構造定数

数学において、体上の代数の構造定数または構造係数は、基底ベクトルの積の基底展開（基底ベクトルの線形結合への）の係数です。代数における積演算は双線型であるため、線形性により基底ベクトルの積がわかれば、任意の要素の積を計算できます（行列が、基底ベクトルに対する演算子の作用を提供することで、任意のベクトルに対する線形演算子の作用を計算できるのと同じです）。したがって、構造定数を使用して、代数の積演算を指定できます（行列が線形演算子を定義するのと同じです）。構造定数が与えられれば、結果として得られる積は双線型性によって得られ、ベクトル空間内のすべてのベクトルに一意に拡張できるため、代数の積を一意に決定できます。

構造定数は、代数の明示的な形式が与えられなければならない場合に常に使用されます。したがって、物理学におけるリー代数について議論するときには、基底ベクトルが物理空間内の特定の方向を示したり、特定の粒子に対応したりするため、構造定数が頻繁に使用されます(リー代数は、双線型積がリー括弧によって与えられ、通常は交換子によって定義される、体上の代数であることを思い出してください)。

代数の基礎となる ベクトル空間の基底ベクトルの集合が与えられた場合、積演算は基底ベクトルの積によって一意に定義されます。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}}$。

構造定数または構造係数は 、同じ基底における 係数です。${\displaystyle c_{ij}^{\;k}}$${\displaystyle \mathbf {c} _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}=\sum _{k}c_{ij}^{\;\; k}\mathbf {e} _{k}}$。

言い換えれば、それらは基底ベクトルの線形結合として表現される係数です。 ${\displaystyle \mathbf {c} _{ij}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

上付き添字と下付き添字は、代数がこれを必要とする他の構造（例えば、不定直交群so( p , q )の代数上の擬似リーマン計量）を持っていない限り、区別されないことがよくあります。つまり、構造定数は、すべて上付き添字、またはすべて下付き添字で記述されることがよくあります。上付き添字と下付き添字の区別は慣例であり、読者に、下付き添字は双対ベクトルの成分のように振舞う、つまり、基底の変更に対して共変であるのに対し、上付き添字は反変であることを思い出させます。

構造定数は、当然、選択された基底に依存します。リー代数の場合、基底としてよく使用される規則の 1 つは、カルタン部分代数によって定義されるラダー演算子です。これは、いくつかの予備的な例の後に、この記事のさらに下で説明します。

リー代数では、基底ベクトルは代数の生成元と呼ばれ、積はリー括弧と呼ばれます (リー括弧は、既存の積を超えた追加の積演算であることが多いため、別の名前が必要になります)。代数内の2 つのベクトルとの場合、リー括弧は と表されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [A,B]}$

ここでも、上付き添字と下付き添字を区別する必要はなく、上付き添字でも下付き添字でもかまいません。物理学では、生成元には 、構造定数には （上付きと下付きを区別せずに） という表記法が一般的です。生成元ペアのリー括弧の線形展開は次のようになります。 ${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle f_{ab}^{\;\;c}}$${\displaystyle f^{abc}}$

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=\sum _{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c}}$。

再び、線形拡張により、構造定数はリー代数の すべての要素のリー括弧を完全に決定します。

すべてのリー代数はヤコビ恒等式を満たす。基底ベクトルについては、次のように書ける。

${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0}$

そして、これは構造定数に関して対応する恒等式に直接つながります。

${\displaystyle f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\;d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.}$

上記およびこの記事の残りの部分では、繰り返しインデックスに対してアインシュタインの合計規則を使用します。

構造定数はリー代数表現で役割を果たし 、実際、随伴表現の行列要素を正確に与えます。キリング形式とカシミール不変量も、構造定数で記述すると特に単純な形式になります。

構造定数は、リー群の2つの元の積に対するベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式の近似によく登場する。リー代数の小さな元に対して、単位元付近のリー群の構造は次のように与えられる。 ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)\approx \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).}$

1/2 という係数に注意してください。これらは、 などの微分方程式の明示的な表現にも現れます。詳細については、 Baker–Campbell–Hausdorff の公式#無限小の場合を参照してください。${\displaystyle e^{-X}de^{X}}$

特殊ユニタリ群SU(2)の代数は3次元であり、生成元はパウリ行列で与えられる。群SU(2)の生成元は交換関係を満たす（ここではレヴィ・チヴィタ記号）。 ここで ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle \varepsilon ^{abc}}$$${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon ^{abc}\sigma _{c}}$$$${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

この場合、構造定数は です。定数 2 i は基底ベクトルの定義に吸収されることに注意してください。したがって、 を定義すると、次のようにも書けます。 ${\displaystyle f^{abc}=2i\varepsilon^{abc}}$${\displaystyle t_{a}=-i\sigma _{a}/2}$$${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\varepsilon ^{abc}t_{c}}$$

そうすることで、リー群 SU(2) のリー代数がSO(3)のリー代数と同型であることが強調されます。これにより、構造定数が回転群 SO(3)の構造定数と一致します。つまり、角運動量演算子の交換子は一般に と表記され、 3次元空間での回転の右手の法則 に従うように表記され ます 。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$$${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\varepsilon ^{ijk}L_{k}}$$$${\displaystyle L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}、~~L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix} 0&0 &1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}、~~L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$$

これら 2 つの構造定数セット間の 2 iの係数の差は、微妙な点が絡んでいるため、いらだたしい場合があります。たとえば、2 次元複素ベクトル空間に実構造を与えることができます。これにより、 の2 つの非同等な 2 次元基本表現が生じます。これらは同型ですが、複素共役表現です。ただし、どちらも実構造を持つ空間に作用するため、実表現であると見なされます。^[1] 3 次元の場合、実表現である 1 つの 3 次元表現、つまり随伴表現のみがあります。より正確には、上記のその双対表現と同じです。つまり、転置は自身をマイナスにしたものであることがわかります。${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle L_{k}^{T}=-L_{k}.}$

いずれにせよ、構造定数を純粋に実数として記述することが可能であるため、リー群は実数であると見なされます。

SU(3)はそれほど単純ではない例である: ^[2]

定義表現における その生成元Tは次のようになります。

${\displaystyle T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}{2}}.\,}$

ここで、ゲルマン行列はSU(2)のパウリ行列のSU(3)類似体である。 ${\displaystyle \lambda \,}$

これらは関係に従う

${\displaystyle \left[T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,}$

${\displaystyle \{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,}$

構造定数は完全に反対称です。次のように与えられます。

${\displaystyle f^{123}=1\,}$

${\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,}$

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\,}$

インデックスを並べ替えてもこれらに関連しない 他のすべてのものはゼロになります。${\displaystyle f^{abc}}$

d は次の値を取ります:

${\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$

${\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}$

${\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}.\,}$

𝔰𝔲(N)の一般的なケースでは、生成子間の交換関係と反交換関係を計算することなく、構造定数を得るための閉じた公式が存在する。まず、パウリ行列とゲルマン行列の一般化に基づいて、𝔰𝔲(N)の生成子を定義する(行列の単位はブラケット表記法を使用)。対称行列 が存在する。${\displaystyle N^{2}-1}$${\displaystyle |m\rangle \langle n|}$${\displaystyle N(N-1)/2}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{\alpha _{nm}}={\frac {1}{2}}(|m\rangle \langle n|+|n\rangle \langle m|)}$、

${\displaystyle N(N-1)/2}$反対称行列、

${\displaystyle {\hat {T}}_{\beta _{nm}}=-i{\frac {1}{2}}(|m\rangle \langle n|-|n\rangle \langle m|)}$、

対角行列、 ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{\gamma _{n}}={\frac {1}{\sqrt {2n(n-1)}}}{\Big (}\sum _{l=1}^{n-1}|l\rangle \langle l|+(1-n)|n\rangle \langle n|){\Big )}}$。

これらの行列を微分するために、次のインデックスを定義します。

${\displaystyle \alpha _{nm}=n^{2}+2(m-n)-1}$、

${\displaystyle \beta _{nm}=n^{2}+2(m-n)}$、

${\displaystyle \gamma _{n}=n^{2}-1}$、

条件付き。 ${\displaystyle 1\leq m<n\leq N}$

ゼロでない全反対称構造定数はすべて

${\displaystyle f^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{nk}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}}$、

${\displaystyle f^{\beta _{nm}\beta _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}}$、

${\displaystyle f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}},~f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\sqrt {\frac {n}{2(n-1)}}}}$、

${\displaystyle f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n}$。

ゼロでない全対称構造定数はすべて

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\alpha _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{kn}\beta _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{mk}\beta _{nk}}={\frac {1}{2}}}$、

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\beta _{nk}\beta _{km}}=-{\frac {1}{2}}}$、

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{m}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}}}$、

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n}$、

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{n}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\frac {2-n}{\sqrt {2n(n-1)}}}}$、

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{k(k-1)}}},~n<k}$、

${\displaystyle d^{\gamma _{n}\gamma _{k}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}},~k<n}$、

${\displaystyle d^{\gamma _{n}\gamma _{n}\gamma _{n}}=(2-n){\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}}}$。

導出の詳細については^[3]と^{[4]を参照。}

ホール多項式はホール代数の構造定数です。

ホップ代数の積に加えて、余積と反対称も構造定数で表現できます。ホップ代数の一貫性条件を定義する接続公理は、これらのさまざまな構造定数間の関係として表現できます。

• リー群は、すべての構造定数が 0 のときに正確にアーベル群になります。
• リー群は、その構造定数が実数であるときにのみ実数になります。
• 構造定数は、リー代数が単純コンパクトリー代数の直和である場合に限り、すべてのインデックスにおいて完全に反対称になります。
• べき零リー群が格子を許容するのは、そのリー代数が有理構造定数を持つ基底を許容する場合のみである。これがマルチェフの基準である。すべてのべき零リー群が格子を許容するわけではない。詳細については、Raghunathan も参照のこと。^[5]
• 量子色力学において、記号 はゲージ共変グルーオン場強度テンソルを表し、量子電気力学における電磁場強度テンソルF μν^に類似している。これは次式で与えられる: ^[6]ここでf _{abc は}SU (3)の構造定数である。 a、b、cインデックスを押し上げたり引き下げたりする規則は自明である(+,... +) ため、f ^abc = f _abc = f となることに注意されたい。${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}\,}$ $${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}\,,}$$^紀元前
  _​一方、μまたはνインデックスについては、例えばメトリックシグネチャ（+ − − −）に対応する、非自明な相対論的規則があります。

リー代数の基底を提供する従来の方法の 1 つは、カルタン部分代数の固有ベクトルとして現れる、いわゆる「ラダー演算子」を使用することです。ここでは、従来の表記法を使用したこの基底の構築について簡単に説明します。別の構築 (セール構築) については、半単純リー代数の記事で説明しています。

リー代数 が与えられたとき、カルタン部分代数は最大アーベル部分代数である。定義により、カルタン部分代数は互いに可換な要素から構成される。上では正規直交基底を自由に選択することができる。この基底を次の ように書く。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H_{1},\cdots ,H_{r}}$

${\displaystyle \langle H_{i},H_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

ここで、 はベクトル空間上の内積です。この部分代数の次元は代数の階数と呼ばれます。随伴表現では、行列は相互に可換であり、同時に対角化できます。行列は（同時）固有ベクトルを持ちます。非ゼロの固有値を持つものは慣例的に で表されます。 とともに、これらはベクトル空間 全体を張ります。交換関係は次のようになります。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})}$${\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle E_{\alpha }}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{and}}\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }}$

固有ベクトルは全体のスケールまでしか決定されない。従来の正規化の1つは、 ${\displaystyle E_{\alpha }}$

${\displaystyle \langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1}$

これにより、残りの交換関係は次のように書ける。

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}}$

そして

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }}$

この最後の条件は、根（以下に定義）の合計がゼロ以外の値になることです。は、 の値を上げる/下げるという特性があるため、ラダー演算子と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$${\displaystyle E_{\alpha }}$${\displaystyle \beta }$

与えられた に対して、はと同じ数だけ存在するので、ベクトル を定義できます。このベクトルは代数の根と呼ばれます。リー代数の根は、規則的な構造で現れます (たとえば、単純なリー代数では、根は 2 つの異なる長さしか持てません)。詳細については、ルート システムを参照してください。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle \alpha =\alpha _{i}H_{i}}$

構造定数は、根の場合にのみゼロ以外になるという特性を持ちます。さらに、それらは反対称です。 ${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \alpha +\beta }$

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha }}$

そして常に、

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta }}$

これらは共循環条件も満たす: ^[7]

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha }}$

いつでも、そしてまた ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0}$

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }N_{\alpha ,\delta }+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta ,\delta }=0}$

いつでも。 ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =0}$