ダイソンシリーズ

数理物理学の一分野である散乱理論において、フリーマン・ダイソンによって定式化されたダイソン級数は、相互作用表示における時間発展演算子の摂動展開である。この展開の各項は、ファインマン図の和で表すことができる。

この級数は漸近的に発散するが、量子電磁力学（QED）では2次まで実験データとの差は^10⁻¹⁰程度である。この高い一致は^、QEDの結合定数（微細構造定数とも呼ばれる）が1よりはるかに小さいことに起因する。 

相互作用表示では、ハミルトニアンHは、自由部分 H ₀と相互作用部分V _S ( t )にH = H ₀ + V _S ( t )のように分割できます。

相互作用する図における可能性は

${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar }V_{\mathrm {S} }(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar },}$

どこ${\displaystyle H_{0}}$時間に依存せず、${\displaystyle V_{\mathrm {S} }(t)}$は、シュレーディンガー描像の時間依存的な相互作用部分である。添え字を避けるため、${\displaystyle V(t)}$は${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)}$以下では。

相互作用表示において、発展演算子Uは次の式で定義される。

${\displaystyle \Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})}$

これはダイソン演算子と呼ばれることもある。

進化演算子は時間パラメータに関してユニタリ群を形成する。その群特性は以下のとおりである。

• アイデンティティと正規化：${\displaystyle U(t,t)=1,}$^{[ 1 ]}
• 構成：${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}$^{[ 2 ]}
• 時間反転：${\displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}$
• 単一性：${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbb {1} }$^{[ 3 ]}

そしてこれらからプロパゲーターの時間発展方程式を導出することができる：^{[ 4 ]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).}$

相互作用表示では、ハミルトニアンは相互作用ポテンシャルと同じである。${\displaystyle H_{\rm {int}}=V(t)}$したがって、この方程式は相互作用図式でも次のように書くことができる。

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi (t)=H_{\rm {int}}\Psi (t)}$

注意：この時間発展方程式は朝永・シュウィンガー方程式と混同しないでください。

正式な解は

${\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})},}$

これは究極的にはボルテラ積分の一種である。

上記のボルテラ方程式を反復的に解くと、次のノイマン級数が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V(t_{1})+(-i\hbar ^{-1})^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}}$

ここ、${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$したがって、フィールドは時間順に並んでいます。演算子を導入すると便利です。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$時間順序演算子と呼ばれるものを定義し、

${\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

積分範囲は簡略化できる。一般に、ある対称関数が与えられた場合${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}),}$積分を定義することができる

${\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

そして

${\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

2番目の積分の積分領域は分割できます。${\displaystyle n!}$サブリージョンは、${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$対称性により${\displaystyle K}$、これらの各部分領域における積分は同じであり、${\displaystyle S_{n}}$定義により。したがって、

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}$

前の恒等式に適用すると、次のようになる。

${\displaystyle U_{n}={\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

すべての項を合計すると、ダイソン級数が得られます。これは上記のノイマン級数の簡略版であり、時間順に積が含まれています。これは経路順に指数関数です。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})\\&={\mathcal {T}}\exp {-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}\end{aligned}}}$

この結果はダイソンの公式とも呼ばれる。^{[ 6 ]}この公式から群法則を導き出すことができる。

時刻における状態ベクトル${\displaystyle t}$時刻における状態ベクトルを用いて表現できる${\displaystyle t_{0}}$、 のために${\displaystyle t>t_{0},}$として

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{0}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}(t_{k}-t_{0})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{k})e^{-iH_{0}(t_{k}-t_{0})/\hbar }\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}$

初期状態の内積${\displaystyle t_{i}=t_{0}}$最終状態は${\displaystyle t_{f}=t}$シュレーディンガーの絵では、${\displaystyle t_{f}>t_{i}}$は：

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Psi (t_{\rm {i}})&\mid \Psi (t_{\rm {f}})\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\times \\&\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{iH_{0}(t_{1}-t_{i})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})/\hbar }\cdots V_{\rm {S}}(t_{n})e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{\rm {i}})/\hbar }\mid \Psi (t_{i})\rangle \end{aligned}}}$

S行列は、イン状態とアウト状態を無限大とみなしてハイゼンベルク描像で記述することにより得られる。 ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \langle \Psi _{\rm {out}}\mid S\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle =\langle \Psi _{\rm {out}}\mid \sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int d^{4}x_{1}\cdots d^{4}x_{n}} _{t_{\rm {out}}\,\geq \,t_{n}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{1}\,\geq \,t_{\rm {in}}}\,{\mathcal {T}}\left\{H_{\rm {int}}(x_{1})H_{\rm {int}}(x_{2})\cdots H_{\rm {int}}(x_{n})\right\}\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle .}$

スカラー積では時間の順序が逆になっていることに注意してください。

• シュウィンガー・ダイソン方程式
• マグナスシリーズ
• ピーノ・ベイカーシリーズ
• ピカード反復

• チャールズ・J・ジョアシャン著、『量子衝突理論』、ノースホランド出版、1975年、ISBN 0-444-86773-2（エルゼビア）