補助フィールド

物理学、特に量子場理論では、補助場とは運動方程式が単一の解を持つ場のことである。したがって、そのような場を記述するラグランジアンには代数的な二次項と任意の一次項が含まれるが、運動項（場の微分）は含まれない。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{aux}}={\frac {1}{2}}(A,A)+(f(\varphi ),A).}$

の運動方程式は ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A(\varphi )=-f(\varphi ),}$

そしてラグランジアンは

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{aux}}=-{\frac {1}{2}}(f(\varphi ),f(\varphi )).}$

補助場は一般に伝播しないので^[1]、多くの状況では手動で補助場を追加しても理論の内容は変わらない。ある場を記述する初期ラグランジアンがある場合、両方の場を記述するラグランジアンは ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}(\varphi )+{\mathcal {L}}_{\text{aux}}={\mathcal {L}}_{0}(\varphi )-{\frac {1}{2}}{\big (}f(\varphi ),f(\varphi ){\big )}.}$

したがって、補助場を使用して、の2 次項を打ち消し、作用を線形化することができます。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\,d^{n}x}$

補助場の例としては、カイラル超場における複素スカラー場F、^[2]、ベクトル超場における実スカラー場D 、 BRSTにおけるスカラー場B 、ハバード・ストラトノビッチ変換における場などがある。

補助場を追加した場合の量子力学的効果は古典的なものと同じです。これは、補助場上の経路積分がガウス分布であるためです。つまり、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dA\,e^{-{\frac {1}{2}}A^{2}+Af}={\sqrt {2\pi } }e^{\frac {f^{2}}{2}}.}$

• ボソン場
• フェルミオン場
• 複合フィールド