ゲージ理論重力

ゲージ理論重力理論( GTG ) は、幾何代数という数学的言語で表現された重力理論である。一般相対性理論に詳しい人にとっては、概念上は大きな違いはあるものの、テトラッド形式論を非常に彷彿とさせる。最も顕著なのは、GTG の背景が平坦なミンコフスキー時空であることだ。同値原理は仮定されていないが、ゲージ共変微分が最小限に結合しているという事実から同値原理が導かれる。一般相対性理論と同様に、アインシュタイン場の方程式と構造的に同一の方程式は、変分原理から導出できる。スピンテンソルも、アインシュタイン・カルタン・シアマ・キブル理論と同様の方法でサポートできる。 GTGは、1993年に発表された部分的な結果の実現として、 1998年にLasenby、Doran、Gullによって初めて提案されました^{[1] 。 [2]この理論は、関連する}ゲージ重力理論のような微分幾何学的アプローチ を主に選択した物理学コミュニティの他の分野では広く採用されていません。

GTG の基礎は 2 つの原理から来ています。まず、位置ゲージ不変性は、場の任意の局所的な変位が場の方程式の物理的内容に影響を与えないことを要求します。次に、回転ゲージ不変性は、場の任意の局所的な回転が場の方程式の物理的内容に影響を与えないことを要求します。これらの原理により、位置ゲージ場と回転ゲージ場という新しい線形関数のペアが導入されます。任意の関数fによる変位は、

${\displaystyle x\mapsto x'=f(x)}$

位置ゲージ場はその随伴関数上の写像によって定義される。

${\displaystyle {\bar {\mathsf {h}}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {h}}}'(a,x)={\bar {\mathsf {h}}}({\bar {\mathsf {f}}}^{-1}(a),f(x)),}$

これは第1引数が線形で、aは定数ベクトルである。同様に、任意の回転子Rによる回転は回転ゲージ場を生じる。

${\displaystyle {\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {\Omega }}}'(a,x)=R{\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)R^{\dagger }-2a\cdot \nabla RR^{\dagger }.}$

2つの異なる共変方向微分を定義することができる。

${\displaystyle a\cdot D=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))}$

${\displaystyle a\cdot {\mathcal {D}}=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))\times }$

または座標系の指定

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{2}}\Omega _{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }\times ,}$

ここで、×は交換子積を表します。

これらの導関数のうち最初のものはスピノルを直接扱うのに適しており、2 番目のものは観測可能量に適しています。リーマン テンソルの GTG 類似物は、これらの導関数の交換規則から構築されます。

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]\psi ={\tfrac {1}{2}}{\mathsf {R}}_{\mu \nu }\psi }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(a\wedge b)={\mathsf {R}}({\mathsf {h}}(a\wedge b))}$

場の方程式は、アインシュタイン-ヒルベルト作用がゲージ場の発展を支配すると仮定して導かれる。すなわち、

${\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\mathcal {R}}-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right](\det {\mathsf {h}})^{-1}\,\mathrm {d} ^{4}x.}$

2つのゲージ場に対する作用の変化を最小化すると、場の方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {G}}(a)-\Lambda a=\kappa {\mathcal {T}}(a)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\wedge {\bar {\mathsf {h}}}(a)=\kappa {\mathcal {S}}\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(a),}$

ここで、 は共変エネルギー運動量テンソルであり、 は共変スピンテンソルです。重要なのは、これらの方程式は時空の曲率の変化を与えるのではなく、平坦な時空内のゲージ場の変化を与えるだけであるということです。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

一般相対論に詳しい人のために説明すると、位置ゲージ場からテトラッドと同様の方法で計量テンソルを定義することができます。テトラッド形式では、4 つのベクトルのセットが導入されます。ギリシャ語のインデックスμ は、時空の計量テンソルを乗じて縮小することで増減します。括弧内のラテン語のインデックス(a)は、4 つのテトラッドのそれぞれを表すラベルで、別のミンコフスキー計量テンソルを乗じて縮小したかのように増減します。GTG は、大まかに言えば、これらのインデックスの役割を逆にします。時空代数の選択において、計量は暗黙的にミンコフスキーであると想定されます。他のインデックス セットに含まれる情報は、ゲージ場の振る舞いに包含されます。 ${\displaystyle \{{e_{(a)}}^{\mu }\}}$

私たちは関連付けをすることができます

${\displaystyle g_{\mu }={\mathsf {h}}^{-1}(e_{\mu })}$

${\displaystyle g^{\mu }={\bar {\mathsf {h}}}(e^{\mu })}$

曲がった時空における共変ベクトルと反変ベクトルについて、単位ベクトルが選択された座標基底である。これらは、次の規則を使用して計量を定義できる。 ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\mu }\cdot g_{\nu }.}$

この手順に従うと、GTG の観測可能な予測は、非ゼロスピンについてはアインシュタイン - カルタン - シアマ - キブル理論とほぼ一致し、ゼロスピンについては一般相対論に帰着することを示すことができます。ただし、GTG はグローバル ソリューションについて異なる予測を行います。たとえば、質点の研究では、「ニュートン ゲージ」を選択すると、グルストランド - パンルヴェ座標のシュワルツシルト計量に類似したソリューションが得られます。一般相対論では、クルスカル - シェケレス座標として知られる拡張が許可されます。一方、GTG では、そのような拡張は禁止されています。^{[なぜ? ]}

• デイヴィッド・ヘステネス: 重力理論のための時空計算 - GTG に明示的に向けられた数学的形式主義の説明