関連バンドル

させて${\textstyle \pi :E\to X}$位相空間上のファイバー束である${\displaystyle X}$構造グループを持つ${\displaystyle G}$一般的な繊維${\displaystyle F}$定義上、左アクションがある${\displaystyle G}$（変換グループとして）ファイバー上${\displaystyle F}$さらに、この作用が忠実であると仮定する。^{[ 2 ]}束の局所的自明化 が存在する。${\displaystyle E}$開いたカバーで構成されている${\displaystyle U_{i}}$の${\displaystyle X}$光ファイバーマップのコレクション$${\displaystyle \varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F}$$遷移マップは、${\displaystyle G}$より正確には、連続関数が存在する。${\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to G}$そのため$${\displaystyle \psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{各 }}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,について}$$これはコサイクル条件を満たしている。$${\displaystyle g_{ij}(x)g_{jk}(x)=g_{ik}(x),\quad x\in U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$$さあ${\displaystyle F'}$指定された位相空間であり、連続左作用を備えている。${\displaystyle G}$.次に、関連付けられたバンドル${\displaystyle E}$ファイバー付き${\displaystyle F'}$バンドルです${\displaystyle E'}$カバーに従属する局所的矮小化を伴う${\displaystyle U_{i}}$その遷移関数は次のように与えられる。$${\displaystyle \psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{各 }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,}$$どこで${\displaystyle G}$値関数${\displaystyle g_{ij}(u)}$これらは、元のバンドルの局所的自明化から得られるものと同じである。${\displaystyle E}$この定義は、遷移関数のコサイクル条件を明確に満たしています。なぜなら、関数は${\displaystyle \{g_{ij}\}_{i,j}}$コサイクル条件を満たす。したがって、ファイバー束構成定理の存在部分により、ファイバー束が生成される。${\displaystyle E'}$ファイバー付き${\displaystyle F'}$これは、${\displaystyle E}$主張どおり。

以前と同様に、${\displaystyle E}$構造群を持つ繊維束である${\displaystyle G}$特別な場合${\displaystyle G}$自由かつ推移的な左作用を持つ${\displaystyle F'}$、 となることによって${\displaystyle F'}$は、左アクションの主要な均質空間である。${\displaystyle G}$それ自体、そして関連するバンドル${\displaystyle E'}$校長先生と呼ばれる${\displaystyle G}$ファイバーバンドルに関連付けられたバンドル${\displaystyle E}$さらに、新しいファイバー${\displaystyle F'}$と関連付けられる${\displaystyle G}$（となることによって${\displaystyle F'}$権利を継承する${\displaystyle G}$左の動作と同様に、右の動作は${\displaystyle G}$の上${\displaystyle F'}$正しい行動を誘発する${\displaystyle G}$の上${\displaystyle E'}$この識別方法の選択により、${\displaystyle E'}$通常の意味での主要バンドルとなる。

ファイバー束構成定理の同型性部分により、構成は同型性を除いて一意である。つまり、任意の 2 つの構成の間には、${\displaystyle G}$-同変束同型。これはゲージ変換とも呼ばれます。これにより、G束に関連付けられた主G束について話すことができます。このようにして、主G束は${\displaystyle G}$右アクションを備えたバンドルは、構造グループを持つファイバーバンドルを指定するデータの一部とみなされることが多い。${\displaystyle G}$すると、次のセクションで説明するように、逆の方向から繊維製品を使用して任意の繊維束を導き出すことができる。

させて${\displaystyle \pi \colon P\to X}$主G束である。忠実な左作用が与えられた場合${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Homeo} (F)}$の${\displaystyle G}$光ファイバー空間において${\displaystyle F}$（滑らかなカテゴリーでは、滑らかな多様体上に滑らかな作用があるはずです）、目標はGバンドルを構成することです${\displaystyle \pi _{\rho }:E\to X}$ファイバー空間の${\displaystyle F}$ベーススペースの上${\displaystyle X}$それは、${\displaystyle P}$。

正しい行動を定義する${\displaystyle G}$の上${\displaystyle P\times F}$^{[ 3 ] [ 4 ]}経由

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,g^{-1}\cdot f)\,.}$

このアクションの商を取ってスペースを取得します${\displaystyle E=P\times _{\rho }F=(P\times F)/G}$の同値類を表す。${\displaystyle (p,f)}$による${\displaystyle [p,f]}$。 ご了承ください

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,g\cdot f]{\mbox{すべての}}g\in Gについて}$

投影図を定義する${\displaystyle \pi _{\rho }\colon E\to X}$による${\displaystyle \pi _{\rho }([p,f])=\pi (p)}$これは明確に定義されています。${\displaystyle \pi (p)=\pi (p\cdot g)}$つまり、${\displaystyle G}$の上${\displaystyle P}$繊維を保存する。${\displaystyle \pi _{\rho }\colon E\to X}$ファイバーバンドル${\displaystyle F}$構造グループ${\displaystyle G}$ここで、遷移関数は次のように与えられる。${\displaystyle \rho \circ t_{ij}}$、 どこ$t_ij$主束の遷移関数は${\displaystyle P}$。

圏論では、これは等化子構成と呼ばれる。連続写像が2つ存在する。${\displaystyle P\times G\times F\to P\times F}$作用によって与えられる${\displaystyle G}$右側に${\displaystyle P}$そして左側には${\displaystyle F}$関連するファイバー束${\displaystyle P\times _{\rho }F}$これは、これらのマップの共等化器です。

もし${\displaystyle H\subset G}$すると、${\displaystyle H}$-バンドル${\displaystyle C}$拡張可能${\displaystyle G}$-バンドル${\displaystyle B}$その後、${\displaystyle H}$はただ${\displaystyle C}$また。

滑らかな多様体が与えられたとき、そのフレーム束は主一般線形群である。${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$-バンドル。滑らかな多様体上の多くの幾何学的構造は、自然に、${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$リーマン計量は、構造群を直交群に縮小したものである。${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$方向付けは、特殊線形群への還元である。${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$。

滑らかな多様体、その接束、またはより一般的にはランクのベクトル束が与えられた場合${\displaystyle n}$それに加えて、それはまた、主要な${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$-バンドルであり、同様の縮約を実行できます。実バンドル上のほぼ複素構造は、実一般線形群からの構造群の縮約です。${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$複素一般線形群へ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ランクのベクトル束を分解する${\displaystyle n}$ランクのサブバンドルのホイットニー和（直接和）として${\displaystyle k}$そして${\displaystyle n-k}$構造グループを縮小しています${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$に${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\times \mathrm {GL} (n-k,\mathbb {R} )}$それを単なる「ほぼ複素数」ではなく「複素数」構造にするためには、追加の積分可能性条件が必要である。

多様体上の分布は、その接束をブロック行列部分群に縮小したものである。具体的には、${\textstyle p}$次元分布${\textstyle n}$-多様体${\textstyle M}$フレームバンドルの削減${\textstyle TM}$から${\textstyle \operatorname {GL} (n)}$固定値を保持するサブグループへ${\textstyle p}$-飛行機で${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$（つまり旗）${\textstyle 0\subset \mathbb {R} ^{p}\subset \mathbb {R} ^{n}}$):$${\displaystyle G_{p,q}=\left\{\left({\begin{array}{cc}A&B\\0&C\end{array}}\right):A\in \mathrm {GL} (p,\mathbb {R} ),C\in \mathrm {GL} (q,\mathbb {R} ),B\in M_{p\times q}(\mathbb {R} )\right\},\quad q=n-p}$$分布が積分可能な場合、フロベニウスの定理が適用され、葉層構造が生成されます。