アクション（物理）

アクション
一般的な記号	S
SI単位	ジュール秒
その他のユニット	J⋅Hz −1
SI基本単位では	kg⋅m 2 ⋅s −1
寸法	${\displaystyle {\mathsf {M}}\cdot {\mathsf {L}}^{2}\cdot {\mathsf {T}}^{-1}}$

物理学において、作用は、物理システムの運動エネルギーと位置エネルギーのバランスが軌道とともにどのように変化するかを説明するスカラー量である。作用は、複数の物体に対してより単純な古典力学へのアプローチである定常作用の原理への入力であるため重要である。 ^{[1]作用と変分原理は}、ファインマンの量子力学の定式化^[2]と一般相対性理論で使用されている。 ^[3]プランク定数と同様の小さな作用値を持つシステムの場合、量子効果は重要である。^[4]

単一の粒子が一定の速度で移動する（したがって、等速直線運動する）という単純なケースでは、作用は粒子の運動量と移動距離を乗じたものをその経路に沿って加算したものになります。同様に、作用は粒子の運動エネルギーと位置エネルギーの差に、その量のエネルギーを持つ期間を乗じたものになります。

より正式には、作用はシステムの軌跡（パスまたは履歴とも呼ばれる）を引数として取り、結果として実数を持つ数学関数です。一般的に、作用はパスごとに異なる値を取ります。 ^[5]作用の次元はエネルギー×時間 または 運動量× 長 さで、SI単位系はジュール秒です（プランク定数hと同様）。^[6]

物理学の入門は、力と運動を関連付けるニュートンの運動の法則から始まることが多い。作用は、実用的かつ教育的な利点を持つ、完全に同等の代替アプローチの一部である。 ^[1]しかし、この概念がニュートンのアプローチに取って代わるまでには何十年もかかり、学生に紹介するのは依然として難しい。^[7]

地球上の空中を移動するボールの軌道の場合、作用は2つの時点の間で定義され、運動エネルギー（KE）から位置エネルギー（PE）を引いたものを時間とともに積分したものとして定義されます。^[4]${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(KE(t)-PE(t)\right)dt}$

作用は運動エネルギーと位置エネルギーを釣り合わせます。^[4] 質量のあるボールの運動エネルギーは、ボールの速度です。位置エネルギーは、重力定数です。そして、と間の作用は、 ${\displaystyle m}$${\displaystyle (1/2)mv^{2}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle mgx}$${\displaystyle g}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt}$

作用の値は、ボールがとを通過する軌道に依存します。これにより、作用は、古典力学と量子力学の強力な定常作用原理への入力になります。ニュートンのボールの運動方程式は、定常作用原理を使用して作用から導くことができますが、作用に基づく力学の利点は、ニュートンの法則を適用するのが難しい場合にのみ現れ始めます。ボールを電子に置き換えてください。古典力学は機能しませんが、定常作用は機能します。^[4]単純な作用の定義におけるエネルギー差、つまり運動エネルギーから位置エネルギーを引いたものは一般化され、より複雑なケースではラグランジアンと呼ばれます。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle v(t)}$

プランク定数は、または と表記され、係数 を含めば作用量子と呼ばれます。^{[8]作用と同様に、この定数の単位はエネルギー×時間です。}不確定性原理やド・ブロイ波長など、すべての重要な量子方程式に登場します。作用の値がプランク定数に近づくと、量子効果が顕著になります。^[4]${\displaystyle h}$${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle 1/2\pi }$

1740年代に活動していたピエール・ルイ・モーペルチュイとレオンハルト・オイラーは、作用原理の初期のバージョンを開発した。ジョセフ・ルイ・ラグランジュは変分法を発明して数学を明確にした。ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、 1853年にハミルトンの原理を定式化し、次の大きな進歩を遂げた。^{[9] : 740}ハミルトンの原理は、リチャード・ファインマンとジュリアン・シュウィンガーが量子作用原理を開発する まで、さまざまな形態の作用に関する古典的な研究の基礎となった。^{[10] : 127}

変分法を用いた数学的言語で表現すると、物理システムの発展（すなわち、システムが実際にある状態から別の状態にどのように進行するか）は、作用の静止点（通常は最小値）に対応します。作用は[エネルギー]  ×  [時間]の次元を持ち、そのSI 単位はジュール秒で、これは角運動量の単位と同じです。

物理学では、「作用」のいくつかの異なる定義が一般的に使用されています。^{[11] [12]}作用は通常、時間にわたって積分されます。ただし、作用が場に関係する場合は、空間変数にわたって積分されることもあります。場合によっては、作用は物理システムがたどる経路に沿って積分されます。

作用は典型的には、システムの初期段階から最終段階までの間のシステムの経路に沿って取られた積分として表される： ^[11] ここで、積分関数Lはラグランジアンと呼ばれる。作用積分が明確に定義されるためには、軌道は時間と空間で制限されていなければならない。 $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,}$$

最も一般的には、この用語は、時間と（場の場合）空間の関数を入力として受け取り、スカラーを返す関数 に対して使用されます。^{[13] [14]}古典力学では、入力関数はt ₁とt _{2 の}２つの時間の間のシステムの発展q ( t ) であり、q は一般化座標を表します。作用は、 ２つの時間の間の入力発展に対する ラグランジアンLの積分として定義されます。 ここで、発展の終点は固定され、およびとして定義されます。ハミルトンの原理によれば、真の発展q _true ( t ) は、作用が定常である発展（最小値、最大値、または鞍点）です。この原理から、ラグランジアン力学の運動方程式が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,}$$${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}$${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

作用関数に加えて、省略作用と呼ばれる別の関数があります。省略作用では、入力関数は、時間によるパラメータ化に関係なく、物理システムがたどる経路です。たとえば、惑星の軌道の経路は楕円であり、均一な重力場における粒子の経路は放物線です。どちらの場合も、経路は粒子が経路を通過する速度に依存しません。

省略作用（ と表記されることもある）は、一般化座標の経路に沿った システムラグランジアンの一般化運動量の積分として定義されます 。 ここで、 と は開始座標と終了座標です。モーペルチュイの原理によれば、システムの真の経路は省略作用が定常 となる経路です。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q_{i}}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\Sigma _{i}p_{i}\,dq_{i}.}$$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$

全エネルギーEが保存される場合、ハミルトン・ヤコビ方程式は加法的な変数分離によって解くことができる：^{[11] ：225} ここで、時間に依存しない関数W（q ₁、q ₂、...、q _N ）はハミルトンの特性関数と呼ばれる。この関数の物理的意味は、その全時間微分を取ることで理解される。 $${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$$

$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$$

これを統合すると、

$${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$$

これは単に短縮された動作である。^{[15] : 434}

作用角座標における変数J _{k は}、一般化座標q _kの「作用」と呼ばれ、回転運動または振動運動に対応する位相空間内の閉じた経路の周りの単一の一般化運動量を積分することによって定義されます。 ^{[15] : 454}

$${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$$

J _kに共役な対応する標準変数は、その「角度」w _kである。その理由は、作用角座標でより詳しく説明されている。積分は単一の変数q _kに対してのみ行われるため、上記の省略された作用積分の積分ドット積とは異なります。J _k変数は、 q _kが閉経路の周りで変化したときのS _k ( q _k )の変化に等しい。いくつかの関心のある物理システムでは、J _{k は}定数であるか、非常にゆっくりと変化するため、変数J _{k は}摂動計算や断熱不変量の決定によく使用されます。たとえば、惑星や衛星の軌道の計算に使用されます。^{[15] : 477}

相対論的効果が顕著な場合、固有時間でパラメータ化された世界線Cを移動する質量mの点粒子の作用は、 ${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$$

代わりに、粒子が粒子の座標時間tによってパラメータ化され、座標時間の範囲がt ₁からt ₂である場合、作用は ラグランジアン^[16]で 表されます。$${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$$ $${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$$

物理法則は、位置や運動量などの物理量が時間、空間、またはその一般化とともに連続的に変化する様子を記述する微分方程式として表現されることが多い。状況の初期条件と境界条件が与えられれば、これらの経験方程式の「解」は、システムの動作を記述する 1 つ以上の関数となり、運動方程式と呼ばれる。

作用は、そのような運動方程式を見つけるための代替アプローチの一部です。古典力学では、物理システムが実際にたどる経路は、作用が最小化される経路、またはより一般的には定常であると仮定しています。言い換えると、作用は変分原理、すなわち定常作用の原理を満たしています(以下も参照)。作用は積分によって定義され、システムの古典的な運動方程式はその積分の値を最小化することで導き出すことができます。

作用原理は物理学に深い洞察を与え、現代の理論物理学における重要な概念です。さまざまな作用原理と関連する概念を以下にまとめます。

古典力学において、モーペルテュイの原理(ピエール ルイ モーペルテュイにちなんで名付けられた) は、物理システムがたどる経路は最短距離の経路である (経路と長さの適切な解釈による) と述べています。モーペルテュイの原理は、経路上の 2 つの一般化された点間の短縮された作用を使用します。

ハミルトンの原理によれば、あらゆる物理システムの運動の微分方程式は、同等の積分方程式として再定式化できる。したがって、動的モデルを定式化するための 2 つの異なるアプローチがある。

ハミルトンの原理は、単一粒子の古典力学だけでなく、電磁場や重力場などの古典場にも適用される。ハミルトンの原理は量子力学や量子場理論にも拡張されており、特に量子力学の経路積分定式化ではこの概念が利用されている。量子力学の経路積分定式化では、物理系がすべての可能な経路を探索し、各経路の確率振幅の位相は経路の作用によって決定され、最終的な確率振幅は、複素振幅と位相を使用してすべての経路を加算する。^[17]

ハミルトンの主関数は、作用関数の初期時間と初期終点を固定し、上限時間および第 2 の終点が変化できるようにすることで得られます。ハミルトンの主関数は、古典力学の定式化であるハミルトン ヤコビ方程式を満たします。シュレーディンガー方程式との類似性により、ハミルトン ヤコビ方程式は、おそらく量子力学との最も直接的なつながりを提供します。 ${\displaystyle S=S(q,t;q_{0},t_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle q_{0},}$${\displaystyle t}$${\displaystyle q}$

ラグランジュ力学では、小さな摂動の下で作用積分が定常であるという要件は、変分法を使用して得られる一連の微分方程式（オイラー-ラグランジュ方程式と呼ばれる）と同等です。

作用原理を拡張して、電磁場や重力場などの場の運動方程式を得ることができます。 マクスウェル方程式は、定常作用の条件として導出できます。

アインシュタイン方程式は、変分原理によって制約されたアインシュタイン-ヒルベルト作用を利用します。重力場における物体の軌道（時空内の経路）は、作用原理を使用して見つけることができます。自由落下する物体の場合、この軌道は測地線です。

物理的状況における対称性の含意は、作用原理と、作用原理から導かれるオイラー・ラグランジュ方程式から見出すことができる。一例として、ネーターの定理があり、これは物理的状況におけるあらゆる連続対称性には保存則が対応する（そしてその逆もまた真である）と述べている。この深いつながりは、作用原理を前提とすることを必要とする。^[17]

量子力学では、システムは作用が定常である単一の経路に従うのではなく、システムの挙動はすべての許容される経路とその作用の値に依存します。さまざまな経路に対応する作用は経路積分を計算するために使用され、経路積分はさまざまな結果の 確率振幅を与えます。

作用原理は古典力学ではニュートンの法則と同等であるが、一般化にはより適しており、現代物理学で重要な役割を果たしている。実際、この原理は物理科学における偉大な一般化の 1 つである。この原理は量子力学、特にリチャード・ファインマンの経路積分定式化において最もよく理解されており、量子振幅の 破壊的干渉から生じている。

作用原理はさらに一般化することができる。例えば、非局所的作用が可能であるので、作用は積分である必要はない。非可換幾何学などの特定の特徴が与えられれば、配置空間は関数空間である必要さえない。しかし、これらの数学的拡張の物理的基礎は実験的に確立される必要がある。^[13]

• 『ケンブリッジ物理学公式ハンドブック』、G. ウォーン、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-57507-2。 
• Dare A. Wells、『ラグランジュ力学』、Schaum のアウトライン シリーズ (McGraw-Hill、1967 年) ISBN 0-07-069258-0、このテーマの 350 ページの包括的な「アウトライン」。 

• 最小作用の原理インタラクティブ インタラクティブな説明/ウェブページ