繊維束

数学、特に位相幾何学において、ファイバー束（英: fibre bundle）は、局所的には積空間であるが、大域的には異なる位相構造を持つ空間である。具体的には、空間と積空間の類似性は、の小さな領域において の対応する領域からへの射影のように動作する連続射影写像を使用して定義される。 この写像は、バンドルの射影または沈み込みと呼ばれ、バンドルの構造の一部と見なされる。空間は、ファイバー束の全空間、基底空間、ファイバーとして知られている。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle B\times F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B\times F}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle \pi,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$

自明なケースでは、は であり、写像は積空間から最初の因子への射影にすぎません。これは、自明バンドルと呼ばれます。非自明なファイバーバンドルの例には、メビウスの帯やクラインの壺、非自明な被覆空間などがあります。多様体の接線バンドルやその他のより一般的なベクトルバンドルなどのファイバーバンドルは、主バンドルと同様に、微分幾何学と微分位相幾何学で重要な役割を果たします。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle B\times F,}$${\displaystyle \pi}$

射影写像と「可換」なファイバー束の全空間間の写像はバンドル写像と呼ばれ、ファイバー束のクラスはそのような写像に関するカテゴリを形成します。基底空間自体から（恒等写像を射影として）へのバンドル写像は、のセクションと呼ばれます。 ファイバー束はさまざまな方法で特殊化できますが、最も一般的な方法は、局所的な自明なパッチ間の遷移写像が、ファイバーに作用する構造群と呼ばれる特定の位相群にあることを要求する方法です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle F}$

位相幾何学において、ファイバー（ドイツ語：Faser）とファイバー空間（gefaserter Raum ）という用語は、1933年のハーバート・ザイフェルトの論文^{[1] [2] [3]}で初めて登場しましたが、彼の定義は非常に特殊な場合に限られています。しかし、今日のファイバー空間の概念との主な違いは、ザイフェルトにとって、現在ファイバー（位相）空間Eの基底空間（位相空間）と呼ばれているものは構造の一部ではなく、Eの商空間として構造から導出されたという点です。ファイバー空間の最初の定義は、1935年にハスラー・ホイットニーによって球面空間という名前で与えられましたが、 ^{[4] 1940年にホイットニーは}球面バンドルに名前を変更しました。^[5]

ベクトル束、主束、位相ファイバ化、ファイバ多様体が特別なケースであるファイバ空間の理論は、ハーバート・ザイファート、ハインツ・ホップ、ジャック・フェルドバウ、^[6]ホイットニー、ノーマン・スティーンロッド、チャールズ・エーレスマン、^{[7] [8] [9]} ジャン＝ピエール・セール、^[10]らに帰せられます。

繊維束は1935年から1940年にかけて独自の研究対象となった。最初の一般的な定義はホイットニーの著作に登場した。^[11]

ホイットニーは、より特殊な球束の概念の研究から繊維束の一般的な定義に至った。^{[12]球束とは、繊維が任意の}寸法の球である繊維束のことである。^[13]

ファイバーバンドルとは、とが位相空間であり、以下に概説する局所自明性条件を満たす連続射影である構造である。この空間は${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F),}$${\displaystyle E,B,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle B}$バンドルのベーススペース、${\displaystyle E}$総スペース、そして${\displaystyle F}$ファイバー。この地図は${\displaystyle \pi}$投影図（またはバンドル射影）。以下では、基底空間が連結である。 ${\displaystyle B}$

任意の に対して、の開近傍（これを自明化近傍と呼ぶ）が存在し、同相写像（ただし は部分空間位相が与えられ、は積空間）が存在し、 が第 1 因子への射影と一致するような形になっていることが必要である。つまり、次の図は と可換であるべきである。 ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$${\displaystyle \pi^{-1}(U)}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle \pi}$

ここで は自然な射影であり、 は同相写像である。全体の集合は${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U}$${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$バンドルの ローカル単純化。

したがって、任意の に対して、逆像はに同相であり（ についても真であるため）、上のファイバーと呼ばれる。 積の射影は開写像であるため、すべてのファイバー束は開写像である。したがって、 は写像によって決定される商位相を持つ。${\displaystyle p\in B}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi .}$

繊維束はしばしば ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$

これは、短い完全列と同様に、どの空間がファイバー、全空間、基本空間であるか、また全空間から基本空間への写像を示します。

あ滑らかなファイバー束は滑らかな多様体のカテゴリのファイバー束です。つまり、およびは滑らかな多様体である必要があり、上記のすべての関数は滑らかな写像である必要があります。 ${\displaystyle E,B,}$${\displaystyle F}$

を第一因子への射影とします。すると は 上のファイバーバンドル（の）です。ここで は局所的に積であるだけでなく、大域的に積です。このようなファイバーバンドルは${\displaystyle E=B\times F}$${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle E}$自明な束。収縮可能な CW 複合体上の任意のファイバー束は自明である。

おそらく、非自明な束の最も単純な例は、メビウスの帯です。帯の中心に沿って縦に走る円 が底辺 としてあり、ファイバーの線分 があるため、メビウスの帯は円上の線分の束です。（）の近傍は弧です。図では、これは正方形の 1 つ の長さです。図の原像は、幅 4 正方形、長さ 1 正方形の帯の（ややねじれた）スライスです（つまり、 に投影されるすべての点）。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi (x)\in B}$${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$

同相写像 ( § 形式的定義) が存在し、これは(自明化近傍) の逆像を円筒のスライスに写像します。つまり、曲がっていますが、ねじれていません。このペアは、ストリップを局所的に自明化します。対応する自明なバンドルは円筒になりますが、メビウスの帯には全体的に「ねじれ」があります。このねじれは、大域的にのみ可視であり、局所的には、メビウスの帯と円筒は同一です (どちらかに 1 つの垂直カットを作成すると同じ空間になります)。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle B\times F}$

同様の非自明なバンドルはクラインの壺であり、これは別の円の上の「ねじれた」円バンドルとして見ることができます。対応するねじれていない（自明な）バンドルは 2トーラス、です。 ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

被覆空間は、バンドル射影が局所同相であるようなファイバーバンドルです。したがって、ファイバーは離散空間になります。

ベクトル束と呼ばれる特殊なクラスのファイバー束は、ファイバーがベクトル空間であるものです(ベクトル束として適格となるには、束の構造群 (下記参照) が線型群でなければなりません)。ベクトル束の重要な例としては、滑らかな多様体の接線束と余接束があります。任意のベクトル束から、主束である基底のフレーム束を構築できます(下記参照)。

ファイバー束の別の特別なクラスは主束と呼ばれ、そのファイバー上に群による自由かつ推移的な 作用が与えられ、各ファイバーが主同次空間となる束です。束は、主 -束と呼ばれることで群とともに指定されることがよくあります。群は束の構造群でもあります。ベクトル空間 上のの表現が与えられると、 を構造群とするベクトル束を構築できます。 これは随伴束と呼ばれます。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)}$

球束は、繊維がn球である繊維束です。計量を持つベクトル束(リーマン多様体への接線束など) が与えられると、それに関連する単位球束を構築できます。この場合、点上の繊維は、内のすべての単位ベクトルの集合になります。問題のベクトル束が接線束である場合、単位球束は単位接線束と呼ばれます。${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle TM}$

球束は、そのオイラー類によって部分的に特徴付けられます。オイラー類 は、束の全空間における次数コホモロジー類です。 の場合、球束は円束と呼ばれ、オイラー類 は最初のチャーン類に等しく、束の位相を完全に特徴付けます。任意の について、束のオイラー類が与えられれば、ギシン列と呼ばれる長い完全列を使用してコホモロジーを計算できます。 ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n}$

が位相空間で、が同相写像である場合、写像トーラスはファイバーを持つ円上のファイバー束の自然な構造を持ちます。曲面の同相写像トーラスは、3次元多様体位相幾何学において特に重要です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle X.}$

が位相群で、が閉部分群である場合、状況によっては、商空間と商写像はファイバー束となり、そのファイバーは位相空間となる。( ) がファイバー束を形成するための必要十分条件は、写像が局所交差断面を許容することである (Steenrod 1951、§7)。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \pi :G\to G/H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G,\,G/H,\,\pi ,\,H}$${\displaystyle \pi }$

商写像が局所交差を許容する最も一般的な条件はわかっていませんが、 がリー群かつ閉部分群（したがってカルタンの定理によりリー部分群）である場合、商写像はファイバー束です。 その一例がホップファイバー化、です。これは、全空間が である球面上のファイバー束です。 リー群の観点から、 は特殊ユニタリ群と同一視できます。対角行列のアーベル部分群は円群と同型であり、商は球面 と 微分同相です。${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle SU(2)/U(1)}$

より一般的には、が任意の位相群であり、 がリー群でもある閉じた部分群である場合、 はファイバー束です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\to G/H}$

あファイバー束の断面（または交差断面B内のすべてのxとなる連続写像である。束は一般に大域的に定義された断面を持たないため、理論の目的の 1 つはそれらの存在を説明することである。障害は代数的位相幾何学における特性類の理論につながる。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle f:B\to E}$${\displaystyle \pi (f(x))=x}$

最もよく知られている例は毛球定理であり、ここでオイラー類はどこにも消失点のない断面を持つ 2 次元球面の接束に対する障害物です。

多くの場合、セクションを局所的にのみ定義したい場合があります (特に、グローバル セクションが存在しないとき)。ファイバー バンドルのローカル セクションは、 UがBの開集合であり、すべてのx がUに含まれる連続マップです。 がローカル トリビアル化チャートである場合、ローカル セクションは常にU上に存在します。このようなセクションは、連続マップと1-1 対応しています。セクションは層を形成します。 ${\displaystyle f:U\to E}$${\displaystyle \pi (f(x))=x}$${\displaystyle (U,\,\varphi )}$${\displaystyle U\to F}$

ファイバーバンドルには、重なり合う局所自明化チャート間のマッチング条件を記述する対称性のグループが付属していることがよくあります。具体的には、 G をファイバー空間Fの左側に連続的に作用する位相群とします。G が F に忠実に作用することを要求して、F の同相写像のグループとして考えることができるようにしても、何も失われません。バンドルのGアトラスは、重なり合うチャートの任意のに対してとなる局所自明化チャートの集合であり、関数は によって与えられます 。 ここで はと呼ばれる連続写像です。${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$$${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$$$${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$$${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$遷移関数。2つのGアトラスは、それらの和もGアトラスである場合に同値である。GバンドルGの同値類を持つファイバーバンドルである。グループGは、束の構造群。物理学ゲージ群です。

滑らかなカテゴリでは、Gバンドルは滑らかなファイバーバンドルであり、Gはリー群であり、 F上の対応する作用は滑らかで、遷移関数はすべて滑らかなマップです。

遷移関数は以下の条件を満たす ${\displaystyle t_{ij}}$

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

3番目の条件は、三重重なりU _i ∩ U _j ∩ U _{kに適用され、}コサイクル条件と呼ばれます（Čech コホモロジーを参照）。これの重要性は、遷移関数がファイバーバンドルを決定することです（Čech コサイクル条件を仮定する場合）。

主Gバンドルとは、ファイバーFがG自身の左作用に対する主同次空間となるGバンドルのことである（同様に、ファイバーFに対するGの作用が自由かつ推移的、つまり正則であると指定することもできる）。この場合、 F をGと同一視して主バンドルに対するGの（右）作用を得るのが便宜上の問題となることが多い。

2つのファイバーバンドル間のマッピングの概念を持つことは有用である。MとNが基底空間であり、およびがそれぞれMとN上のファイバーバンドルであると仮定する。${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to N}$バンドルマップまたはバンドル射は^{連続した[14]} 関数の ペアから成り 、次の図は可換で。 $${\displaystyle \varphi :E\to F,\quad f:M\to N}$$${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}.}$

構造群Gを持ち、その全空間が（右）G空間であるファイバーバンドル（主バンドルなど）の場合、バンドル射もファイバー上でG同変である必要があります。これは、1つのG空間から別のG空間へのG射でもあることを意味します。つまり、すべてのおよびに対して${\displaystyle \varphi :E\to F}$${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle s\in G.}$

基底空間MとN が一致する場合、ファイバーバンドルからへのM上のバンドル射は、次の写像になります。これは、バンドル写像がMの恒等写像をカバーすることを意味します。つまり、であり、次の図は可換です。 ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$${\displaystyle \varphi :E\to F}$${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi .}$${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$

と は両方とも同じ基底空間M上で定義されていると仮定する。バンドル同型とは、との間のバンドル写像であり、 と は同相写像でもある。^[15]${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$${\displaystyle \varphi }$

微分可能多様体のカテゴリでは、ファイバー バンドルは、ある多様体から別の多様体への沈み込みとして自然に生じます。微分可能多様体Mから別の微分可能多様体Nへの(微分可能な) 沈み込みのすべてが、微分可能ファイバー バンドルを生じるわけではありません。まず、写像は全射でなければならず、ファイバー多様体と呼ばれます。ただし、この必要条件は必ずしも十分ではなく、一般的に使用されるさまざまな十分条件があります。 ${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle (M,N,f)}$

MとN がコンパクトかつ連結である場合、任意の沈み込みは、各ファイバーに微分同相なファイバー空間F が存在し、 がファイバー束であるという意味において、ファイバー束を生じます。(この場合にすでに示した仮定により、 の射影性が示されます。) より一般的には、沈み込みが真射写像であると仮定すれば、コンパクト性の仮定を緩和できます。つまり、 はNのすべてのコンパクト部分集合Kに対してコンパクトです。Ehresmann (1951) によるもう 1 つの十分条件は、 がMおよびNの微分可能多様体を持つ射影沈み込みであり、その原像がすべてに対してコンパクトかつ連結である場合、は互換性のあるファイバー束構造を 許容することです (Michor 2008、§17)。${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle (E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle f^{-1}(K)}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$${\displaystyle x\in N,}$${\displaystyle f}$

• 束の概念は、局所的な自明性条件を適切に修正するという犠牲を払って、数学のさらに多くのカテゴリに適用されます。主同次空間とトルソー（代数幾何学）を参照してください。
• 位相幾何学において、ファイブレーションは、ファイバー束と共通する特定のホモトピー理論的特性を持つマッピングです。具体的には、軽度の技術的仮定の下では、ファイバー束は常にホモトピー持ち上げ特性またはホモトピー被覆特性を持ちます (詳細については、Steenrod (1951、11.7) を参照)。これがファイブレーションの定義特性です。${\displaystyle \pi :E\to B}$
• ファイバー バンドルのセクションは、「出力範囲が入力に連続的に依存する関数」です。このプロパティは、依存型の概念で正式に表現されます。

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• スティーンロッド、ノーマン（1999 年 4 月 5 日）。ファイバー束のトポロジー。プリンストン数学シリーズ。第 14 巻。プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875.
• ブリーカー、デイビッド（1981）、ゲージ理論と変分原理、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー出版、ISBN 978-0-201-10096-9
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• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994]、「ファイバー空間」、数学百科事典、EMS Press

• ファイバーバンドル、PlanetMath
• Rowland, Todd. 「ファイバーバンドル」。MathWorld。
• ジョン・ロビンソンの象徴的な彫刻「永遠」の制作
• サルダナシュビリー、ゲンナディ、「繊維束、ジェット多様体、ラグランジアン理論」理論家のための講義、arXiv :0908.1886