合を示します。 ここで、B _μはU(1)ゲージ場、Y _Wは弱い超電荷（ U(1)グループの生成元）、W _μは 3 成分SU(2)ゲージ場、τの成分は、その固有値が弱いアイソスピンを与えるパウリ行列（SU(2)グループの無限小生成元）です。弱い力との統一を達成するためには、QED とは異なる、弱い超電荷の新しいU(1)対称性を再定義する必要があることに注意してください。電荷Q 、弱いアイソスピンT ₃の第 3 成分（T _z、I _{3 、}またはI _zとも呼ばれる）と弱い超電荷Y _Wは、 （または代替規則Q = T ₃ + Y _W ）によって関連付けられます 。この記事で使用されている最初の規則は、以前のゲルマン-西島の公式に相当します。これにより、ハイパーチャージは、特定の等多重項の平均チャージの 2 倍になります。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }=\sum _{\psi }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\left(i\partial _{\mu }-g^{\prime }{1 \over 2}Y_{\mathrm {W} }B_{\mu }-g{1 \over 2}{\boldsymbol {\tau }}\mathbf {W} _{\mu }\right)\psi }$$ $${\displaystyle Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},}$$

すると、弱いアイソスピンの 保存電流をと定義でき 、弱いハイパーチャージの保存電流を と 定義できます。 ここで は電流、3 番目の弱いアイソスピン電流です。上で説明したように、これらの電流が混ざり合って物理的に観測されるボソンが生成され、これにより結合定数間の検証可能な関係も生まれます。 $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mu }={1 \over 2}{\bar {\psi }}_{\rm {L}}\gamma _{\mu }{\boldsymbol {\tau }}\psi _{\rm {L}}}$$$${\displaystyle j_{\mu }^{Y}=2(j_{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3})~,}$$${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}}$${\displaystyle j_{\mu }^{3}}$

これをもっと簡単に説明すると、ラグランジアンから項を取り出すことで電弱相互作用の効果を見ることができます。SU(2)対称性は、ψに含まれる各（左利きの）フェルミオン二重項に作用します。たとえば 、粒子が左利きであると理解されている場合、 $${\displaystyle -{g \over 2}({\bar {\nu }}_{e}\;{\bar {e}})\tau ^{+}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }{\begin{pmatrix}{\nu _{e}}\\e\end{pmatrix}}=-{g \over 2}{\bar {\nu }}_{e}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }e}$$$${\displaystyle \tau ^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau ^{1}{+}i\tau ^{2})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

これは「弱いアイソスピン空間での回転」に対応する相互作用であり、言い換えれば、W ⁻ボソンの放出によるe _Lとν _eL間の変換です。一方、U(1)対称性は電磁気学に似ていますが、中性Z ⁰を介してすべての「弱い超荷電」フェルミオン（左手と右手の両方）に作用し、光子を介して 荷電フェルミオンにも作用します。

量子色力学（QCD）セクターは、SU(3)対称性を持ち、 T _aによって生成されるクォークとグルーオン間の相互作用を定義します。レプトンはグルーオンと相互作用しないため、このセクターの影響を受けません。グルーオン場と結合したクォークのディラックラグランジアンは次のように与えられます 。 ここで、UとD はアップタ​​イプとダウンタイプのクォークに関連付けられたディラックスピノルであり、その他の表記は前のセクションから引き継がれています。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=i{\overline {U}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }U+i{\overline {D}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }D.}$$

ディラックのラグランジアン（任意のフェルミオンψに対して）から生じる質量項は であり、これは電弱対称性の下で不変ではありません。 これは、 ψ を左手系と右手系の成分で記述することで確認できます（実際の計算は省略します）。 つまり、および項 からの寄与は表示されません。 質量生成相互作用は、粒子のカイラリティを常に反転させることで実現されることがわかります。 スピンハーフ粒子には、同じSU(2)表現と等しく反対の弱超電荷を持つ右/左カイラリティペアがないため、これらのゲージ電荷が真空中で保存されると仮定すると、スピンハーフ粒子のいずれもカイラリティを交換することはできず、質量がないままでなければなりません。 さらに、W ボソンと Z ボソンには質量があることが実験的にわかっていますが、ボソンの質量項には、たとえばA ^μ A _μの組み合わせが含まれ、これは明らかにゲージの選択に依存します。したがって、標準モデルのフェルミオンやボソンはいずれも質量を持って「始まる」ことはできず、他の何らかのメカニズムによって質量を獲得する必要があります。 ${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi }$$${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {R}}+{\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {L}})}$$${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}}$${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}}$

これら 2 つの問題の解決策は、ヒッグス機構から得られます。ヒッグス機構には、スカラー場 (その数はヒッグス機構の正確な形式によって異なります) が関係しており、(できるだけ簡潔に説明すると) 質量を持つボソンによって自由度として「吸収」され、湯川結合を介してフェルミオンと結合して質量項のようなものを作成します。

標準モデルでは、ヒッグス場はSU(2) _L群の複素スカラー場です。 ここで上付き文字の+と0は成分の電荷（Q ）を示します。両成分の弱い超電荷（ Y _W ）は1です。 $${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}},}$$

ラグランジアンにおけるヒッグス部分は、 λ > 0かつμ ² > 0 のときであり、自発的対称性の破れのメカニズムを利用できる。ここでは、最初はポテンシャルの形状の中に隠れているが、非常に重要なパラメータがある。ユニタリ性ゲージでは、設定して現実のものにすることができる。次に、ヒッグス場の非ゼロ真空期待値である。は質量の単位を持ち、標準モデルで無次元ではない唯一のパラメータである。また、これはプランクスケールよりもはるかに小さく、ヒッグス質量の約 2 倍であり、標準モデルにおける他のすべての粒子の質量のスケールを設定する。これは_、標準モデルにおける小さな非ゼロ値への唯一の実際の微調整である。W μ および B μ の 2 次項が生じ、W_およびZ ボソンに質量を与える。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {H}}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2},}$$${\displaystyle \phi ^{+}=0}$${\displaystyle \phi ^{0}}$${\displaystyle \langle \phi ^{0}\rangle =v}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\rm {W}}&={\tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&={\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}}}$$

ヒッグス粒子自体の質量は次のように与えられる。${\textstyle M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.}$

湯川相互作用項は 、 ここで、、、は3×3の湯川結合行列であり、 mn項は世代mとnの結合を与え、hcは前の項のエルミート共役を意味する。フィールドとフィールドは左巻きのクォークとレプトンの二重項である。同様に、、、は右巻きのアップ型クォーク、ダウン型クォーク、レプトン単一項である。最後に、はヒッグス二重項であり、$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Yukawa}}=(Y_{\text{u}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}{\tilde {\varphi }}(u_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{d}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}\varphi (d_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{e}})_{mn}({\bar {L}}_{\text{L}})_{m}{\tilde {\varphi }}(e_{\text{R}})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$${\displaystyle Y_{\text{u}}}$${\displaystyle Y_{\text{d}}}$${\displaystyle Y_{\text{e}}}$${\displaystyle q_{\text{L}}}$${\displaystyle L_{\text{L}}}$${\displaystyle u_{\text{R}}}$${\displaystyle d_{\text{R}}}$${\displaystyle e_{\text{R}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\tilde {\varphi }}=i\tau _{2}\varphi ^{*}}$

前述のように、証拠はニュートリノが質量を持っていることを示しています。しかし、標準モデルでは右巻きニュートリノは存在しないため、湯川結合があってもニュートリノは質量がありません。明らかな解決策^[4]は、右巻きニュートリノ ν _Rを追加することですが、これには湯川セクターに 新しいディラック質量項を追加する必要があります。$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Dir}}=(Y_{\nu })_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}\varphi (\nu _{R})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$

しかし、この場はステライルニュートリノでなければならない。なぜなら、右利きであるため、実験的にはアイソスピンシングレット（T ₃ = 0）に属し、電荷Q = 0でもあるため、 Y _W = 0 （上記参照）を意味し、つまり弱い相互作用にも関与しないからである。ステライルニュートリノの実験的証拠は現在のところ決定的ではない。^[5]

考慮すべきもう一つの可能​​性は、ニュートリノがマヨラナ方程式を満たすことです。これは、最初はその電荷がゼロであることから可能であると思われます。この場合、新しいマヨラナ質量項が湯川セクターに追加されます。 ここで、C は電荷共役（つまり反）粒子を示し、項は一貫してすべて左（またはすべて右）カイラリティです（反粒子の左カイラリティ射影は右利きの場であることに注意してください。異なる表記が使用される場合があるため、ここでは注意が必要です）。ここでは、基本的に左巻きニュートリノと右巻き反ニュートリノを切り替えています（さらに、ニュートリノがそれ自身の反粒子である可能性があり、必ずしもそうである必要はありません。そのため、これらの粒子は同じです）。しかし、左カイラリティニュートリノの場合、この項は弱超電荷を2単位変化させます。これは標準的なヒッグス相互作用では不可能であり、ヒッグス場を拡張して弱超電荷 = 2の余分な三重項を含める必要があります^[4]。一方、右カイラリティニュートリノの場合、ヒッグス拡張は必要ありません。左カイラリティと右カイラリティの両方のケースで、マヨラナ項はレプトン数に違反しますが、そのような違反を検出する現在の実験の感度を超えるレベルである可能性があります。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Maj}}=-{\frac {1}{2}}m\left({\overline {\nu }}^{C}\nu +{\overline {\nu }}\nu ^{C}\right)}$$${\displaystyle \nu }$

ディラック質量項とマヨラナ質量項の両方を同じ理論に含めることが可能であり、これは（ディラック質量のみのアプローチとは対照的に）右利きニュートリノをGUTスケール周辺の未知の物理学に結び付けることによって、観測されたニュートリノ質量の小ささに対する「自然な」説明を提供することができる^[6]（シーソー機構を参照）。

いずれにせよ、実験結果を説明するには新しい場を仮定する必要があるため、ニュートリノは標準モデルを超えた物理学を探索するための明らかな入り口です。

このセクションでは、いくつかの側面についてさらに詳しく説明し、参考資料もいくつか示します。明示的なラグランジアン項もここで提供されます。

標準モデルには以下のフィールドがあります。これらはレプトンとクォークの 1世代を表し、3 世代あるため、各フェルミオン フィールドのコピーが 3 つあります。CPT 対称性により、反対のパリティと電荷を持つフェルミオンと反フェルミオンのセットが存在します。左利きのフェルミオンが何らかの表現にまたがる場合、その反粒子 (右利きの反フェルミオン) は双対表現にまたがります^[7] ( SU(2) の場合、擬実数であるため、このことに注意してください)。列「表現」は、各フィールドが変換されるゲージ グループの表現を(SU(3)、SU(2)、U(1)) の順で示し、U(1) グループの場合は、弱いハイパーチャージの値がリストされます。各世代には、左利きのレプトン フィールド コンポーネントが右利きのレプトン フィールド コンポーネントの 2 倍ありますが、左利きのクォーク フィールド コンポーネントと右利きのクォーク フィールド コンポーネントの数は等しくなります。 ${\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }}$

この表は、粒子データグループによって収集されたデータに基づいています。^[9]

質量のないニュートリノを含む最も一般的なラグランジアンを書くと、そのダイナミクスは19個のパラメータに依存し、その数値は実験によって確立されていることがわかります。質量のあるニュートリノを含む標準モデルの直接的な拡張には、さらに7個のパラメータ（3つの質量と4つのPMNS行列パラメータ）が必要で、合計26個のパラメータになります。^[10]ニュートリノパラメータ値はまだ不確実です。19個の特定のパラメータをここにまとめます。

自由パラメータの選択は、ある程度任意です。上の表では、ゲージ結合が自由パラメータとしてリストされているため、この選択では、ワインベルグ角は自由パラメータではなく、 と定義されます。同様に、QED の微細構造定数は です。フェルミオン質量の代わりに、無次元の湯川結合を自由パラメータとして選択できます。たとえば、電子質量は、電子とヒッグス場の湯川結合に依存し、その値は です。ヒッグス質量の代わりに、ヒッグスの自己結合強度（約 0.129）を自由パラメータとして選択できます。ヒッグスの真空期待値の代わりに、ヒッグスの自己相互作用項から直接得られるパラメータを選択できます。その値は、または約=${\displaystyle \tan \theta _{\rm {W}}={g_{1}}/{g_{2}}}$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {(g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}}}}$${\displaystyle m_{\rm {e}}=y_{\rm {e}}v/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \lambda ={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2v^{2}}}}$${\displaystyle \mu ^{2}}$${\displaystyle \mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}}$${\displaystyle \mu ^{2}=\lambda v^{2}={m_{\rm {H}}^{2}}/2}$${\displaystyle \mu }$88.45GeV。

真空エネルギーの値（より正確には、このエネルギーを計算するために使用される再正規化スケール）も、追加の自由パラメータとして扱うことができる。再正規化スケールはプランクスケールと同一視されるか、観測された宇宙定数と一致するように微調整される。しかし、どちらの選択肢にも問題がある。^[11]

理論的な観点から見ると、標準モデルは、その構築当初には仮定されていなかった、偶発的対称性と総称される連続的なU(1)大域対称性である 4 つの追加の大域対称性を示します。ラグランジアン不変量を離れる変換は次のとおりです。 $${\displaystyle \psi _{\text{q}}(x)\to e^{i\alpha /3}\psi _{\text{q}}}$$ $${\displaystyle E_{\rm {L}}\to e^{i\beta }E_{\rm {L}}{\text{ and }}(e_{\rm {R}})^{\text{c}}\to e^{i\beta }(e_{\rm {R}})^{\text{c}}}$$ $${\displaystyle M_{\rm {L}}\to e^{i\beta }M_{\rm {L}}{\text{ and }}(\mu _{\rm {R}})^{\text{c}}\to e^{i\beta }(\mu _{\rm {R}})^{\text{c}}}$$ $${\displaystyle T_{\rm {L}}\to e^{i\beta }T_{\rm {L}}{\text{ and }}(\tau _{\rm {R}})^{\text{c}}\to e^{i\beta }(\tau _{\rm {R}})^{\text{c}}}$$

最初の変換規則は、すべての世代のすべてのクォーク場が同時に同一の位相で回転する必要があることを意味しています。M _L、T _L、およびは、 E _Lおよび場の第 2 世代 (ミューオン) および第 3 世代 (タウ) の類似物です。 ${\displaystyle (\mu _{\rm {R}})^{\text{c}},(\tau _{\rm {R}})^{\text{c}}}$${\displaystyle (e_{\rm {R}})^{\text{c}}}$

ノイマンの定理によれば、上記の各対称性には、重粒子数、^[12]電子数、ミュー粒子数、およびタウ数の保存則が関連付けられています。各クォークには重粒子数が割り当てられ、各反クォークには重粒子数が割り当てられます。重粒子数の保存則は、クォーク数から反クォーク数を引いた値が定数であることを意味します。実験的限界内では、この保存則に違反する例は見つかっていません。 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$${\textstyle -{\frac {1}{3}}}$

同様に、各電子とそれに関連するニュートリノには +1 の電子番号が​​割り当てられ、反電子とそれに関連する反ニュートリノには -1 の電子番号が​​割り当てられます。同様に、ミューオンとそのニュートリノには +1 のミューオン番号が割り当てられ、タウレプトンには +1 のタウレプトン番号が割り当てられます。標準モデルでは、これらの 3 つの数値はそれぞれ、重粒子数が保存されるのと同様に個別に保存されると予測されています。これらの数値は、総称してレプトンファミリー数(LF) と呼ばれます。(この結果は、標準モデルでニュートリノは質量がないという仮定に基づいています。実験的には、ニュートリノ振動により、個々の電子、ミューオン、タウの数値は保存されないことが実証されています。) ^{[13] [14]}

上で説明した偶然の（しかし正確な）対称性に加えて、標準モデルはいくつかの近似的な対称性を示します。これらは「SU(2)カストディアル対称性」と「SU(2) または SU(3) クォークフレーバー対称性」 です。

レプトンの場合、ゲージ群はSU(2) _l  × U(1) _L  × U(1) _Rと書くことができます。2つの U(1) 因子はU(1) _Y  × U(1) _lに組み合わせることができます。ここで l はレプトン数です。レプトン数のゲージ化は実験によって排除され、 SU(2) _L  × U(1) _Yのゲージ群のみが残ります。クォークセクターでの同様の議論は、電弱理論でも同じ結果をもたらします。

荷電電流は、 これらの荷電電流は、ベータ崩壊のフェルミ理論に入力された電流とまったく同じです。この作用には、荷電電流部分が含まれます。W ボソンの質量よりもはるかに小さいエネルギーの場合、有効理論は、 フェルミ理論 の電流-電流接触相互作用になります。${\displaystyle j^{\mp }=j^{1}\pm ij^{2}}$$${\displaystyle j_{\mu }^{-}={\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }.}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {CC}}={\frac {g}{\sqrt {2}}}(j_{\mu }^{+}W^{-\mu }+j_{\mu }^{-}W^{+\mu }).}$$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}G_{\rm {F}}~~J_{\mu }^{+}J^{\mu ~~-}}$

しかし、ゲージ不変性は、ゲージ場の成分がSU(2)の三重項にある電流にも結合していることを要求する。しかし、これはU(1)と混合し、そのセクターに別の電流が必要になる。これらの電流は電荷を保存するために荷電されていなければならない。したがって、中性電流も必要であり、 ラグランジアンにおける中性電流部分は次のようになる。 ${\displaystyle W^{3}}$$${\displaystyle j_{\mu }^{3}={\frac {1}{2}}\left({\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }U_{i\mathrm {L} }-{\overline {D}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }\nu _{i\mathrm {L} }-{\overline {l}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }\right)}$$ $${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}={\frac {2}{3}}{\overline {U}}_{i}\gamma _{\mu }U_{i}-{\frac {1}{3}}{\overline {D}}_{i}\gamma _{\mu }D_{i}-{\overline {l}}_{i}\gamma _{\mu }l_{i}.}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {NC}}=ej_{\mu }^{\rm {em}}A^{\mu }+{\frac {g}{\cos \theta _{\rm {W}}}}(J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}J_{\mu }^{\rm {em}})Z^{\mu }.}$$

• 素粒子物理学の標準モデルの概要
• 基本的な相互作用
• 非可換標準モデル
• 未解決の問題: CP対称性の破れ、ニュートリノ質量、クォーク物質
• 標準モデルを超えた物理学
• 強い相互作用
  • 味
  • 量子色力学
  • クォークモデル
• 弱い相互作用
  • 電弱相互作用
  • フェルミの相互作用
• ワインベルグ角
• 量子力学における対称性
• A. Zee 著「量子場理論の要点」