グループの生成セット

抽象代数学において、群の生成集合とは、群の集合の部分集合であり、群のすべての要素が、その部分集合の有限個の要素とその逆元の組み合わせ（群演算による）として表現できるような集合のことである。

つまり、もし${\displaystyle S}$グループの部分集合である${\displaystyle G}$、 それから${\displaystyle \langle S\rangle }$によって生成されたサブグループ${\displaystyle S}$は、の最小部分群です。${\displaystyle G}$すべての要素を含む${\displaystyle S}$これは、の要素を含むすべての部分群の共通部分に等しい。${\displaystyle S}$同等に、${\displaystyle \langle S\rangle }$は、すべての要素のサブグループです。${\displaystyle G}$これは、${\displaystyle S}$そしてそれらの逆元。（逆元は群が無限群の場合にのみ必要となることに注意してください。有限群では、要素の逆元はその要素のべき乗として表すことができます。）

もし${\displaystyle G=\langle S\rangle }$すると、${\displaystyle S}$生成する${\displaystyle G}$、そして${\displaystyle S}$これらはジェネレーターまたはグループジェネレーターと呼ばれます。${\displaystyle S}$空集合である場合、${\displaystyle \langle S\rangle }$自明なグループです${\displaystyle \{e\}}$なぜなら、我々は空の積を恒等式とみなすからである。

要素が1つしかない場合${\displaystyle x}$で${\displaystyle S}$、${\displaystyle \langle S\rangle }$通常は次のように書かれます${\displaystyle \langle x\rangle }$。 この場合、${\displaystyle \langle x\rangle }$は、​${\displaystyle x}$、巡回群であり、この群はによって生成されると言います。${\displaystyle x}$要素と言うことと同等${\displaystyle x}$グループを生成するとは、${\displaystyle \langle x\rangle }$グループ全体に等しい${\displaystyle G}$有限群の場合、それは次のように言うことと同等である。${\displaystyle x}$順序がある${\displaystyle |G|}$。

群によっては、無限個の生成元が必要となる場合がある。例えば、有理数の加法群などが挙げられる。${\displaystyle \mathbb {Q} }$は有限生成ではありません。すべての整数の逆元によって生成されますが、これらの生成元のうち任意の有限個を生成元から取り除いても、生成元であることに変わりはありません。このような場合、生成元内のすべての要素は「非生成元」であり、実際には群全体のすべての要素も同様です（下記のフラッティーニ部分群 を参照）。

もし${\displaystyle G}$位相群である場合、部分集合${\displaystyle S}$の${\displaystyle G}$は、位相生成子の集合と呼ばれる。${\displaystyle \langle S\rangle }$密度が高い${\displaystyle G}$つまり、​${\displaystyle \langle S\rangle }$グループ全体${\displaystyle G}$。

もし${\displaystyle S}$有限であれば、群${\displaystyle G=\langle S\rangle }$有限生成群と呼ばれる。特に有限生成アーベル群の構造は容易に記述できる。有限生成群に対して成り立つ多くの定理は、一般の群には当てはまらない。有限群が部分集合によって生成される場合、次のことが証明されている。${\displaystyle S}$すると、各グループ要素はアルファベットの単語として表現できる。${\displaystyle S}$群の位数以下の長さを持つ。

すべての有限群は有限生成である。${\displaystyle \langle G\rangle =G}$加算における整数群は、1 と −1 の両方によって有限に生成される無限群の例ですが、加算における有理数群は有限に生成できません。非可算群は有限に生成できません。たとえば、加算における実数群は、${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$。

同じグループの異なるサブセットがサブセットを生成することがあります。たとえば、${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$はgcd ( p , q ) = 1   の整数である。${\displaystyle \{p,q\}}$また、ベズーの恒等式によって加算に関する整数の群も生成します。

有限生成群のすべての商群は有限生成である（商群の生成元の像は有限生成集合を与える）のは事実だが、有限生成群の部分群は必ずしも有限生成であるとは限らない。例えば、${\displaystyle G}$2 つのジェネレーター内の自由群である。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$（これは明らかに有限生成です。なぜなら${\displaystyle G=\langle \{x,y\}\rangle }$)、そして${\displaystyle S}$すべての要素からなる部分集合とする${\displaystyle G}$形式${\displaystyle y^{n}xy^{-n}}$ある自然数に対して${\displaystyle n}$。${\displaystyle \langle S\rangle }$は可算無限個の生成元で自由群と同型であるため、有限生成にはなり得ません。しかし、有限生成アーベル群のすべての部分群はそれ自体で有限生成です。実際、さらに言うと、すべての有限生成群のクラスは拡大に関して閉じています。これを確認するには、（有限生成）正規部分群と商群の生成元集合を取ります。すると、正規部分群の生成元と商群の生成元の逆像が群を生成します。

• 9を法とする整数の乗法群U 9 ₌  {  1,  2,  4,  5,  7,  8}は、 9を法とする乗法に関して 9と互いに素なすべての整数の群です。要素 7 はU ₉の生成元ではありません。  $${\displaystyle \{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},}$$2は、$${\displaystyle \{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}$$
• 次数nの対称群 S n_は、 n > 2の場合、どの 1 つの要素からも生成されません (巡回群ではありません)。ただし、このような場合でも、 S _{n は}常に 2 つの置換によって生成できます。巡回記法では、転置(1 2) と巡回(1 2 3 ... n )が生成集合を形成します。たとえば、S ₃の 6 つの要素は、次の式の右辺に示すように、2 つの生成元 (1 2) と (1 2 3) から生成できます (合成は左から右です)。     

  e = (1 2)(1 2)

  (1 2) = (1 2)

  (1 3) = (1 2)(1 2 3)

  (2 3) = (1 2 3)(1 2)

  (1 2 3) = (1 2 3)

  (1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• 無限群は有限の生成集合を持つことができます。整数の加法群では、 1 が生成集合となります。要素 2 は奇数が欠けるため、生成集合ではありません。2 つの要素からなる部分集合{3,  5}は、 ( − 5)  +  3  +  3  =  1であるため生成集合です(実際、ベズーの恒等式の結果として、互いに素な数の任意のペアが生成集合となります)。
• n角形（位数2n ）の二面体群は、集合{ r , s }によって生成されます。ここで、rは2π / nによる回転を表し、sは対称軸に関する任意の反射を表します。^{[ 1 ]}
• 位数の巡回群${\displaystyle n}$、${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$、そして${\displaystyle n}$^1のn乗根はすべて単一の要素によって生成されます（実際、これらのグループは互いに同型です）。 ^{[ 2 ]}
• 群の表現は、生成子の集合とそれらの間の関係の集合として定義されるため、そのページに記載されている例はすべて生成集合の例を含んでいます。^{[ 3 ]}

セットによって生成される最も一般的なグループ${\displaystyle S}$グループは自由に生成されます${\displaystyle S}$. 生成されたすべてのグループ${\displaystyle S}$これはこの群の商群と同型であり、この特徴は群の表示の表現に利用される。

興味深い関連トピックは、非生成子です。${\displaystyle x}$グループ${\displaystyle G}$すべてのセットが非生成子である場合${\displaystyle S}$含む${\displaystyle x}$生成する${\displaystyle G}$依然として生成する${\displaystyle G}$いつ${\displaystyle x}$削除される${\displaystyle S}$加算を伴う整数では、生成元でないのは 0 だけです。すべての生成元でない数の集合は、次の部分群を形成します。${\displaystyle G}$フラッティーニ亜群。

もし${\displaystyle G}$半群またはモノイドであっても、生成集合の概念は依然として使用できる。${\displaystyle S}$の${\displaystyle G}$。${\displaystyle S}$は半群/モノイド生成集合である${\displaystyle G}$もし${\displaystyle G}$は、${\displaystyle S}$。

上で述べた有限和を用いた群の生成集合の定義は、半群やモノイドを扱う場合には若干修正する必要がある。実際、この定義では逆演算の概念はもはや使用すべきではない。${\displaystyle S}$は半群生成集合であると言われている。${\displaystyle G}$各要素が${\displaystyle G}$は、の要素の有限和です。${\displaystyle S}$同様に、セット${\displaystyle S}$はモノイド生成集合であると言われている。${\displaystyle G}$ゼロでない各要素が${\displaystyle G}$は、の要素の有限和です。${\displaystyle S}$。

例えば、{1}は自然数の集合のモノイド生成元である。${\displaystyle \mathbb {N} }$集合{1}は、正の自然数の半群生成子でもある。${\displaystyle \mathbb {N} _{>0}}$しかし、整数 0 は 1 の (空でない) 和として表現できないため、{1} は自然数の半群生成子ではありません。

同様に、{1} は整数の集合の群生成子である。${\displaystyle \mathbb {Z} }${1} は整数の集合のモノイド生成子ではありません。実際、整数 −1 は 1 の有限和として表現することはできません。

• 他の構造における関連意味の生成セット
• グループによるプレゼンテーション
• 基本要素（有限体）
• ケイリーグラフ

• ラング、セルジュ（2002）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556、Zbl 0984.00001​  
• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980).離散群の生成子と関係. Springer. ISBN 0-387-09212-9。

• ワイススタイン、エリック・W. 「群生成子」 . MathWorld .