BRST量子化

理論物理学において、BRST 形式論、あるいはBRST 量子化( BRST はCarlo Becchi、Alain Rouet、Raymond Stora 、およびIgor Tyutinの姓を指す) は、ゲージ対称性を持つ場の理論を量子化する比較的厳密な数学的アプローチを指す。 初期の量子場の理論(QFT) フレームワークにおける量子化規則は、証明というよりも「処方箋」や「ヒューリスティックス」に似ており、特に非可換QFT では、再正規化や異常のキャンセルに関連する技術的な理由から、表面的に奇妙な特性を持つ「ゴースト場」の使用がほぼ避けられない。

1970 年代半ばに導入されたBRST のグローバル超対称性は、これらのFaddeev-Popov ゴーストの導入と、QFT 計算を実行する際の「物理的な」漸近状態からのそれらの除外を合理化するものとしてすぐに理解されました。重要なのは、この経路積分の対称性はループ順序で保持されるため、ゲージ理論の繰り込み可能性を損なう可能性のある反対項の導入を防ぐことができることです。数年後の他の著者による研究^{[誰が書いたのか? –議論する]では、BRST 演算子が、}ゲージ理論を量子化する際、経路積分に代わる厳密な方法の存在と関連付けられていました。

1980 年代後半になって初めて、QFT がファイバー バンドル言語で再定式化され、低次元多様体のトポロジー(位相量子場理論) の問題に適用されて初めて、BRST「変換」が根本的に幾何学的な性質を持つことが明らかになりました。この観点から、「BRST 量子化」は、異常をキャンセルするゴーストに到達するための代替手段以上のものになります。これは、ゴースト フィールドが表すもの、ファデエフ-ポポフ法が機能する理由、および摂動フレームワークを構築するためのハミルトン力学の使用とそれがどのように関連しているかについての別の視点です。ゲージ不変性と「BRST 不変性」の関係により、標準量子化形式からよく知られている規則に従って状態が「粒子」で構成されるハミルトン システムの選択が強制されます。したがって、この難解な一貫性条件は、量子とフェルミオンが物理学で最初に どのように発生するかを説明するのに非常に近いものになります。

特定のケース、特に重力と超重力では、BRST はより一般的な形式論であるBatalin-Vilkovisky 形式論に置き換えられる必要があります。

BRST 量子化は、非可換ゲージ理論において、矛盾のない異常のない摂動計算を実行するための微分幾何学的アプローチである。BRST「変換」の解析形式と、それが繰り込みおよび異常のキャンセルにどのように関係しているかは、 Carlo Maria Becchi、Alain Rouet、Raymond Storaによって、1976 年の「ゲージ理論の繰り込み」に至る一連の論文で説明されている。同等の変換とその特性の多くは、Igor Viktorovich Tyutinによって独立に発見された。ヤン・ミルズ理論の厳密な正準量子化におけるその重要性と、瞬間的な場の構成のフォック空間への正しい適用は、久後太一郎と小島泉によって解明された。その後、多くの著者、特に Thomas Schücker とEdward Wittenによる研究によって、BRST 演算子と関連場の幾何学的重要性が明らかにされ、位相量子場理論と弦理論におけるその重要性が強調された。

BRST アプローチでは、場の理論が基づいているゲージ束の微分幾何学を使用して、ゲージ理論の作用原理に対して摂動に優しいゲージ固定手順を選択します。次に、理論を量子化して相互作用図のハミルトン系を取得し、ゲージ固定手順によって導入された「非物理的」場が、理論の漸近状態に現れることなくゲージ異常を解決します。その結果、 S行列のダイソン級数摂動展開で使用するための一連のファインマン規則が得られ、ループの各順序で S 行列がユニタリかつ再正規化可能であることが保証されます。つまり、散乱実験の結果について物理的な予測を行うための一貫した近似手法です。

これは、純粋演算子が積分ゴースト数によって段階付けされ、BRSTコホモロジーを持つスーパーシンプレクティック 多様体に関連しています。

実用的な観点から見ると、量子場理論は、作用原理と摂動計算を実行するための一連の手順で構成されています。量子場理論がクォークの閉じ込めや漸近的自由などの定性的な現象に適合しているかどうかを判断するために、量子場理論に対して実行できる他の種類の「健全性チェック」があります。ただし、量子電気力学から現在に至るまで、量子場理論の予測の成功のほとんどは、S 行列計算を散乱実験の結果と照合することによって定量化されています 。

QFT の初期の頃は、量子化と繰り込みの規定は、特に強力だが数学的に定義が曖昧な経路積分形式論に依存していたときには、ラグランジアン密度と同じくらいモデルの一部であると言わざるを得なかっただろう。QED は比較的扱いやすく、ほとんど「魔法」のようであり、それを拡張する方法のほとんどでは合理的な計算は得られないことがすぐに明らかになった。しかし、場の理論の 1 つのクラスは有望なままであった。それはゲージ理論であり、理論内のオブジェクトは物理的に区別できない場の構成の同値類を表し、その任意の 2 つはゲージ変換によって関連付けられている。これは、QED の局所的な位相変化の考え方を、より複雑なリー群に一般化したものである。

QED 自体はゲージ理論であり、一般相対論も同様であるが、一般相対論はこれまで、くりこみに関連する理由から量子化が困難であることが証明されている。ヤン＝ミルズ理論に始まる非アーベルゲージ群を持つ別の種類のゲージ理論は、主にルートヴィヒ・D・ファデーエフ、ヴィクター・ポポフ、ブライス・デウィット、ジェラルドゥス・トホーフトらの研究により、1960 年代後半から 1970 年代前半にかけて量子化が可能になった。しかし、BRST 法が導入されるまでは、これらの理論の取り扱いは非常に困難であった。BRST 法は、「破れていない」ヤン＝ミルズ理論と、ヒッグス機構が自発的な対称性の破れにつながる理論の両方から正確な結果を引き出すために必要な計算手法とくりこみ可能性の証明を提供した。これら 2 種類のヤン・ミルズ システムの代表例である量子色力学と電弱理論は、素粒子物理学の標準モデルに登場します。

厳密な意味で非アーベル量子場理論の存在を証明することは、半発見的計算スキームを使用して正確な予測を得ることよりもかなり困難であることが証明されています。これは、量子場理論の解析には、2 つの数学的に連動した観点、つまり、時空内の各点で異なる値を持つ場とそれらに作用する局所演算子で構成される作用汎関数に基づくラグランジアン系と、特定の時点でのシステム全体を特徴付ける状態とそれらに作用する場の演算子で構成されるディラック描像のハミルトン系が必要であるためです。ゲージ理論でこれを非常に困難にしているのは、理論の対象が実際には時空上の局所場ではなく、主ゲージ束上の右不変局所場であり、受動変換によって関連付けられたゲージ束の一部を通る異なる局所セクションが、異なるディラック描像を生成することです。

さらに、システム全体を一連のフィールドで記述すると、多くの冗長な自由度が含まれます。理論の異なる構成はフィールド構成の同値類であるため、ゲージ変換によって互いに関連付けされる 2 つの記述も実際には同じ物理的構成です。量子化されたゲージ理論の「解」は、時空内のすべてのポイントに値を持つフィールドの単純な空間ではなく、要素がフィールド構成の同値類である商空間(またはコホモロジー) に存在します。BRST 形式には、すべての可能なアクティブ ゲージ変換に関連する変動をパラメーター化し、ラグランジアン システムからハミルトン システムへの変換中にそれらの物理的な無関係性を正しく考慮するシステムが隠れています。

ゲージ不変性の原理は、実用的な量子場理論を構築する上で不可欠です。しかし、通常、ゲージ理論で摂動計算を実行するには、まず「ゲージを固定」する必要があります。つまり、作用原理のラグランジアン密度に「ゲージ対称性を破る」項を追加して、これらの「非物理的な」自由度を抑制する必要があります。ゲージ固定の考え方は、電磁気学に対するローレンツ ゲージアプローチに遡ります。このアプローチでは、ローレンツ不変性は明示的に保持しながら、4 次元ポテンシャルの過剰な自由度のほとんどが抑制されます。ローレンツ ゲージは、古典電磁力学に対するマクスウェルの場の強度アプローチに比べて大幅に単純化されており、ルジャンドル変換を介してハミルトン力学に移行する前に、ラグランジアン段階で理論内のオブジェクトの表現における過剰な自由度に対処することがなぜ有用であるかを示しています。

ハミルトニアン密度は、ゲージバンドル上の単位時間的水平ベクトル場に関するラグランジアン密度のリー微分と関連している。量子力学の文脈では、これは通常、係数 で再スケールされる。これを空間的断面にわたって部分積分すると、標準量子化でおなじみの積分関数の形が復元される。ハミルトニアンの定義には、基本空間上の単位時間ベクトル場、バンドル空間への水平リフト、および基本多様体上の各点で単位時間ベクトル場に「垂直な」空間的表面 (ミンコフスキー計量) が含まれるため、これは接続とローレンツフレームの選択の両方に依存し、グローバルに定義されるにはほど遠い。しかし、これは量子場の理論の摂動論的枠組みの必須要素であり、量子化されたハミルトニアンがダイソン級数を介してこの枠組みに入る。 ${\displaystyle i\hbar }$

摂動論的目的のため、 Pの 3 次元水平空間的断面全体における理論のすべての場の構成を1 つのオブジェクト (フォック状態) に集め、相互作用図を使用してこの状態の「発展」を時間経過とともに記述します。フォック空間は、ハミルトニアン の「非摂動」または「非相互作用」部分の多粒子固有状態によって張られます。したがって、任意のフォック状態の瞬間的な記述は、 の固有状態の複素振幅重み付け和です。相互作用図では、摂動されていないハミルトニアンの各固有状態がそのエネルギー(摂動されていないハミルトニアンの対応する固有値)に比例する一定速度の位相回転を経験することを規定することにより、異なる時間におけるフォック状態を関連付けます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$

したがって、ゼロ次近似では、フォック状態を特徴付ける重みのセットは時間とともに変化しませんが、対応する場の構成は変化します。より高次の近似では、重みも変化します。高エネルギー物理学の衝突型加速器実験は、これらの重みの変化率の測定（または、散乱イベントの初期条件と最終条件の不確実性を表す分布にわたる重みの積分）に相当します。ダイソン級数は、結合定数gのべき級数の形で、真のハミルトニアン と の間の不一致の影響を捉えます。これは、量子場の理論から定量的な予測を行うための主要なツールです。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

ダイソン級数を使って何かを計算するには、ゲージ不変なラグランジアン密度以上のものが必要です。理論のファインマン則に組み込まれる量子化とゲージ固定の規定も必要です。ダイソン級数を特定の QFT のハミルトニアンに適用すると、さまざまな種類の無限積分が生成されます。これは、現在までに使用可能なすべての量子場理論が、実験的に調べることができる特定の範囲のエネルギースケールでの相互作用のみを記述し、したがって紫外線発散の影響を受けやすい有効場理論と見なす必要があるためです。これらは、標準的なくりこみ手法で処理できる限り許容できますが、無限くりこみの無限級数になったり、さらに悪いことに、キャンセルされていないゲージ異常などの明らかに非物理的な予測になったりする場合は、それほど許容できません。くりこみ可能性とゲージ不変性の間には深い関係がありますが、ゲージを固定することで扱いやすいファインマン則を得ようとする過程で、簡単に失われてしまいます。

連続体電気力学の従来のゲージ固定規定では、ローレンツゲージなどの制約方程式を使用して、各ゲージ変換関連の同値類から一意の代表を選択します。この種の規定は、 QEDなどのアーベルゲージ理論に適用できますが、古典理論のウォード恒等式が量子理論に引き継がれる理由、つまり、内部の縦偏光仮想光子を含むファインマン図がS 行列の計算に寄与しない理由を説明するのが難しくなります。このアプローチは、ヤン-ミルズ電弱理論の SU(2)xU(1) や量子色力学の SU(3) などの非アーベルゲージ群にも十分に一般化されません。グリボフの曖昧さや、フィールド構成の物理的に重要な変化とある意味で「直交」するゲージ固定制約を定義するのが難しいという問題があります。 ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

より洗練されたアプローチでは、ゲージ変換の自由度にデルタ関数制約を適用しようとはしません。ゲージを構成空間の特定の「制約面」に「固定」する代わりに、ラグランジアン密度にゲージ不変でない追加の項を追加してゲージの自由度を破ることができます。ゲージ固定の成功を再現するために、この項は、目的の制約に対応するゲージの選択に対して最小になるように選択され、制約面からのゲージの偏差に二次的に依存するように選択されます。ファインマン経路積分が基づいている定常位相近似により、摂動計算への主な寄与は、制約面の近傍のフィールド構成から得られます。

このラグランジアンと関連する摂動展開は、関数量子化法を用いて、一般にR _ξゲージと呼ばれます。アーベル U(1) ゲージの場合、これは正準量子化法で得られるのと同じファインマン規則のセットに縮小されます。しかし、重要な違いがあります。破れたゲージ自由度は、関数積分で、全体の正規化の追加要素として現れます。この要素は、ゲージ自由度に沿った摂動のラグランジアンへの寄与が特定の「物理的」フィールド構成に依存しない場合にのみ、摂動展開から取り出すことができ (無視できます)。これは、非アーベル ゲージ グループでは成立しない条件です。この問題を無視して、「単純な」関数量子化から得られるファインマン規則を使用しようとすると、計算に除去できない異常が含まれることがわかります。

QCD における摂動計算の問題は、ファデエフ・ポポフ ゴーストと呼ばれる追加のフィールドを導入することで解決されました。このゴーストのゲージ固定ラグランジアンへの寄与は、非アーベル ゲージ フィールドの「物理的」および「非物理的」摂動の結合によって導入される異常を相殺します。機能的量子化の観点からは、フィールド構成の「非物理的」摂動 (ゲージ変換) は、すべての (無限小) 摂動の空間の部分空間を形成します。非アーベルの場合、この部分空間のより大きな空間への埋め込みは、摂動が発生する構成に依存します。ラグランジアンのゴースト項は、この埋め込みのヤコビアンの関数行列式を表し、ゴースト フィールドの特性は、残りの「物理的」摂動軸上の機能的尺度を修正するために、行列式に必要な指数によって決定されます。

BRST 形式に対する直観は、ファイバー束の設定で幾何学的に記述することによって得られます。この幾何学的設定は、（以前の）量子場の理論のテキストで提供された、 ミンコフスキー空間上の代数値体という古い伝統的な描像とは対照的であり、それを明確に示しています。

この設定では、ゲージ場は 2 つの異なる方法のいずれかで理解できます。1 つでは、ゲージ場はファイバー束の局所断面です。もう 1 つでは、ゲージ場はファイバーの全長で定義される、隣接するファイバー間の接続にすぎません。これらの 2 つの理解に対応して、ゲージ変換を見る 2 つの方法があります。最初のケースでは、ゲージ変換は局所断面の変更にすぎません。一般相対性理論では、これは受動変換と呼ばれます。2 番目の見方では、ゲージ変換はファイバー全体に沿った座標の変更 (グループ要素gによる乗算から生じる) であり、主バンドルの垂直微分同相写像を誘導します。

この 2 番目の観点は、BRST 法の幾何学的基礎を提供します。受動変換とは異なり、これは任意の多様体上の任意の構造群を持つ主バンドル上でグローバルに明確に定義されます。つまり、BRST 形式論は、任意の多様体上の任意の主バンドルの量子化を記述するために開発できます。具体性と従来の QFT との関連性のため、この記事の大部分は、4 次元ミンコフスキー空間上のコンパクト ファイバーを持つ主ゲージ バンドルのケースに固執します。

4 次元多様体M上の主ゲージ束P は、 U  ×  Fと局所的に同型であり、U  ⊂  R ⁴であり、ファイバーF は場の理論のゲージ群であるリー群Gと同型である（これは多様体構造の同型であり、群構造の同型ではない。PにはGの 1 に対応する特別な面がないため、ファイバーFはG -トルソルであると言った方が適切である）。ファイバー束としての最も基本的な特性は、「基本空間への射影」 π :  P  →  Mであり、これはP上の垂直方向（ Mの各点p上のファイバー π ⁻¹ ( p ) 内にある方向）を定義する。ゲージ束としては、ファイバー構造を尊重するGのPへの左作用を持ち、主束としては、ファイバー構造を尊重するGのPへの右作用も持ち、左作用と可換である。

構造群 GのPへの左作用は、個々のファイバー上の座標系の変更に対応します。G内の固定されたgに対する(グローバル) 右作用R _g  :  P  →  Pは、各ファイバーの実際の自己同型に対応し、したがってPからそれ自身への写像に対応します。Pが主Gバンドルとして適格であるためには、 G内の各gのグローバル右作用は、gへの滑らかな依存性を持つPの多様体構造に関する自己同型、つまり微分同相写像P  ×  G  →  Pでなければなりません。

構造群の大域的右作用の存在は、 P上の右不変幾何オブジェクトの特別なクラス、つまりGのgのすべての値に対してR _gに沿って引き戻されたときに変化しないオブジェクトを選び出します。主バンドル上の最も重要な右不変オブジェクトは右不変ベクトル場であり、これはP上の無限小微分同相写像のリー代数のイデアルを形成します。右不変かつ垂直であるP上のベクトル場はの イデアルを形成し、これはバンドルP全体に対して、ゲージ群Gのリー代数と個々のG -トルソーファイバーFとの関係に類似した関係を持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

関心のある「場の理論」は、主ゲージ束P上に定義された「場」の集合（さまざまなベクトル空間への滑らかな写像）によって定義されます。異なる場は、ゲージ群Gの異なる表現、およびおそらくポアンカレ群などの多様体の他の対称群の異なる表現を持ちます。これらの場とその導関数の局所多項式の空間を定義することができます。理論の基本的なラグランジアン密度は、実数値で、任意の非ゲージ対称群の下で不変な多項式のサブスペースにあると想定されます。また、ゲージ群の左作用（受動座標変換）とグローバル右作用の下で不変であるだけでなく、ローカルゲージ変換、つまり右不変垂直ベクトル場の任意の選択に関連する無限小微分同相写像に沿った引き戻しの下でも不変であると想定されます。 ${\displaystyle Pl}$${\displaystyle Pl_{0}}$${\displaystyle \epsilon \in V{\mathfrak {E}}}$

局所ゲージ変換を多様体P上のベクトル場の特定の部分空間と同一視すると、無限次元の無限小を扱うためのよりよい枠組み、すなわち微分幾何学と外積分が得られる。無限小自己同型に沿った引き戻しによるスカラー場の変化はリー微分で捉えられ、ベクトル場の項線形のみを保持するという概念は、それを内微分と外微分に分けることによって実現される。この文脈では、「形式」と外積分は、ゲージ束 上のベクトル場と双対である自由度のみを指し、基本多様体上の (ギリシャ) テンソル指数やゲージ代数上の (ローマ) 行列指数で表される自由度を指すのではない。

多様体上のリー微分は、偏微分とは異なり、全体的に明確に定義された演算です。クレローの定理をPの非自明な多様体構造に適切に一般化することは、ベクトル場のリー括弧と外微分のべき零性によって与えられます。これにより、計算に不可欠なツールである一般化ストークスの定理が提供されます。この定理により、被積分関数が開いた境界がある方向で十分に急速に減少する限り、部分積分を行ってから面項を消去することができます。(これは自明な仮定ではありませんが、面項をゲージ不変にできる限り、 次元正規化などの再正規化手法で対処できます。)

BRST 形式論の中心となるのは、ウォード演算子の接線として定義されるBRST 演算子 です。各場のウォード演算子は、（符号規則を除き）ウォード演算子のパラメータとして現れる局所ゲージ変換に関連付けられた垂直ベクトル場に沿ったリー導関数と同一視できます。場のBRST 演算子は、ゲージ束の外微分、またはむしろ、垂直ベクトル場のみで定義される交互形式の縮小空間への制限に似ています。ウォード演算子と BRST 演算子は、（以下で状態ベクトルの取り扱いで従う Kugo と Ojima によって導入された位相規則を除き） によって関連付けられています。ここで、はゼロ形式（スカラー）です。空間は、場の実数値多項式とその導関数の空間であり、任意の（破れていない）非ゲージ対称群の下で不変です。 ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle W(\delta \lambda )}$${\displaystyle \delta \lambda }$${\displaystyle s_{B}}$${\displaystyle W(\delta \lambda )X=\delta \lambda \;s_{B}X}$${\displaystyle X\in {Pl}_{0}}$${\displaystyle {Pl}_{0}}$

外微分と同様に、BRST演算子は次数2のべき零、すなわち である。任意の「BRST厳密形式」の局所ゲージ変換に関する変化は、内微分によって与えられる。 ${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$${\displaystyle s_{B}X}$${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle \iota _{\delta \lambda }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\iota _{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X&=\iota _{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\\&=s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\end{aligned}}}$

これも正確であることに注意してください。

ハミルトン摂動法はファイバー束上ではなく、局所断面上で実行されます。この形式では、ゲージ不変のラグランジアン密度に BRST 厳密項を追加しても、関係が保存されます。これは、状態空間に関連する演算子が存在することを意味します。つまり、フォック状態の BRST 演算子は、ハミルトン系の保存電荷です。これは、ダイソン級数計算における時間発展演算子が、 に従うフィールド構成をを持つ後の構成に発展させない(またはその逆) ことを意味します。${\displaystyle s_{B}X=0.}$${\displaystyle Q_{B}}$${\displaystyle [Q_{B},{\mathcal {H}}]=0.}$${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0}$${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0}$

BRST 演算子のべき零性は、そのイメージ(BRST の正確な形式の空間) がカーネル(BRST の閉じた形式の空間) 内に完全に含まれていると理解できます。局所ゲージ変換で不変であると想定される「真の」ラグランジアン は、BRST 演算子のカーネル内にありますが、そのイメージ内にはありません。これは、初期条件と最終条件の宇宙が、相互作用ラグランジアンが「オフ」になっている、時間的無限大での漸近的な「状態」またはフィールド構成に限定される可能性があることを意味します。これらの状態は のカーネル内にありますが、構成が不変であるため、散乱行列はユニタリのままです。BRST の閉じた状態と正確な状態は、BRST の閉じたフィールドと正確なフィールドと同様に定義されます。閉じた状態は によって消滅しますが、正確な状態は、任意のフィールド構成に 適用することで得られる状態です。${\displaystyle Q_{B},}$${\displaystyle Q_{B},}$${\displaystyle Q_{B}}$

漸近状態を定義するとき、 の像の内部にある状態も抑制できますが、その理由付けは少し微妙です。理論の「真の」ラグランジアンがゲージ不変であると仮定すると、ハミルトン系の真の「状態」は、局所ゲージ変換の下での同値類です。言い換えると、BRST 厳密な状態だけが異なるハミルトン図の 2 つの初期状態または最終状態は、物理的に等価です。ただし、BRST 厳密なゲージ破壊規定を使用しても、相互作用ハミルトニアンが厳密な構成の空間に直交する閉じた場の構成の特定の部分空間を保存することは保証されません。これは重要なポイントですが、QFT の教科書では誤って扱われることがよくあります。作用原理に組み込まれている場の構成の事前内積はありません。そのような内積は、ハミルトン摂動装置の一部として構築されます。 ${\displaystyle Q_{B}}$

相互作用図における量子化の規定は、特定の時間における BRST 閉構成のベクトル空間を構築し、これをハミルトン摂動に適した中間状態のフォック空間に変換することです。第 2 量子化の慣例に従い、フォック空間には、各場のエネルギー運動量固有構成 (粒子) のラダー演算子が、適切な (反) 交換規則と、正の半定値 内積とともに用意されています。内積は、摂動を受けていないハミルトニアンの BRST 厳密な固有状態に対応する方向に沿ってのみ特異である必要があります。これにより、(壊れていない) 自由場ハミルトニアンの特定の初期および最終固有状態に対応する漸近場構成の 2 つの同値類から、BRST 閉フォック状態の任意のペアを自由に選択できるようになります。

望ましい量子化規定は、BRST コホモロジーに同型の商フォック空間を提供し、そこでは、中間状態の BRST 閉じた同値類 (正確な状態のみが異なる) はそれぞれ、BRST 正確な場の量子を含まない 1 つの状態によって表現されます。これは、理論の漸近状態に適したフォック空間です。BRST 正確な自由度に沿った内積の特異性により、物理的散乱行列には物理的な場のみが含まれることが保証されます。これは、非物理的な粒子が漸近状態に伝播する (素朴なゲージ固定の) ラグランジアン力学とは対照的です。コホモロジーで作業することにより、各漸近状態には、対応する物理状態 (ゴーストなし) が 1 つ (1 つだけ) 保証されます。

演算子はエルミートであり、非ゼロですが、その平方はゼロです。これは、コホモロジー縮小前のすべての状態のフォック空間が不定ノルムを持ち、したがってヒルベルト空間ではないことを意味します。これには、 BRST 閉じた中間フォック状態のクライン空間が必要であり、時間反転演算子は、ローレンツ不変と半正定値内積に関連する「基本対称性」の役割を果たします。漸近状態空間は、クライン空間から BRST 正確な状態を除算することによって得られるヒルベルト空間です。 ${\displaystyle Q_{B}}$

要約すると、BRST ゲージ固定手順の一部として導入された場は、ゲージ固定理論の漸近状態では現れません。ただし、これは、これらの「非物理的」場が摂動計算の中間状態に存在しないことを意味するものではありません。これは、摂動計算が相互作用図で行われるためです。摂動計算には、非相互作用ハミルトニアンの初期状態と最終状態が暗黙的に含まれ、相互作用ハミルトニアンを「オン」にすることによって(ゲージ結合)、断熱定理に従って完全なハミルトニアンの状態に徐々に変換されます。ファインマン図によるダイソン級数の展開には、「物理的」粒子 (自由ハミルトニアンの漸近状態で現れる可能性のある粒子) を「非物理的」粒子 (の核の外側または の像の内側に存在する場の状態) に結合する頂点と、「非物理的」粒子同士を結合する頂点が含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$${\displaystyle s_{B}}$${\displaystyle s_{B}}$

一般的に、T. Kugo と I. Ojima は、主要な QCDカラー閉じ込め基準を発見した人物として知られています。ラグランジアン フレームワークで BRST 形式論の正しいバージョンを取得する上での彼らの役割は、あまり広く認識されていないようです。完全に幾何学的な角度から進む前に、新しく導入されたフィールドの エルミート特性を強調する BRST 変換の彼らの変形を調べることは啓発的です。

値のゲージ固定条件は、ゲージを決定する正の数であると見なされます。他のゲージ固定も可能ですが、ここでは説明しません。ラグランジアンに現れるフィールドは次のとおりです。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu },}$${\displaystyle \xi }$

• QCDカラーフィールド、つまり-値接続形式${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle A_{\mu }.}$
• ファデエフ・ポポフゴーストは 、フェルミオン統計を持つ 値のスカラー場です。${\displaystyle c^{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• 反ゴーストもフェルミオン統計を持つ 値のスカラー場です。${\displaystyle b_{i}={\bar {c}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• ボソン統計を持つ - 値スカラー場である補助 場。${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

このフィールドは、ゲージ変換、位置、ゲージ固定を扱うために使用されます。実際には、グリボフの曖昧さのためにゲージ固定に関連する微妙な点がいくつかありますが、ここでは説明しません。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$

BRSTラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {matter}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{1 \over 4g^{2}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]}$

ここで、はゲージ場 (接続) に関する共変微分です。 Faddeev–Popov ゴースト場は、上のMaurer–Cartan 形式の一種として幾何学的に解釈され、各右不変垂直ベクトル場を(位相を除いて) 値場としてのその表現に関連付けます。 この場は、ゲージ群の非自明な表現を持つ オブジェクト (フェルミオン、ゲージボソン、ゴースト自体など) 上の無限小ゲージ変換の式に必ず含まれます。${\displaystyle D_{\mu }}$${\displaystyle A_{\mu }.}$${\displaystyle c}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle \delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle c}$

ラグランジアン密度はBRST不変ではないが、その全時空にわたる積分、作用はBRST不変である。無限小ゲージ変換による場の変換は次のように与えられる。 ${\displaystyle \delta \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=\delta \lambda {\tfrac {i}{2}}[c,c]\\\delta b=\delta {\bar {c}}&=\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}}$

はリー括弧であり、交換子ではないことに注意してください。これらは、 の代わりに電荷演算子を使用して同等の形式で記述できます。BRST 電荷演算子は次のように定義されます。 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle Q_{B}}$${\displaystyle \delta \lambda }$${\displaystyle Q_{B}}$

${\displaystyle Q_{B}=c^{i}\left(L_{i}-{\frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}\right)}$

ここで、はリー群の無限小生成元、 は構造定数です。これを用いると、変換は次のように与えられます。 ${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle f_{ij}{}^{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{B}A_{\mu }&=D_{\mu }c\\Q_{B}c&={i \over 2}[c,c]\\Q_{B}b&=B\\Q_{B}B&=0\end{aligned}}}$

物質セクターの詳細は指定されておらず、その上の Ward 演算子の形式だけが残っています。これらは、物質場上のゲージ代数の表現が への結合と矛盾しない限り重要ではありません。他の場の特性は、基本的に解析的であり、幾何学的ではありません。 との結合への偏りは、ゲージに依存し、特に幾何学的な意味を持ちません。反ゴーストは、ゲージ固定項のラグランジュ乗数にすぎず、スカラー場の特性は、関係 によって完全に決定されます。これらの場はすべて、久後–小島の慣例でエルミートですが、パラメータは反エルミートの「反可換c数」です。これにより、位相と、演算子を介した無限小パラメータの受け渡しに関して、不必要なぎこちなさが生じますが、これは慣例を変更することで解決できます。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \delta A_{\mu }}$${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$${\displaystyle b={\bar {c}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B}$${\displaystyle \delta \lambda }$

BRST 演算子と外微分の関係、および Faddeev–Popov ゴーストと Maurer–Cartan 形式の関係から、ゴーストは(位相を除いて)上の -値 1 形式に対応することがすでにわかっています。 のような項の積分が意味を持つためには、反ゴーストが、ゴーストが持つ表現と双対な、これら 2 つのリー代数 (垂直イデアルとゲージ代数) の表現を持たなければなりません。幾何学的に言えば、 は とファイバー単位で双対で、上のトップ形式になるには 1 ランク足りなければなりません。同様に、補助体はの(位相を除いて)と同じ表現を持ち、上のその自明な表現と双対なの表現も持たなければなりません。つまり、は 上のファイバー単位で双対なトップ形式です。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$${\displaystyle {\bar {c}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\bar {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\bar {c}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle A_{\mu }.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$

理論の1粒子状態は、断熱的に分離した極限g  → 0で議論される。ゲージ固定ハミルトニアンのフォック空間には、BRST演算子の核の外側に完全に存在する2種類の量子が存在する。ファデエフ・ポポフ反ゴーストと前方偏極ゲージボソンである。これは、を含むフィールドの組み合わせはどれも消滅せず、ラグランジアンには発散を除いてゲージ破壊項が等しい ためである。${\displaystyle {\bar {c}}}$${\displaystyle {\bar {c}}}$${\displaystyle s_{B}}$

${\displaystyle s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\xi s_{B}{\bar {c}}\right)\right).}$

同様に、BRST 演算子のイメージに完全に含まれる 2 種類の量子があります。それは、Faddeev-Popov ゴーストとスカラー場です。これらは、関数積分の平方完成によって「取り込まれ」、後方偏極ゲージボソンになります。これらは、摂動計算の漸近状態には現れない 4 種類の「非物理的」量子です。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle B}$

反ゴーストは、におけるポアンカレ不変性のためにローレンツスカラーとみなされます。しかし、 に対するその（反）交換法則、すなわちスピン0 粒子にフェルミ-ディラック統計を与えることでスピン統計定理を無視するその量子化規定は、漸近状態のフォック空間上の内積が、非 BRST 閉場と BRST 厳密場との組み合わせの上昇演算子と下降演算子に対応する方向に沿って特異であるという要件によって与えられます。この最後のステートメントは、単なる「BRST 対称性」や「BRST 変換」ではなく、「BRST 量子化」の鍵となります。 ${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$${\displaystyle c}$

(漸近フォック空間の Kugo-Ojima 処理を参照して、BRST コホモロジーの言語で完了する必要があります。)

BRST 対称性は、対応する電荷Qとともに、ゲージ不変性の本質を巧みに捉えていますが、経路積分の量子化には課題があります。すべてのゲージ構成を合計する単純な経路積分は、ゲージ変換によって導入される冗長性のために、物理的に異なる状態を大幅に過剰にカウントします。この過剰カウントは、ゲージ軌道を積分することから生じる経路積分の発散として現れます。これに対処するために、BRST フレームワーク内で ゲージ固定手順を導入します。

中心となる考え方は、経路積分をゲージ構成の代表的なセットに制限し、冗長なゲージ自由度を排除することです。これは、ゲージ固定関数f(A)を導入することで実現されます。ここで、A はゲージ場を表します。f (A)の特定の選択によってゲージが決まります。異なる選択によって同じ物理理論の異なる表現がもたらされますが、最終的な物理的結果はこの選択とは無関係である必要があります。

BRST 量子化におけるゲージ固定手順は、ゲージ固定関数とゴースト フィールドの両方に依存するラグランジアン密度に項を追加することによって実装されます。この項は BRST に厳密に適合するように構築されており、ある量の BRST 変分として記述できます。これにより、修正されたアクションが依然として BRST 対称性を保持することが保証されます。

ゲージ固定ラグランジアン密度の一般的な形式は次のとおりです。

${\displaystyle L_{gf}=-iQ(f(A)*{\bar {c}})}$

ここで、 は反ゴースト場です。係数-iは慣例です。Q² = 0なので、 L _gfの BRST 変化はゼロとなり、全作用の BRST 不変性が維持されます。 ${\displaystyle {\bar {c}}}$

これを 2 つの一般的な例で説明しましょう。

1. 電磁気学におけるグプタ・ブロイラー（ローレンツ）ゲージ：

このゲージでは、ゲージ固定関数は です。ゲージ固定ラグランジアン密度は次のようになります。 ${\displaystyle f(A)=\partial _{\mu }A^{\mu }}$

${\displaystyle L_{gf}=-iQ((\partial _{\mu }A^{\mu })*{\bar {c}})=-i((\partial _{\mu }\partial ^{\mu }c)*{\bar {c}}-(\partial _{\mu }A^{\mu })*B)}$

ここで、B はゲージ条件を書き直すために導入された補助的な Nakanishi-Lautrup 場です。経路積分で B を積分すると、よく知られた形式が得られます。

${\displaystyle L_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}(\partial _{\mu }A^{\mu })^{2}+(\partial _{\mu }{\bar {c}})(\partial ^{\mu }c)}$

ここで、ξ はゲージパラメータです。ローレンツゲージはファインマンゲージ ( ξ = 1 ) に対応します。ゴーストフィールドは BRST 変化を通じてゲージフィールドに結合したままであることに注意してください。

2. ヤン＝ミルズ理論におけるξゲージ:

非アーベルゲージ理論では、ξゲージの一般化されたクラスはゲージ固定関数で定義できます。ここで、aはゲージ群のインデックスです。ゲージ固定ラグランジアン密度は次のようになります。 ${\displaystyle f(A)=\partial _{\mu }A^{\mu a}+\xi B^{a}}$

${\displaystyle L_{gf}=-iQ((\partial _{\mu }A^{\mu a}+\xi B^{a})*{\bar {c}}^{a})=B^{a}(\partial _{\mu }A^{\mu a})+(\xi /2)B^{a}B^{a}+{\bar {c}}^{a}(\partial _{\mu }D^{\mu }c)^{a}}$

ここで、D ^{μ は}共変微分です。補助フィールドB ^{a は}積分して取り除くことができ、次のようになります。

${\displaystyle L_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}(\partial _{\mu }A^{\mu a})^{2}+{\bar {c}}^{a}(\partial _{\mu }D^{\mu }c)^{a}}$

繰り返しますが、ξ はゲージ パラメーターであり、ξの異なる選択はこのファミリー内の異なるゲージに対応します。

ゲージ固定項L _gfの導入により、作用が修正され、その結果経路積分も修正されます。重要なことは、BRST 対称性が維持され、物理的観測量がゲージの選択に依存しないことが保証されることです。さらに、ゲージ固定手順により、古典的作用の元のゲージ対称性が破られ、経路積分が明確に定義されます。ゴースト フィールドは、もともと非物理的な自由度を補正するために導入されましたが、量子化バージョンでは理論のユニタリー性を維持する上で重要な役割を果たします。

このセクションは、古典的なゲージ理論、つまり第一級の制約で記述できる理論にのみ適用されます。より一般的な形式は、Batalin-Vilkovisky 形式を使用して記述されます。

BRST構成^[1]は、位相空間上のゲージ群のハミルトン作用の状況に適用されます。を のリー代数、モーメントマップの正規値とします。 とします。への -作用が自由かつ固有であると仮定し、上の -軌道の空間を考えます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M_{0}}$

ゲージ理論のハミルトン力学は、シンプレクティック空間に作用する第一級の制約によって記述されます。は第一級の制約を満たす部分多様体です。 ゲージ対称性の作用により、はゲージ軌道に分割されます。 シンプレクティック縮小は、 をゲージ軌道で 割った商です。${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Phi _{i}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$

代数幾何学によれば、空間上の滑らかな関数の集合は環である。Koszul -Tate 複体(第一級の制約は一般に正則ではない) は、シンプレクティック還元に関連する代数を代数で記述する。 ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

まず、内部で定義される方程式を用いて、コシュル複体を構築する。${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle ...\to K^{1}(\Phi )\to C^{\infty }(M)\to 0}$

したがって、およびに対して。 ${\displaystyle H^{0}(K(\Phi ))=C^{\infty }(M_{0})}$${\displaystyle H^{p}(K(\Phi ))=0}$${\displaystyle p\neq 0}$

次に、ファイバ化のために、垂直外形 の複素数 を考える。局所的に、は と同型であり、ここで はベクトル空間 の双対の外代数である。先に定義した Koszul 分解を使用すると、2 次複素数が得られる。 ${\displaystyle M_{0}\to {\tilde {M}}}$${\displaystyle (\Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0}),d_{vert})}$${\displaystyle \Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0})}$${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}\otimes C^{\infty }({\tilde {M}})}$${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle K^{i,j}=\Lambda ^{i}V^{*}\otimes \Lambda ^{j}V\otimes C^{\infty }(M).}$

最後に（そしてこれが最も非自明なステップである）、 およびを持ち上げておよび となる微分が定義される。 ${\displaystyle s_{B}}$${\displaystyle K=\oplus _{i,j}K^{i,j}}$${\displaystyle d_{vert}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$

${\displaystyle H_{s_{B}}^{0}=C^{\infty }({\tilde {M}})}$

ゴースト ナンバーによる等級分けについて ：${\displaystyle K^{n}=\oplus _{i-j=n}K^{i,j}}$

したがって、BRST 演算子またはBRST 微分は、 シンプレクティック削減が多様体のレベルで行うことと同じことを関数のレベルで実現します。 ${\displaystyle s_{B}}$

2 つの反微分 と があり、これらは互いに反交換します。BRST 反微分は で与えられます。演算子は冪零です。${\displaystyle \delta }$${\displaystyle d}$${\displaystyle s_{B}}$${\displaystyle \delta +d+\mathrm {more} }$${\displaystyle s_{B}}$${\displaystyle s^{2}=(\delta +d)^{2}=\delta ^{2}+d^{2}+(\delta d+d\delta )=0}$

およびグラスマン奇数生成子によって生成される超可換代数、すなわちグラスマン代数とのテンソル積を考えます。すべての に対してと を満たす唯一の反微分が存在します。ゼロ次ホモロジーは によって与えられます。 ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta {\mathcal {P}}_{i}=-\Phi _{i}}$${\displaystyle \delta f=0}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$

上の縦ベクトル場は、ゲージ軌道のどこにいても接するベクトル場である。2つの縦ベクトル場のリー括弧は、それ自体が別の縦ベクトル場である。縦-形式は -ベクトルの外積代数と双対である。は本質的に、次式で定義される 縦外微分である。${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=&\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})\end{aligned}}}$

縦方向外微分のゼロ次コホモロジーはゲージ不変関数の代数です。

BRST 構成は、位相空間上のコンパクトで連結なリー群のハミルトン作用がある場合に適用されます。^{[2] [3]}を(リー群–リー代数対応を介して)のリー代数および(運動量写像の正則値の双対) とします。とします。への -作用が自由かつ固有であると仮定し、上の -軌道の空間(シンプレクティック縮小商とも呼ばれる) を考えます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle {\widetilde {M}}=M_{0}/G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle {\widetilde {M}}=M/\!\!/G}$

まず、内部で定義される関数の正規列を使用して、Koszul複体を構築する。${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

この複体上の微分、は、次数付き-代数の奇-線型微分（微分代数）です。この奇微分は、ハミルトン作用 のリー代数準同型を拡張することによって定義されます。結果として得られる Koszul 複体は、 - 加群の Koszul 複体です。ここで、 はの対称代数であり、加群構造は、ハミルトン作用 によって誘導される環準同型から生じます。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$

このコシュル複体は- 加群の分解であり、つまり、 ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$

${\displaystyle H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}}$

次に、リー代数上の微分次数付きモジュールとして考えられたコシュル複体のシュヴァレー・アイレンベルク複体を考える。 ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K^{\bullet ,\bullet }=C^{\bullet }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

「水平」微分は係数で定義される ${\displaystyle d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }}$

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$

リー群上の右不変微分形式の外微分としておよび を に作用させることにより、そのリー代数は となる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Tot( K )を複素数とし、

${\displaystyle \operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}}$

微分D  =  d  + δである。(Tot( K ),  D )のコホモロジー群は、二重複体に関連付けられたスペクトル列を使用して計算されます。 ${\displaystyle (K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )}$

スペクトル列の最初の項は、「垂直」微分 のコホモロジー を計算します。 ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})}$j = 0の場合は、それ以外の場合は 0 です。

スペクトル列の最初の項は、垂直微分形式の複素数として解釈することができる。

${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }{\operatorname {vert} }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })}$

繊維束 用。 ${\displaystyle M_{0}\to {\widetilde {M}}}$

スペクトル列の2番目の項は、上の「水平」微分のコホモロジーを計算します。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle E_{1}^{\bullet ,\bullet }}$

${\displaystyle E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$の場合は、それ以外の場合は 0 になります。${\displaystyle i=j=0}$

スペクトル列は第 2 項で崩壊し、 となり、これは 0 次に集中します。 ${\displaystyle E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}}$

したがって、

${\displaystyle H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$p = 0の場合は0、それ以外の場合は 0 です。

• バタリン＝ヴィルコヴィスキーの形式主義
• 量子色力学

• Peskin & Schroeder ( ISBN  0-201-50397-2またはISBN 0-201-50934-2 ) の第 16 章では、「BRST 対称性」を適用して、Faddeev-Popov ラグランジアンにおける異常相殺について論じています。幾何学との関連は省略されており、漸近的フォック空間の扱いは概略にすぎませんが、これは QFT の非専門家にとって良い出発点です。 
• M. GöckelerとT. Schücker（ISBN 0-521-37821-4またはISBN 0-521-32960-4）の第12章では、BRST形式とゲージバンドルの幾何学との関係について議論されています。これはSchückerの1987年の論文と実質的に同じです。^[1]  

• Figueroa-O'Farrill, JM; Kimura, T. (1991). 「幾何学的 BRST 量子化 I. 事前量子化」. Commun. Math. Phys . 136 (2). Springer-Verlag : 209–229. Bibcode :1991CMaPh.136..209F. doi :10.1007/BF02100022. ISSN  0010-3616. MR  1096113. S2CID  120119621.
• Kostant, B.; Sternberg, S. (1987). 「シンプレクティック還元、BRSコホモロジー、無限次元クリフォード代数」. Ann. Phys . 176 (1). Elsevier : 49–113. Bibcode :1987AnPhy.176...49K. doi :10.1016/0003-4916(87)90178-3.

オリジナルのBRST論文:

• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000)、「ゲージ理論における局所 BRST コホモロジー」、Physics Reports、338 (5): 439–569、arXiv : hep-th/0002245、Bibcode :2000PhR...338..439B、doi :10.1016/S0370-1573(00)00049-1、ISSN  0370-1573、MR  1792979、S2CID  119420167
• Becchi, C.; Rouet, A.; Stora, R. (1974). 「アーベルヒッグスキブルモデル、S演算子のユニタリ性」. Physics Letters B. 52 ( 3). Elsevier BV: 344–346. Bibcode :1974PhLB...52..344B. doi :10.1016/0370-2693(74)90058-6. ISSN  0370-2693.
• ベッキ、C.ルーエ、A.ストラ、R. (1975)。 「アーベルヒッグス・キブルモデルの繰り込み」。数理物理学におけるコミュニケーション。42 (2)。シュプリンガー サイエンス アンド ビジネス メディア LLC: 127–162。Bibcode :1975CMaPh..42..127B。土井：10.1007/bf01614158。ISSN  0010-3616。S2CID  120552882。
• Becchi, C; Rouet, A; Stora, R (1976). 「ゲージ理論の再正規化」Annals of Physics . 98 (2). Elsevier BV: 287–321. Bibcode :1976AnPhy..98..287B. doi :10.1016/0003-4916(76)90156-1. ISSN  0003-4916.
• IV Tyutin、「演算子形式における場の理論と統計物理学におけるゲージ不変性」、Lebedev Physics Institute preprint 39 (1975)、arXiv:0812.0580。
• 久後 太一郎; 尾島 泉 (1979). 「非アーベルゲージ理論の局所共変演算子形式とクォーク閉じ込め問題」.理論物理学の進歩補足. 66. Oxford University Press (OUP): 1–130. Bibcode :1979PThPS..66....1K. doi : 10.1143/ptps.66.1 . ISSN  0375-9687.
• Kugo–Ojima のよりアクセスしやすいバージョンは、一連の論文としてオンラインで入手できます。最初の論文は次のとおりです: Kugo, T.; Ojima, I. (1978-12-01). 「Manifestly Covariant Canonical Formulation of the Yang-Mills Field Theories. I: -- General Formalism --」。Progress of Theoretical Physics . 60 (6). Oxford University Press (OUP): 1869–1889. Bibcode :1978PThPh..60.1869K. doi : 10.1143/ptp.60.1869 . ISSN  0033-068X。これはおそらく、量子力学（幾何学的ではなく）言語における BRST 量子化に関する最良の参考資料です。
• 位相不変量と BRST 演算子の関係に関する多くの洞察は、E. Witten、「位相量子場理論」、Commun. Math. Phys. 117、3 (1988)、pp. 353–386 に記載されています。