閉じた正確な微分形式

数学、特にベクトル解析と微分位相幾何学において、閉形式とは外微分がゼロ（dα = 0）である微分形式 αであり、完全形式とは別の微分形式βの外微分である微分形式αである。したがって、完全形式はdの像にあり、閉形式はdの核にある。

正確な形式αに対して、αの次数より 1 小さい次数の微分形式βに対してα = dβ が成り立ちます。形式βは、 αの「潜在的形式」または「原始的」と呼ばれます。閉じた形式の外微分はゼロなので、β は一意ではありませんが、 αの次数より 1 小さい次数の任意の閉じた形式を追加することで変更できます。

d ² = 0なので、すべての完全形式は必然的に閉じている。すべての閉形式が完全であるかどうかという問題は、関心領域の位相に依存します。収縮可能な領域では、ポアンカレの補題により、すべての閉形式は完全です。任意の微分可能多様体に関するこの種のより一般的な問題は、微分法を使用して純粋に位相的な情報を取得することを可能にするド・ラーム・コホモロジーの対象です。

閉じているが正確ではない形式の簡単な例としては、穴の開いた平面上の引数の導関数によって与えられる1 形式^{[注 1]があります}。は実際には関数ではないため(次の段落を参照)、正確な形式ではありません。 それでも、の導関数はゼロなので閉じています。 ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle d\theta }$

引数はの整数倍までしか定義されないことに注意してください。これは、 1 つの点に異なる引数、などを割り当てることができるためです。引数は の周囲で局所的に一貫した方法で割り当てることができますが、大域的に一貫した方法では割り当てることができません。これは、ループを反時計回りに原点の周りをたどって に戻ると、引数が だけ増加するためです。一般に、引数はだけ変化します 。${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+2\pi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

反時計回りのループに沿って進みます。${\displaystyle S^{1}}$

引数は厳密には関数ではありませんが、ある点におけるの異なるローカル定義は定数によって互いに異なります。 における導関数はローカルデータのみを使用し、定数によって異なる関数は同じ導関数を持つため、引数にはグローバルに明確に定義された導関数" " があります。^{[注 2]}${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d\theta }$

結局、 はの 1 次形式であり、実際にはどの明確に定義された関数 の導関数でもないということです。は正確ではないと言います。明示的には、は次のように与えられます。 ${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle d\theta }$

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},}$

調べてみると、これは導関数がゼロである。 は導関数がゼロなので、閉じていると言える。 ${\displaystyle d\theta }$

この形式は、ド・ラーム・コホモロジー群を生成します。つまり、任意の閉じた形式は、正確な形式と : の倍数の和です。ここで、は原点の周りの非自明な路積分を表します。これは、大域的に定義された関数の導関数である、穴の開いた平面上の閉じた形式 (局所的にはポテンシャル関数の導関数) に対する唯一の障害です。 ${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\})\cong \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle df}$${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta }$${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$

とにおける微分形式は、19世紀の数理物理学ではよく知られていました。平面では、0形式は単なる関数であり、2形式は関数に基本面積要素を掛けたものであるので、1形式は ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dx\wedge dy}$

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

非常に興味深い。ここでの 外微分式は ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

ここで下付き文字は偏導関数を表す。したがって、が閉じているための条件は ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

この場合、関数であれ ば${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

「正確」から「閉じた」への含意は、およびに関する2次導関数の対称性の結果です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

勾配定理は、1 形式が正確であるためには、その形式の線積分が曲線の端点のみに依存する場合、または同等に、任意の滑らかな閉曲線の周りの積分が 0 である必要があると主張します。

リーマン多様体、またはより一般的には擬リーマン多様体では、k形式はkベクトル場に対応します(計量 を介した双対性により)。そのため、閉じた形式または正確な形式に対応するベクトル場の概念があります。

3 次元では、正確なベクトル場 (1 形式と考えられる) は保存ベクトル場と呼ばれ、スカラーポテンシャルと呼ばれる 0 形式 (滑らかなスカラー場) の微分 (勾配) であることを意味します。閉じたベクトル場 (1 形式と考えられる) は微分 (回転) がゼロになるもので、非回転ベクトル場と呼ばれます。

代わりにベクトル場を 2 形式として考えると、閉じたベクトル場はその導関数 (発散) がゼロになるものであり、非圧縮性フロー(ソレノイド ベクトル場と呼ばれることもあります) と呼ばれます。非圧縮性という用語が使用されるのは、非ゼロの発散が流体に類似してソースとシンクの存在に対応するためです。

保存ベクトル場と非圧縮ベクトル場の概念は、勾配と発散が n 次元に一般化されるため、n 次元に一般化されます。回転は 3 次元でのみ定義されるため、非回転ベクトル場の概念はこのように一般化されません。

ポアンカレの補題は、 BがRn^の開球であれば、 B上で定義された任意の閉p形式ωは、 1 ≤ p ≤ nの任意の整数pに対して正確であるということを述べています。^[1]

より一般的には、この補題は、多様体の縮約可能な開部分集合（例えば、）上では、閉じたp形式、p > 0 が正確であることを述べています。^[要出典]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

2つの閉形式の差が正確な形式である場合、それらは互いに共相であるという。つまり、 ζとηが閉形式であり、βが

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

すると、 ζとη は互いに共相であると言えます。完全形式はゼロと共相であると言われることもあります。与えられた形式と (したがって互いに) 共相であるすべての形式の集合は、ド・ラーム・コホモロジー類と呼ばれます。このような類の一般的な研究はコホモロジーとして知られています。d は次数を 1 ずつ増やすので、0 形式 (滑らかな関数) が完全かどうかを問うことは実際には意味がありません。しかし、位相幾何学からのヒントは、ゼロ関数だけが「完全」と呼ばれるべきであることを示唆しています。コホモロジー類は、局所的に定数な関数と同一視されます。

ポアンカレの補題の証明で使用されたものと同様の収縮ホモトピーを使用すると、ド・ラームコホモロジーがホモトピー不変であることが示されます。^[2]

電気力学では、定常電流によって生成される磁場のケースが重要です。ここでは、この磁場のベクトルポテンシャルを扱います。このケースはk = 2に対応し、定義領域は完全な です。電流密度ベクトルは です。これは、電流の2形式に対応します 。${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\vec {j}}}$

${\displaystyle \mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}$

磁場についても 同様の結果が得られる。これは誘導の2形式に対応し、ベクトルポテンシャル、または対応する1形式から導出できる。 ${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots }$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

これにより、ベクトルポテンシャルはポテンシャル1形式に対応する。 ${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}$

磁気誘導2次元形式の閉性は、磁場がソースフリーであるという特性、すなわち磁気単極子が存在しないという特性に対応します。 ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0}$

特殊ゲージでは、i = 1, 2, 3に対して次の式が成り立つ。${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'\,dx_{2}'\,dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.}$

（ここでは磁気定数です。） ${\displaystyle \mu _{0}}$

この式は、電界、すなわち電荷密度の静電クーロンポテンシャルのよく知られた式と完全に一致するため注目に値する。この時点で、次のことが推測できる。 ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$そして${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$そして${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle {\vec {A}}}$

6つまたは4つの非自明な成分を持つ量に統一することができ、これがマクスウェル方程式の相対論的不変性の基礎となります。

定常条件が満たされる場合、上記の式の左側の の式では、 3 つの空間座標に 4 番目の変数として時間tも追加する必要がありますが、 の右側では、いわゆる「遅延時間」 を使用する必要があります。つまり、これを電流密度の引数に追加します。最後に、前と同じように、プライム付きの 3 つの空間座標にわたって積分します。(通常どおり、c は真空の光速度です。) ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle j_{i}'}$${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$

• フランダース、ハーレー（1989）[1963]。微分形式と物理科学への応用。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-66169-8。。
• ワーナー、フランク W. (1983)、「微分可能多様体とリー群の基礎」、Graduate Texts in Mathematics、第 94 巻、Springer、ISBN 0-387-90894-3
• ネイピア、テレンス、ラマチャンドラン、モハン（2011）、リーマン面入門、ビルクハウザー、ISBN 978-0-8176-4693-6
• シンガー、IM ; ソープ、JA (1976)、「初等位相幾何学と幾何学に関する講義ノート」、バンガロール大学出版局、ISBN 0721114784